1、严守俊 2163558 13529652696 函数的奇偶性周期性对称性第 1 页 共 13 页 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：对于 定义域内的每一个 ，都存在非零常数 ，使得 恒成立，则称函数(
2、)fxxT()(fxTf具有周期性， 叫做 的一个周期，则 （ ）也是 的周期，所有周期fT()fk,0Zk中的最小正数叫 的最小正周期。分段函数的周期：设 是周期函数，在任意一个周期内的图像为 C:y ),(xfy。把 个单位即按向量abx, )()(abKxf 轴 平 移沿在其他周期的图像： 。)0(kTa平 移 ， 即 得 bkTaxkTfy,),kTa, )(bkTxff2、奇偶函数：设 bay ,)或若 为 奇 函 数 ；则 称 )()(xfyff若 。为 偶 函 数则 称x3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：点 对 称 ；关 于 点与 ),()2,(),( baybxaByx
3、A 对 称 ；关 于与点 成 中 心 对 称 ；关 于 点与函 数 (xff 成 中 心 对 称 ；关 于 点与函 数 ),()(b 成 中 心 对 称 。关 于 点与（函 数 02,0, baybaFyx记住对称中心为：（0，0） 、 、 的函数1,(的特征。)(fy（2）轴对称：对称轴方程为： 。0CByAx 关于直线)(2,)(2),(),( 22/ BACyxyxBA 与点 成 轴 对 称 ；0Cyx函数 关于直线)()()( 22xfBAyf 与成轴对称。 关于直线0)(,)(0),( 22 BACyCxFyx与成轴对称。CBA严守俊 2163558 13529652696 函数的奇
4、偶性周期性对称性第 2 页 共 13 页 记住对称轴为：Y 轴（X=0） 、X 轴（y=0） 、直线 、直线 、直线 的函数xyaby的特征。)(xfy二、函数对称性的几个重要结论（一）函数 图象本身的对称性（自身对称）)(xfy若 ，则 具有周期性；若 ，则 具(fab()fx()()faxfbx()f有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性” 。1、 图象关于直线 对称)()(xff)(fy 2)(x推论 1： 的图象关于直线 对称aa推论 2、 的图象关于直线 对称2ff xf推论 3、 的图象关于直线 对称)()(xx)(yx2、 的图象关于点 对称cbfaff ),2(cb推论 1
5、、 的图象关于点 对称ba2)()()(xa推论 2、 的图象关于点 对称xfxfy,推论 3、 的图象关于点 对称)(（二）两个函数的图象对称性（相互对称） （利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数 与 图象关于 Y 轴对称)(fy)(f2、奇函数 与 图象关于原点对称函数xx3、函数 与 图象关于 X 轴对称4、互为反函数 与函数 图象关于直线 对称)(f1()yfyx5.函数 与 图象关于直线 对称 xafyxbf 2ab推论 1:函数 与 图象关于直线 对称)()(a0推论 2:函数 与 图象关于直线 对称f2fyx推论 3:函数 与 图象关于直线 对称xxa（三）抽象函数的
6、对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 若函数 yf(x)关于直线 xa 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(ax)f(ax) （2）f(2ax)f(x) （3）f(2ax)f(x)性质 2 若函数 yf(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(ax)f(ax)（2）f(2ax)f(x)（3）f(2ax)f(x)易知，yf(x)为偶（或奇）函数分别为性质 1（或 2）当 a0 时的特例。2、复合函数的奇偶性定义 1、 若对于定义域内的任一变量 x，均有 fg(x)fg(x)，则复数函数yfg(x)为偶函数。严守俊 2163558 13529652696 函
7、数的奇偶性周期性对称性第 3 页 共 13 页 定义 2、 若对于定义域内的任一变量 x，均有 fg(x)fg(x)，则复合函数 yfg(x)为奇函数。说明：（1）复数函数 fg(x)为偶函数，则 fg(x)fg(x)而不是 fg(x)fg(x)，复合函数 yfg(x)为奇函数，则 fg(x)fg(x)而不是 fg(x)fg(x)。（2）两个特例：yf(xa)为偶函数，则 f(xa)f(xa)；yf(xa)为奇函数，则 f(xa)f(ax)（3）yf(xa)为偶（或奇）函数，等价于单层函数 yf(x)关于直线 xa 轴对称（或关于点（a，0）中心对称）3、复合函数的对称性性质 3 复合函数 y
8、f(ax)与 yf(bx)关于直线 x（ba）/2 轴对称性质 4、复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于点（ba）/2，0）中心对称推论 1、 复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于 y 轴轴对称推论 2、 复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于原点中心对称4、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x)f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x)同时关于直线 xa 与 xb
9、 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|性质 7、若函数 yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T4|ab|6、函数对称性的应用（1）若 ,即kyhxkhxf 2,),)( / 对 称 ， 则关 于 点 （ xffx2)(/ nxffnnn )()( 1121 （2）例题1、 ;21)( fxaxfx） 对 称 ：，关 于 点 （ 2)(0124)(1 ffx ） 对 称 ：，关 于 （ 1(21),(
10、xfxR（） 对 称 ：，关 于 （2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： 。0)(f3、若 的图像关于直线 对称。设),)(2) fyaxfaff 则或 ax个 不 同 的 实 数 根 ， 则有 nxf)(严守俊 2163558 13529652696 函数的奇偶性周期性对称性第 4 页 共 13 页 .naxxaxaxx nn )2()2()2(1121 ,( 1k时 ， 必 有当（四）常用函数的对称性1、分段函数的奇偶性奇函数： 0x, g(-),)()(xffxf偶函数： (-)(a)()( 为 任 意 常 数 ）fff2、(1) 的周期 ;对称中心 ;)sin()(xAxf 2Tk
11、a0), (其 中对称轴方程 .k(2) 的周期 ;对称中心 + ;)cos()(xxf 2ka0), (其 中 2对称轴方程 .k(3) 的周期 ;对称中心 ;)tan()(Af T), (其 中3、 （1） 的对称中心为（h,k）,对称轴为1)(,2222 bkyahxrkyhxx=h 及 y=k。（2） 的对称轴为 y=k;)()(2pky的对称轴为 x=h;三、函数周期性的几个重要结论1、 ( ) 的周期为 ， ( )也是函数的周期()fxTf0)(xfyTkZ2、 的周期为abab3、 的周期为xff24、 的周期为)(1(x)(xfy5、 的周期为xfafaT6、 的周期为)(1)
12、(x)(xfy37、 的周期为xfaf a2严守俊 2163558 13529652696 函数的奇偶性周期性对称性第 5 页 共 13 页 8、 的周期为)(1)(xfaxf)(xfyaT49、 的周期为2)(xfy610、若 .2,),0ppffp则11、 有两条对称轴 和 周期)(xyaxb()a)(f)(2abT推论：偶函数 满足 周期f)(xffxy12、 有两个对称中心 和 周期f 0,推论：奇函数 满足 周期)()()(f413、 有一条对称轴 和一个对称中心 的xyax0,ba()f)(ab四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙
13、的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例 1.（1996 年高考题）设 是 上的奇函数， 当 时，)(xf),),()2(xff10，则 等于（-0.5）xf)()5.7(f（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.例 2 （1989 年北京市中学生数学竞赛题）已知 是定义在实数集上的函数，且)(xf， 求 的值. 。)(1)(xfff,321f19823)198(f2、比较函数值大小例 3.若 是以 2 为周期的偶函数，当 时， 试比较 、Rxf,0x,1xf)98(f、 的大小.)170(f)54
14、(解： 是以 2 为周期的偶函数，又 在 上是增函数，且xf198)(xf,0，1960 ).54()7,154()967( fffff 即3、求函数解析式例 4.（1989 年高考题）设 是定义在区间 上且以 2 为周期的函数，对 ，xf ),Zk用 表示区间 已知当 时， 求 在 上的解析式.kI),2,(k0I.(2xf(fkI解：设 111kx时，有 02), ff 得由是以 2 为周期的函数， .)(f (,()(xf例 5设 是定义在 上以 2 为周期的周期函数，且 是偶函数，在区间),(xf上， 求 时， 的解析式.3,2.4)32x,1f解：当 ，即 ，, 4)3() 2xfx
15、f又 是以 2 为周期的周期函数，于是当 ，即 时，,243x严守俊 2163558 13529652696 函数的奇偶性周期性对称性第 6 页 共 13 页 ).21(4)(243)(2)(2 xxxf有 .1(4、判断函数奇偶性例 6.已知 的周期为 4，且等式 对任意 均成立，)(f )()(ff R判断函数 的奇偶性.x解：由 的周期为 4，得 ，由 得)x)2(xf， 故 为偶函数.)()(ff,(fxf)f5、确定函数图象与 轴交点的个数例 7.设函数 对任意实数 满足 ， x )2()7(f判断函数 图象在区间 上与 轴至少有多少个交点.,0)(7(fxf且 )(f30,x解：由
16、题设知函数 图象关于直线 和 对称，又由函数的性质得x是以 10 为周期的函数.在一个周期区间 上，1, ,)()(2()2()4,)( 不 能 恒 为 零且 ffffff故 图象与 轴至少有 2 个交点.x而区间 有 6 个周期，故在闭区间 上 图象与 轴至少有 13 个交点.30,30,x6、在数列中的应用例 8.在数列 中， ，求数列的通项公式，并计算na)2(1,31nan.97951a，由 得总项数为 500 项，19 4)(7.35017951 a7、在二项式中的应用例 9.今天是星期三，试求今天后的第 天是星期几？92分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计
17、算即可.解： 191)1(2 29021920929 CC37 )37()37()37(912 20 C因为展开式中前 92 项中均有 7 这个因子，最后一项为 1，即为余数，故 天为星期四.8、复数中的应用例 10.（上海市 1994 年高考题）设 ，则满足等式 且大)(23是 虚 数 单 位iz ,zn于 1 的正整数 中最小的是n（A） 3 ； （B）4 ； （C）6 ； （D）7.分析：运用 方幂的周期性求值即可.iz231解： ，10)(, nnn z严守俊 2163558 13529652696 函数的奇偶性周期性对称性第 7 页 共 13 页 )(.4)(,1.3 ),31,3,
18、minBnkNNkz故 选 择最 小时 即的 倍 数必 须 是 9、解“立几”题例 11.ABCD 是单位长方体，黑白二蚁都从点 A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱1DCBA称为“走完一段” 。白蚁爬行的路线是 黑蚁爬行的路线是 它,11DA .1B们都遵循如下规则：所爬行的第 段所在直线与第 段所在直线必须是异面直线（其中 .2ii )Ni设黑白二蚁走完第 1990 段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 （A）1； （B） ；（C） ； （D）0.23解：依条件列出白蚁的路线 C111立即可以发现白蚁走完六段后又回到了 A 点.可验证知：黑白二蚁走完六段,1后必回到起点，可以
19、判断每六段是一个周期.1990=6 ，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完43四段后黑蚁在 点，白蚁在 C 点，故所求距离是1D.2例题与应用例 1：f(x) 是 R 上的奇函数 f(x)= f(x+4) ，x0，2时 f(x)=x，求 f(2007) 的值 例 2：已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求 f(2009) 的值 。故 f(2009)= f(2518+1)=f(1)=2例 3：已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当 时，f(x)=2x+1，0,2x则当 时求
20、f(x)的解析式6,4x例 4：已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x+999)= ，f(999+x)=f(999x)， )(1f试判断函数 f(x)的奇偶性.例 5：已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当 时，f(x)是减函数，0,2x求证当 时 f(x)为增函数6,x例 6：f(x)满足 f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若 f(a) =-f(2000)，a5，9且 f(x)在5，9上单调.求 a 的值. 例 7：已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在区间
21、1000，1000上 f(x)=0 至少有几个根？解：依题意 f(x)关于 x=2，x=7 对称，类比命题 2（2）可知 f(x)的一个周期是 10故 f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0即在区间(0，10上，方程 f(x)=0 至少两个根又 f(x)是周期为 10 的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程 f(x)=0 在区间1000，1000上至少有 1+ =401 个根.102例 8、 函数 yf(x)是定义在实数集 R 上的函数，那么 yf(x4)与 yf(6x)的图象之间（D ）A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称C关于点（5，0）
22、对称 D关于点（1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数 yf(x4)与 yf(6x)之间关于点（64）/2，0）即（1，0）中心对称，故选 D。（原卷错选为 C）例 9、 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于 x1 对称，证明 f(x)是周期函数。（2001 年理工类第 22 题）严守俊 2163558 13529652696 函数的奇偶性周期性对称性第 8 页 共 13 页 例 10、 设 f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0x1 时f(x)x，则 f(7.5)等于（-0.5）（1996 年理工类第 15 题）例 11、 设 f(x)是定义在 R 上的函数，且
23、满足 f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则 f(x)是（C ）A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数例 12、函数 yf(x)是定义在实数集 R 上的函数，那么 yf(x4)与 yf(6x)的图象（ ）。A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称C关于点（5，0）对称 D关于点（1，0）对称例 13、设 f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0x1 时，f(x)x，则 f(7.5)=（ ）。A0.5 B0.5 C1.5 D1.5例 14、设 f(x)是定义在（，）上的函数，且满足 f(10x)f(10
24、x)，f(20x)f(20x)，则 f(x)是（ ）。A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数例 15、f(x)是定义在 R 上的偶函数，图象关于 x1 对称，证明 f(x)是周期函数。参考答案：D，B，C，T2。例 16、在数列 求 =-1122(*)n nnxxN 中 ， 已 知 ， ， 10x例 17、已知 f（x）是定义在实数集上的函数且满足：f（x+2）1-f（x）=1+f（x），f（1）=1997，求 f（2001）的值。例 18、设偶函数 满足 ，则()fx3()8(0)x|(2)0xf(A) (B) |24或 4或(C)
25、(D) 06x或 |或例 19、若数列 满足 ，若 ，则 的值为_。na)12(,1nnna76120a例 20、已知数列 满足 ，则 = （ ）n (3,0*11 Nn 20例 21. f(x) 是 R 上的奇函数 f(x)=- f(x+3) ,x0,3/2 时 f(x)=x,则 f(2003)例 22. f(x)是 R 上的偶函数,f(1-x )=f(x+1),x-1,0时 f(x)=Log0.5(-x)则 f(2003)例 23. f(x)满足 f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),若 f(a)=-f(2000),a5,9且 f(x)在5,9上单调。求 a 的值。一组有趣
26、的三角求值问题：cos0+cos1+cos2+cos359+cos360；=0tan1tan2tan3tan88tan89=1（3） （4） 1678cos4172cos 96sin482sin1si严守俊 2163558 13529652696 函数的奇偶性周期性对称性第 9 页 共 13 页 （5）coscos2cos4cos2 = （6）sinsin2sin4sin2 =？（7） tantan2tan4tan2 =？利用不动点法求通项公式例 14 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 4a142n1n， an解：令 ，得 ，则 是函数 的两个x4210x2 3x21， 1x42)(
27、f不动点。因为 。 ，所以927a6)4(3a31a43a nnnnn1n 3an数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，故 ，则2n21 91n1)(。3)9(a评注：本题解题的关键是先求出函数 的不动点，即方程 的两个根1x42)(f1x42，进而可推出 ，从而可知数列 为等比数列，再求出数3x21， 3a913a2nn 3a2n列 的通项公式，最后求出数列 的通项公式。an例 15 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 2a3271n1， an解：令 ，得 ，则 x=1 是函数 的不动点。3x270x4)x(f7413因为 ，所以3a25a1nnn，所以数列 是以a1n 521a
28、)21(55nnnn 1an为首项，以 为公差的等差数列，则 ，故 。22 )(328评注：本题解题的关键是先求出函数 的不动点，即方程 的根 ，7x43)(fx7进而可推出 ，从而可知数列 为等差数列，再求出数列 的通项521an1n 1an1an严守俊 2163558 13529652696 函数的奇偶性周期性对称性第 10 页 共 13 页 公式，最后求出数列 的通项公式。an周期数列对于数列 ，如果存在一个常数 ，使得对任意的正整数 恒有 成立，则称数列 是从第 项起的周期为 T 的周期数列。若 ，则称数列 为纯周期数列，若 ，则称数列 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周
29、期。周期数列主要有以下性质：（1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；（3）如果 T 是数列 的周期，则对于任意的 ， 也是数列 的周期；（4）如果 T 是数列 的最小正周期，M 是数列 的任一周期，则必有 T|M，即 M= （ ）；几种常见类型的周期数列：一、 形如 1nnaN证明： ，数列 是周期为 3 的数列32 11nnnaa n例 1.已知数列 中， ， 则能使 的 的数值是（ na0b1nnNnabC ） （ A） 14 （B）15 （C ） 16 （D ）17二、形如 1nnN数列 是周期为 3 的数列a例 2、已知数列 满足 ， 则 1002n12a1nnNa204S三、形如 2证明： ， ，数列 是周期为311nnnna63nana6 的数列。已知数列 满足 ， ， ，记 则下列x12xx2b12Sxx结论正确的是（ A ） （A） ， （ B） ，0a0S10x0b（C） ， （D） ，10b1S1a四、形如 nnaN
