1、1第三章 晶格振动与晶体热学性质习 题1 原子质量为 m,间距为 a,恢复力常数为 的一维简单晶格，频率为 的格波，求)cos(qnatAun（1） 该波的总能量，（2） 每个原子的时间平均总能量。解答（1） 格波的总能量为各原子能量的总和。其中第 n 个原子的动能为 ,)(212tum而该原子与第 n+1 个原子之间的势能为21)(2nu若只为考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为 ,)()(212nnn utmE将 cospaAu代入上式得 ,2sin)12(sin42)(i 22221 qatAqt 设 T 为原子振动周期，利用 1)(sin0dt可得 dtqantTAdtqnatTA q
2、ann 221021022 si(si4)(si1 = A N+ .4m2si2式中 N 为原子总数。（2） 每个原子的时间平均总能量为2sin12qaE再利用色散关系 2sin4)co1(qam便得到每个原子的时间平均能量 2AmNE2 一维复式格子，原子质量都为 m，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同,力常数不同,分别为 和 ，晶格常数为 a,求原子的运动方程及色散关系.12解答图 3.2 一维双原子分子链此题实际是一双原子分子链.设相邻分子间两原子的力常数为 ，间距为 b;一个分子内两原子力常数2;晶格常数为 a;第 n-1,n,n+1,n+2 个原子的位移分别为 .第 n-1
3、与第 n+1 个原子属1 211,nnu2于同一原子,第 n 与 n+1 第个原子属于同一个原子,于是第 n 和第 n+1 个原子受的力分别为，)()(1112 nnuuf.21 其运动方程分别为)()(11122 nnndtm21 uuu设格波的解分别为 tqnaitaqinAeen212)(.titbiBBu 211代入运动方程，得)()(12iqam. 21eiqa整理得0)()(,21221 BmAiqaiqa由于 A 和 B 不可能同时为零。因此其系数行列式必定为零。即.)()( 211221eemiqaiqa解上式可得212121 21122sin)(4)( i)(6qam由上式知
4、，存在两种独立的格波，声学格波的色散关系为,2121212 si)()(A光学格波的色散关系为.21212120 sin)(4)( qam3由正负离子构成的一维原子链，离子间距为 a,质量都为 m,电荷交替变化，即第 n 个离子的电荷.原子间的互作用势是两种作用势之和，其一，近邻原子的短程作用,力系数为 ，其二,所neq)( 有离子间的库仑作用.证明（1） 库仑力对力常数的贡献为2 .32)1(ape（2） 色散关系,1320 )cos()(sinppqaq其中3.3220,4aem（3） 时,格波为软模。75qa解答（1） 设离子链沿水平方向，第 n 个离子右端的第 n+p 个离子与第 n
5、个离子间的库仑力为 .)(1)2, pnpuef上式右端加一负号，是我们规定坐标的正方向，指向右端，考虑到 , 可将上式展成paunp级数,取一级近似得)(npupaaef np)(21(,第 n 个离子左端的第 n-p 个离子与第 n 个离子间的库仑力为2, )()pnpuf取一级近似得 。auaef pnp )(12,第 个离子和第 个离子对第 个离子间的库仑作用合力为n)()3, npnpuf可见库仑力对常数的贡献为 3)1(2aep（2） 第 个离子的运动方程为n1,1_)2(pnnnfuudtm设格波解,)(tqapipnAe,n则由离子的运动方程得 .)cos1()21sin4)(
6、)co( )2()123321323ppp iqaipiqai pqaaeqmeaeme令 ，可得20, 3120 )cos()in pqap当 ，有a41301133332872)2(2)(751mm记 )(则有437120由此知，当 时， 由于格波的频率 ，因此 说明此振动75.0)(0210模式对应的恢复力系数 ，相当于弹簧振子系统的弹簧丧失了弹性.所以称 的振动模式为软模.4.证明一维单原子链的运动方程,在长波近似下,可以化成弹性波方程 22xuvt解答根据固体物理教程(3.4)式,第 个原子的运动方程为 )(12nnnudtm因为 niqaneu1所以第 n 个原子的运动方程化为.n
7、iqai udt)2(2在长波近似下:,)(1,0iieqaiqa运动方程又化为 nniqain uqudtum)()2( 22 在长波近似下,当 为有限整数时,l1100iqanqei上式说明,在长波近似下,邻近(在半波长范围内)的若干原子以相同的振幅,相同的位相做集体运动,因此(1)式可统一写成.lnlnuqadtum)(22第二章中固体弹性理论所说的宏观的质点运动,正是由这些原子的整体的运动所构成,这些原子偏离子平衡位置的位移 ,即是宏观上的质点位移 u ,从宏观上看,原子的位置可视为准连续的,原子的分离ln可视为连续坐标 x,即l)(Aeeutqitalqin )()(1 5于是,21
8、2)(xuqn(2)式化成,22vt其中 ,是用微观参数表示的弹性波的波速.ma5.设有一长度为 L 的一价正负离子构成的一维晶格,正负离子间距为 ,正负离子的质量分别为 和 ,am近邻两离子的互作用势为 ,nrbeu2)(式中 e 为电子电荷, b 和 n 为参量常数,求(1) 参数 b 与 e,n 及 的关系,a(2) 恢复力系数 ,(3) 时的光学波的频率 ,0q0(4) 长声学波的速度 ,Av假设光学支格波为一常数,且 对光学支采用爱因斯坦近似,对声学波采用德拜近似，求晶格热容。解答(1) 若只计及近邻离子的互作用,平衡时,近邻两离子的互作用势以取极小值,即要求 .0)(ardu由此得
9、到.neb12(2) 恢复力系数.322)1()(anedru(3) 光学波频率的一般表达式参见固体物理教程(3.21)式. 212122120 sin)(6)()()( qamMmM对于本题, , , , .所以 的光学波频率aq 21 0.320 )(ne(4) 由固体物理教程(3.25)式可知,长声学波的频率.qMmaA)(21 对于本题 。2长声学波的速度。)(12aneqvA(5) 按照爱因斯坦模型,光学波的热振动能6.1/00TkBeaLE光学波对热容的贡献,2/20 )1(TEVo EedC其中 是爱因斯坦温度,其定义为EBk0按照德拜模型，声学波的模式密度.AvLD)(电学波的
10、热振动能 .20/1)(TkvedEBATkABTxDed/01其中 , ,TkxBD和 分别为德拜频率和德拜温度，德拜频率 可由下式D DDAAvLddaL00)(求得.vAD声学波对热容的贡献.TxABTkVA DDBo edvLkeddTEC/0220/ )1(1)(xBvLk/22)(在高温情况下, ,上式化成1TxBVA DedLknemaC/0222 )1()(.212先求出高温时的 ,再求 更容易.AEVC在甚低温条件下, ,)/(TD解答设原子的质量为 ,第 个原子对平衡位置的位移为 第 和第 个原子对平衡位置的位移Mnnumn分别为 与 (m=1,2,3)，则第 和第 个原子
11、对第 个原子的作用力为nu.)2()(), nnmnm uuf 第 个原子受力的总合为.11, 2mnnnnfF7因此第 个原子的运动方程为 .n12 )2(mnmnn uudtM将格波的试解 )(qainAeu代入运动方程得12 )(miqaiqae1cos.12in4mqa由此得格波的色散关系为.122siM7采用德拜模型把晶体中的格波看成弹性波,在三维晶体内任意传播方向可存在三支弹性波（两支横波，一支纵波） ，设波矢为 q 的第 i 支弹性波的波动方程为u (r,t)=A cos(qr- ). (1)iq,t任一原子的位移是所有格波引起的位移的迭加，即u(r,t)= . (2)cos()
12、(qi,qi, tr原子位移平方的长时间平均值),(q,i,qi,2 trutt. , ,i,2 )()()(i qii trru由于 的数目非常大,为 （ 是原子总数）数量级，而且取正事负的几率相等，)(, ttrqiqi 2N因此上式对( )的求和项与对( )的求和项相比是一小量，可以略去,于是得i,2truqi,2(tr由于 为 t 的周期函数，其长时间平均值等于一个周期内的时间平均值，因此上式右边中的),(rqi可用 在一周期内的时间平均值代替，在绝对零度下，所有的热振动模式均未被激发，2tu,2即只有零点振动,且一个频率为 的零点振动的能量.10E弹性波 动能的时间平均值为),(tr
13、qidttrudTcVqii02, )(2CvTqi trrA)(sin02, .2,41qic式中 是晶体质量密度, 是其体积, T 为弹性波的振动周期.V由于动能与弹性势能的时间平均值相等，它们均为总能量的一半，所以有，8.412410, EAVTqicqi于是得到.ccqi202,位移 的平方的时间平均值为)(,trui Tqiqi dtrA02,2, )(os1.2,i由以上两式得 .ccqi VEtru)(202, 此为绝对零度下一个振动模动对原子位移均方值的贡献，将其代入（3）式得 qi,2, ,ttqicV1i,20.qic,把上述求和化为对 的积分，得 DdEVtrucqi 0
14、02, )(1)(.c再将德拜模式密度 32)(pv代入上式得 Ddtruqi 02,4.328pv若晶体共有 N 个原子,则上式的德拜频率.pcDV1268采用德拜模型，求出 时原子的均方位移，并讨论高低温极限情况。0T解答在 时，上题中的（3）式仍成立，即仍有0T duDtrutruqiqi 02,22, )(),()(但频率为 的格波能量为.1)(/TkBeE而其动能平均值为9,121)()( /TkBeET动能 又可以表示为.4)(AVc由以上两式可得.122/TkccBeEA频率为 的格波所引起的原子的均方位移是.)(1)( /222 TkcBVu由于（1）与上题中（6）式相似，可得
15、所有格波引起的原子的均方位移， DdEvtrp0322 )(),(，BeTk/1再令 ，TkxB并利用 ，D，3361BcpNVv得xdekTtruDBcqi )12(9),(/0322。Mx/式中 为晶体的总质量cV在高温情况下， ，xex1xdekTNtruDB)12(9),(/0322。32/9DBkTNx可见，在高温下，原子的均方位移与温度 T 的一次方或正比.在甚低温条件下, ,积分)/(D是一常数，0/0 )12(12CxdexdeTD于是,39),(DBkTMCNtru即在甚低温条件下，原子的均方位移与温度 T 的平方成正比.9求出一维简单格的模式密度 .)(解答10一维简单晶格
16、的色散关系曲线如图 33 所示,由色散曲线的对称性可以看出, 区间对应两个同样大d小的波矢区间 . 区间对应有 个振动模式,单位波矢区间对应有 个振动模式, 范围则包dqa2L2L含dq个振动模式,单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度,根据这一定义可得模式密度为 .dqL图 3.3 一维简单晶格的色散关系由色散关系得.dqamad2cos1得下式代入前式,得到模式密度.2021)(sin)( aLLD10.设三维晶格一支光学波在 q=0 附近,色散关系为 ,证明该长光学波的模式密度20(Aq.2123,)(4)(AVc解答解答一:固体物理教程(3.117)式可知,第 支格波的模式密度,SqcdD3)(其中 是第 支格波的等频面,因为已知光学波在 q=0 附近的等频面是一球面 ,所以S Aqq2ScdAV21)(3.23104)(qcc解法二:考虑 q 空间中的无穷小间隔 dq, 与此对应的频率间隔为 设 分别表示单位频率间隔内和d)(,qD单位波矢间隔内的振动方式数,由这两种间隔内所含的振动方式数相等得.Dd2)()(由固体物理教程(3.36)式知,3)(cVq
