1、三角函数1. 与 （0 360 ）终边相同的角的集合（角 与角 的终边重合）：Zkk,360|终边在 x 轴上的角的集合： Zk,180|终边在 y 轴上的角的集合： ,9| 终边在坐标轴上的角的集合： Zk,0|终边在 y=x 轴上的角的集合： ,4518| 终边在 轴上的角的集合：Zkk,0| 若角 与角 的终边关于 x 轴对称，则角 与角 的关系：k360若角 与角 的终边关于 y 轴对称，则角 与角 的关系：18若角 与角 的终边在一条直线上，则角 与角 的关系： k0角 与角 的终边互相垂直，则角 与角 的关系：9362. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.0174
2、5 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad 57.30=5718 1180 0.01745（rad）1803、弧长公式： . 扇形面积公式：rl|21|slr扇 形4、三角函数：设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则 ； ； ； ； rysinrxcosxytanyxcot；. .xecy5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）、- +-+、o ooxyxyxyyxSINCO三 角 函 数 值 大 小 关 系 图sinxco124表 示 第 一
3、、 二 、 三 、四 象 限 一 半 所 在 区 域 12343sixcoro xy a的的的P、x,y)TMAOPxy6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：三角函数 定义域sinx)(f Rx|cosxtanxf Zkx,21| 且cotx)(f x|且secx kRx,|且cscx)(f Zx|且8、同角三角函数的基本关系式： tancosicotsi1cotansin 1esi2taec2t29、诱导公式： k把 的 三 角 函 数 化 为 的 三 角 函 数 ， 概 括 为 ：“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组
4、二 xkcot)2cot(ananssi)i(公式组三公 式 组 一sinxc=1taxcosini2x+cs=1oeitaeta 2 (3) 个 o|cosx| |cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxcosxsinx16. 个个个个个个 : O Oxy xyxcot)ct(anassi)i(公式组四 xcot)ct(anassi)i(公式组五xcot)2cot(ananssii公式组六xcot)cot(ananssii（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二sincos)cos( cosin2i 222sin1csicos sincosin)si( 2
5、tan1taiii cositan1t)tan(21cstt)t(公式组三 公式组四 公式组五2tan1sicoscs21sinocosinsi21sinco sinco1sico12tansi)2(co1sin2tan1cos2tat2, , ,. 4675cos1in 3275cot1tn 3215cot7tan10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： xAysin（A、 0）定义域 R R R值域 1,1,R R ,周期性 222奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当 非奇非偶,0当 奇函数,2cossin2isnissiiZkx,21|且 Zkx,|且ycotytanxyc
6、osxysinsin)21cos(cos)sin(ttacottan单调性2,k上为增函数； 23,k上为减函数（ ）Zk,1k；上为增函数1,上为减函数（ ）Zk2,上为增函数（）Zk上为减函1,k数（ ）Z)(21),(Ak上为增函数； )(23),(Ak上为减函数（）Zk注意： 与 的单调性正好相反； 与 的单调性也同样xysinxysi xycosxycs相反.一般地，若 在 上递增（减） ，则 在 上递减（增）.)(f,ba)(f,ba 与 的周期是 .xysinxcos 或 （ ）的周期 .)()(y02T的周期为 2 （ ，如图，翻折无效）. tay2T 的对称轴方程是 （ ）
7、，对称中心（ ） ；)sin(xkxZ0,k的对称轴方程是 （ ） ，对称中心（ ） ；coy 21的对称中心（ ）.)ta(x0,2xyycos)s(2cs 原 点 对 称当 ； .tan,1)(Zktan,1)(2Zk 与 是同一函数,而 是偶函数，则xycos2i )(xy)cos()()( xk.函数 在 上为增函数 .（） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，xytanR为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是)(xf定义域关于原点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数： ，奇函数：)(xfOyx）)(xf
8、f奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： 是奇函数， 是非奇非偶.（定xytan)31tan(xy义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若 的定义域，则 一定有 .（ 的定义域，则无此x0)(f0)(f性质） xysin不是周期函数； 为周期函数（ ） ；ysinT是周期函数（如图） ； 为周期函数（ ） ；coxco的周期为 （如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 21sxy.Rkff),(5)( 有 .abbabay cos)sin(sinco2 y2三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（x ）的振幅|A|，周期 ，频率 ，相位 初相2|T1|2fT;x
9、（即当 x0 时的相位） （当 A0，0 时以上公式可去绝对值符号） ，由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A| 1）或缩短（当0|A| 1）到原来的|A| 倍，得到 yAsinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变 yx=cos|图 象 1/2yx|cos+图 象换 （用 y/A 替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0| |1）或缩短（| | 1）到原来的 倍，得到 ysin x 的图象，叫做 周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变|换( 用 x 替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动 个单
10、位，得到 ysin（x ）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x 替换x)由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动b个单位，得到 ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移 （用 y+(-b)替换 y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin（x ） （A0，0） （xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。高中数学三角函数常见习题类型及解法1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin 2=tanxcotx=tan45等。（2）项
11、的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），= 等。（3）降次与升次。 （4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asin+bcos= sin(+ )，这里辅助角 所2ba在象限由 a、b 的符号确定， 角的值由 tan = 确定。2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位
12、圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析” 。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。四、例题分析例 1已知 ，求（1） ；（2）2tansinco的值.2cos.siin解：（1） ；231tacsi1in (2) 2222 cosinosii.3411cosin2说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到） ，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。例 2求函数 的值域。2sinco(sinco)yxx解：设 ，则原函数可化为si2)4t 即，
13、因为 ，所以2213()4ytt即当 时， ，当 时， ，maxy12min3y所以，函数的值域为 。324y即例 3已知函数 。()sini2fxxR即（1）求 的最小正周期、 的最大值及此时 x 的集合；f ()f（2）证明：函数 的图像关于直线 对称。()fx8x解： 2 2()4sini2sin(1sin)fx xco()4xx(1)所以 的最小正周期 ，因为 ，()fxTR所以，当 ，即 时， 最大值为 ；242k38xk()fx2(2)证明：欲证明函数 的图像关于直线 对称，只要证明对任意 ，()f xR有 成立，()8fxfx因为 ，2sin()2sin(2)cos284xx，(
14、) fxx所以 成立，从而函数 的图像关于直线 对称。()8f()fx8x例 4 已知函数 y= cos2x+ sinxcosx+1 （xR）,13（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；（2）该函数的图像可由 y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y= cos2x+ sinxcosx+1= (2cos2x1)+ 1341+ （2sinxcosx）+143= cos2x+ sin2x+ = (cos2xsin +sin2xcos )+41345216645= sin(2x+ )+26所以 y 取最大值时，只需 2x+ = +2k,（kZ） ，即 x=
15、+k,（kZ） 。6所以当函数 y 取最大值时，自变量 x 的集合为x|x= +k,kZ6（2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（i）把函数 y=sinx 的图像向左平移 ，得到函数 y=sin(x+ )的图像；6（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到21函数 y=sin(2x+ )的图像；6（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变） ，得到函数 y= sin(2x+ )的图像； 21（iv）把得到的图像向上平移 个单位长度，得到函数 y= sin(2x+ )+45216的图像。45综上得到 y= cos2x+ sinxcosx+1
16、 的图像。13说明：本题是 2000 年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式，降幂后最终化成 y= sin (x+ )+k 的形式，二是化成某一个三角函数2ba的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当 cosx=0 时，y=1；当 cosx0 时，y= +1= +1x22cossini3x2tan13化简得：2(y1)tan 2x tanx+2y3=0tanxR，=38(y1)(2y3) 0,解之得： y437y max= ，此时对应自变量 x 的值集为x|x=k+ ,kZ47 6例 5已知函数 .3coss3in)(2xf（）将 f(x)写成 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；)sxA（）如果ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac，且边 b 所对的角为 x，试求 x的范围及此时函数 f(x)的值域.解： 23)sin(23cos3sin1)o(23sin1)( xxf（）由 =0 即) zkzkx 1)(得即对称中心的横坐标为 k，（）由已知 b2=ac
