1、第 80 炼 排列组合的常见模型 一、基础知识 ： （一） 处理排列组合问题的常用思路： 1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。 例如：用 0,1,2,3,4 组成无重复数字的五位数 ， 共有多少种排法 ？ 解：五位数意味着首位不能是 0，所以先处理首位，共有 4 种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为 444 96NA 种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多 ，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。 例如：在 10 件产品中，有 7 件合格品， 3 件次品。从这
2、10 件产品中任意抽出 3 件，至少有一件次品的情况有多少种 解：如果从正面考虑，则“至少 1 件次品”包含 1 件， 2 件， 3 件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想， 则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。 3310 7 85N C C （种） 3、先取再排 （先分组再排列） ：排列数 mnA 是指从 n 个元素中取出 m 个元素，再将这 m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。 例如： 从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人，分别从事 3 项不同的工作，若
3、这 3 人中 只 有一名女生，则选派方案有多少种 。 解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生 ，共有 2143CC种可能，然后将选出的三个人进行排列： 33A 。所以共有2 1 34 3 3 108C C A 种方案 （ 二 ） 排列组合的常见模型 1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。 例如： 5 个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法 解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余 3 个元素排列，则共有 44A 种位置 ， 第二步考虑甲乙
4、自身顺序 ， 有 22A 种位置 ， 所以排法的总数为 42 48N A A 种 2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序 注：（ 1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边 （ 2）要从题目中判断是否需要各自排序 例如：有 6 名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法 解：考虑剩下四名同学 “搭台”，甲乙不相 邻，则需要从 5 个空中选择 2 个插入进去，即有 25C种选择 ， 然后四名同学排序 ， 甲乙排序 。 所以 2425 4 2 480N C A A 种 3、错位排列：排列好的 n 个元素 ， 经过一次再
5、排序后 ， 每个元素都不在原先的位置上 ， 则称为这 n 个元素的一个错位排列 。 例如对于 , , ,abcd ， 则 , , ,dcab 是其中一个错位排列 。 3个元素的错位排列有 2 种， 4 个元素的错位排列有 9 种， 5 个元素的错位排列有 44 种。以上三种情况可作为结论记住 例如：安排 6 个班的班主任监考这六个班，则其中恰好有两个班主任监考自己班的安排总数有多少种？ 解：第一步先确定那两个班班主任监考自己班，共有 26C 种选法 ， 然后剩下 4 个班主任均不监考自己班，则为 4 个元素的错位排列，共 9 种。所以安排总数为 26 9 135NC 4、依次插空：如果在 n
6、个元素的排列中有 m 个元素保持相对位置不变 ， 则可以考虑先将这m 个元素排好位置 ， 再将 nm 个元素一个个插入到队伍当中 （ 注意每插入一个元素 ， 下一个元素可选择的空 1 ） 例如：已知 , , , , ,A B C D E F6 个人排队，其中 ,ABC 相对位置不变 ， 则不同的排法有多少种 解：考虑先将 ,ABC 排好 ， 则 D 有 4 个空可以选择， D 进入队伍后 ， E 有 5 个空可以选择，以此类推， F 有 6 种选择，所以方法的总数为 4 5 6 120N 种 5、不同元素 分组： 将 n 个不同元素放入 m 个不同的盒中 6、相同元素分组：将 n 个相同元素放
7、入 m 个不同的盒内 ， 且每盒不空 ， 则不同的方法共有11mnC 种 。 解决此类问题常用的方法是 “ 挡板法 ”， 因为元素相同 ， 所以只需考虑每个盒子里所含元素个数 ， 则可将这 n 个元素排成一列 ， 共有 1n 个空 ， 使用 1m 个 “ 挡板 ” 进入空档处 ， 则可将这 n 个元素划分为 m 个区域 ， 刚好对应那 m 个盒子 。 例如 ： 将 6 个相同的小球放入到 4 个不同的盒子里，那么 6 个小球 5 个空档，选择 3 个位置放“挡板”，共有35 20C 种可能 7、 涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论
8、，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。例如：最多使用四种颜色涂图中四个区域，不同的涂色方案有多少种？ 解： 可根据使用颜色的种数进行分类讨论 （ 1）使用 4 种颜色，则每个区域涂一种颜色即可： 414NA （ 2）使用 3 种颜色，则有 一对不相邻的区域涂同一种颜色，首先要选择不相邻的区域：用列举法可得： ,IIV 不相邻 所以涂色方案有： 324NA （ 3）使用 2 种颜色，则无法找到符合条件的情况，所以讨论终止 总计 434448S A A 种 二、典型例题： 例 1：某电视台邀请
9、了 6 位同学的父母共 12 人，请 12 位家长中的 4 位介绍对子女的教育情况，如果这 4 位中恰有一对是夫妻，则不同选择的方法种数有多少 思路：本题解决的方案可以是：先 挑选出一对夫妻，然后在挑选出两个不是夫妻的即可。 第一步：先挑出一对夫妻： 16C 第二步：在剩下的 10 个人中选出两个不是夫妻的，使用间接法： 210 5C 所以选择的方法总数为 126 10 5 24 0N C C （种） 答案： 240 种 例 2： 某教师一天上 3 个班级的课，每班上 1 节，如果一天共 9 节课，上午 5 节，下午 4 节，并且教师不能连上 3 节课（第 5 节和第 6 节不 算连上），那么
10、这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ） A. 474 种 B. 77 种 C. 462 种 D. 79 种 思路：本题如果用直接法考虑，则在安排的过程中还要考虑两节连堂，并且会受到第 5,6节课连堂的影响，分类讨论的情形较多，不易 求解。如果使用间接法则更为容易。首先在无任何特殊要求下，安排的总数为 39A 。不符合要求的情况为上午连上 3 节： 34A 和下午连上三节： 33A ，所以不同排法的总数为： 3339 4 3 474AAA （种） 答案： A 例 3： 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
11、 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 思路：首先考虑从 3 位女生中先选中相邻的两位女生，从而相邻的女生要与另一女生不相邻，则可插空，让男生搭架子，因为男生甲不站两端，所以在插空的过程中需有人站在甲的边上，再从剩下的两个空中选一个 空插入即可。 第一步：从三位女生中选出要相邻的两位女生： 23C 第二步：两位男生搭出三个空，其中甲的边上要进入女生，另外两个空中要选一个空进女生，所以共有 12C 种选法。 第三步：排列男生甲，乙的位置： 22A ，排列相邻女生和单个女生的位置： 22A ，排列相邻女生相互的位置： 22A 所以共有 2 1 2 2 23 2 2 2 2 48N C C
12、 A A A 种 答案： B 例 4：某班班会准备从甲，乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲，乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序种数为（ ） A. 360 B. 520 C. 600 D. 720 思路：因为选人的结果不同会导致安排顺序的不同，所以考虑“先取再排”，分为“甲乙”同时选中和“甲乙只有一人选中”两种情况讨论：若甲乙 同时被选中，则只需再从剩下 5人中选取 2 人即可： 25C ，在安排顺序时，甲乙不相邻则“插空”，所以安排的方式有： 2232AA ，从而第一种情况的总数为： 2221 5 3 2 120N C A A （种
13、），若甲乙只有一人选中，则首先先从甲乙中选一人，有 12C ，再从剩下 5 人中选取三人，有 35C ，安排顺序时则无要求，所以第二种 情况的总数为： 1 3 42 2 5 4 480N C C A （种），从而总计 600 种 答案： C 例 5： 从单词“ equation” 中选取 5 个不同的字母排成一排，含有“ qu” （其中“ qu” 相连且顺序不变）的不同排列共有 _种 思路：从题意上看，解决的策略要分为两步：第一步要先取出元素，因为 “ qu” 必须取出，所以另外 3 个元素需从剩下的 6 个元素中取出，即 36C 种，然后在排列时，因为要求“ qu”相连，所以采用“捆绑法”，
14、将 qu 视为一个元素与其它三个元 素进行排列： 44A ，因为“ qu”顺序不变，所以不需要再对 qu 进行排列。综上，共有： 3464480CA 种 答案： 480 例 6：设有编号 1,2,3,4,5 的五个茶杯和编号为 1,2,3,4,5 的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有（ ） A. 30 种 B. 31 种 C. 32 种 D. 36 种 思路：本题可按照相同编号的个数进行分类讨论，有两个相同时，要先从 5 个里选出哪两个相同，有 25C 种选法，则剩下三个为错位排列，有 2 种情况，所以 2152NC，有三个相同时，同理，剩下两个错位排列
15、只有一种情况（交换位置），所以 3251NC，有四个相同时则最后一个也只能相同，所以 3 1N ，从而 23552 1 1 3 1S C C （种） 答案： B 例 7：某人上 10 级台阶，他一步可能跨 1 级台阶，称为一阶步，也可能跨 2 级台阶，称为二阶步；最多能跨 3 级台阶，称为三阶步，若他总共跨了 6 步，而且任何相邻两步均不同阶，则此人所有可能的不同过程的种数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 答案： A 思路：首先要确定 在这 6 步中，一阶步，二阶步，三阶步各有几步，分别设为 ,x y z N ，则有 62 3 10x y zx y z ，解得：4 3 20
16、 , 2 , 42 1 0x x xy y yz z z ，因为相邻两步不同阶，所以符合要求的只有 321xyz，下面开始安排顺序，可以让一阶步搭架子，则二阶步与三阶步必须插入一阶步里面的两个空中，所以共有 2 种插法，二阶步与三阶步的前后安排共有 3 种（三二二，三二三，二三三），所以过程总数为 2 3 6N 答案： A 例 8： 某旅行社有导游 9 人，其中 3 人只会英语， 2 人只会日语，其余 4 人既会英语又会日语，现要从中选 6 人，其中 3 人负责英语导游，另外三人负责日语导游，则不同的选择方法有 _种 思路：在步骤上可以考虑先选定英语导游，再选定日语导游。英语导游的组成可按只会
17、英语的和会双语的人数组成进行分类讨论，然后再在剩下的人里选出日语导游即可。第一种情况：没有会双语的人加入英语导游队伍，则英语导游选择数为 33C ，日语导游从 剩下 6 个人中选择，有 36C 中，从而 330 3 6N C C，第二种情况：有一个会双语的人加入英语导游队伍，从而可得 1 2 31 4 3 5N C C C，依次类推，第三种情况。两个会双语的加入英语导游队伍，则 2 1 32 4 3 4N C C C ，第四种情况，英语导游均为会双语的。则 333 4 3N C C，综上所述，不同的选择方法总数为 3 3 1 2 3 2 1 3 3 33 6 4 3 5 4 3 4 4 3 2
18、16S C C C C C C C C C C (种 ) 答案： 216 种 例 9： 如图，用四种不同颜色给图中 , , , , ,A B C D E F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 288 种 B. 264 种 C. 240 种 D. 168 种 思路：如果用四种颜色涂六个点，则需要有两对不相邻的点涂相同的颜色。所以考 虑列举出 不相邻的 两对点。 列举的情 况如下： ,A C B D ， ,AC B E ， ,A C D F ， ,A F B D ， ,A F B E ， ,A F C E ， ,B D C E ，
19、,B E D F ， ,C E D F 共九组，所以涂色方法共有 449 216A 如果用三种颜色涂六个点，则需要有三对不相邻的点涂相同的颜色，列举情况如下： , , ,A C B E D F， , , ,A F C E B D共两组，所以涂色方法共有 342 48A 综上所述，总计 264 种 答案： B 例 10： 有 8 张卡片分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8，从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列，要求3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5，则不同的排法共有（ ） A. 1344 种 B. 1248 种 C. 1056 种 D. 960 种 思路：中间行数字和为
20、5 只有两种情况，即 1,4 和 2,3 ，但这两组不能同时占据两行，若按题意思考，以 1,4 占中间行为例，则在安排时既要考虑另一组 2,3 是否同时被选中，还要考虑同时被选中时不能呆在同一行，情况比较复杂。所以考虑间接法，先求出中间和为 5 的所有情况，再减去两行和为 5 的情形 解：先考虑中间和为 5 的所有情况： 第一步：先将中间行放入 1,4 或 2,3 ： 12C 第二步：中间行数字的左右顺序： 22A 第三步：从剩下 6 个数字中选择 4 个，填入到剩余的四个 位置 并排序： 46A 所以中间和为 5 的情况总数为 1 2 42 2 4 1440S C A A 在考虑两行和为 5 的情况： 第一步： 1,4 ， 2,3 两组中 哪组占用中间行： 12C 第二步：另一组可选择的行数： 12C 第三步： 1,4 ， 2,3 在本行中的左右顺序： 22AA 第四 步：从剩下 4 个数中选取 2 个填入所剩位置并排序： 24A 所以两行和为 5 的情况： 1 1 2 2 22 2 2 2 4 192N C C A A A 从而仅有中间行为 5 的情况为 1248SN （种） 答案： B
