1、七年级上册第 9 章 整式第 1 节 整式的概念9.1 字母表示数1、字母可以表示任意的数或符合某种条件的某个数，还可以表示具有某种规律的数，甚至可以表示特定意义的公式。2、在省略乘号时，要把数字写在字母前面，用来代替。如：2a 写成 2a3、除法运算要用分数线来表示。如：C2r 要写成 r2C9.2 代数式1、用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。2、单独的一个数或者一个字母也是代数式。如：a、03、等号和不等号都不属于运算符号，所以它们都不是代数式9.3 代数式的值1、概念：用数值代替代数式里的字母，按代数式中的运算关系计算得出的结果2、注意：（1）如果代数式中省略乘
2、号，代入后要添上“”（2）如果字母的取值是分数，做乘方运算时要加上括号。如 321）（3）如果字母的取值是负数，代入后也要加上括号（4）如果代数式表示的是一个具体的实际问题，那么不能使代数式失去实际意义。如某班有 a 人，则 a 必须是正整数3、求代数式的值的步骤：（1）代入数值；（2）计算出结果9.4 整式七年级上册一、单项式1、单项式的概念：由数与字母的积或者字母与字母的积所组成的代数式。如 4a2、单项式的类型：数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子,如 2a、ab单独的一个数；如-1 单独的一个字母如 m注意： (1)单项式中不能含有加减运算(2)但若分母中含有字母，如 5m3、单项
3、式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 4、如何确定单项式的系数：先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定。注意：（1）圆周率 是常数单项式中出现 时，应看作系数；（2）当一个单项式的系数是 1 或-1 时， “1”通常省略不写；（3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如： 写成214xy254xy5、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数注意： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是 1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算二、多项式1、多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式 “几个”是指两个或两个以上七年级上册2、 多项式的项：每
4、个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 注意：（1）多项式的每一项包括它前面的符号 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如： 是一个三项式267x3、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数 （不是所有项的次数之和）注意：一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出4、多项式没有系数，但对多项式的每一项来说都要系数，都要带上前面的符号5、多项式的排列： 按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫降幂排列按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫升幂排列三、 整式1、单项式与多项式统称为整式2、单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示即单项式、多项式必
5、是整式，但反过来就不一定成立3、分母中含有字母的式子一定不是整式第 2 节 整式的加减9.5 合并同类项1、同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式，几个常数七年级上册项也叫同类项。2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项（不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏）3、合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。4、合并同类项的过程中可以运用加法的交换律、结合律和分配律。5、求代数式的时候，先合并再代入，更简便。9.6 整式的加减1、去括号法则：括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“-”号，去掉“-”
6、号和括号，括号里的各项都变号。2、添括号法则：添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。3、一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。注意： （1）整式加减的一般步骤是：先去括号；再合并同类项（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来(3)整式加减的最后结果中：不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；七年级上册一般按照某一字母的降幂或升幂排列；不能出现带分数，带分数要化成假分数。第 3 节 整式的乘法9.7 同底数幂的乘法1、 叫做幂，读作：“a 的 n 次方”或“a 的 n 次幂” ，其
7、中 a 是底数,n 是指na数2、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数). 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。mna注意：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即 （ 都是正整数）. mnpmnpa,（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（ 都是正整数） 。mnna,七年级上册3、把底数不同的幂转化成相同底数的幂时，常把 4,8,16.转化成以 2 为底数的幂的形式；把 3，9,27.转化成以 3 为底数的幂的形式；把
8、 25、125、.转化成以 5 为底数的幂的形式等等9.8 幂的乘方1、幂的乘方法则： (其中 都是正整数).即幂的乘方，底数不()mna,n变，指数相乘.注意：（1）公式的推广： ( ， 均为正整数)()mnpna0,mnp（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂nn的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.2、当遇到既有乘方又有乘法的混合运算时，一定要先乘方，在乘法。3、如果底数中有负号，那么一定要先确定结果的符号。9.9 积的乘方1、积的乘方法则(其中 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分()nnab别乘方，再把所得的幂相乘.注意：（1）公式的推广： ( 为正整数).()nn
9、abcc（2）逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，nn七年级上册尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：10102.2、积的乘方的底数是数字或字母的积的形式,切莫把 和 混为一谈nnab)（ nab)(n)9.10 整式的乘法1、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.注意：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是
10、同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.2、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即 .()mabcmbc注意：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.七年级上册（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它
11、前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.3、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即 .abmnabmn注意：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘： .2xabxab第 4 节 乘法公式9.11 平方差公式1、平方差公式： 2()abab两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：在这里， 既可以是具体数字，也
12、可以是单项式或多项式. ba,常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如 利用加法交换律可以转化为公式的标准型()ab（2）系数变化：如 （3）指数变化：如35()xy3232()()mn（4）符号变化：如 （5）增项变化：如()ab p七年级上册（6）增因式变化：如 24()()abba2、平方差公式的特点是：左边的两个多项式中，各有一项相同，一项相反；右边的结果是用相同的那一项的平方减去相反那一项的平方。运用这个特点，可以非常方便地进行计算，避免一些符号变形带来的麻烦。9.12 完全平方公式1、完全平方公式： 22abab22)(两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的
13、两倍.注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍.以下是常见的变形：22abab2ab2242、补充公式：； ； 2()()xpqxpq223()abab；3223abab222ccc3、利用乘法公式进行综合计算，如计算（x+y-z）(x+y+z)4、注意 之间的转化22ab第 5 节 因式分解9.13 提取公因数法1、确定公因式的方法：提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整七年级上册数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。2、注意：如果多项式的第一项的系数是负数，通常在提取公因式时连同负号一起提出来，以保证括号
14、内的第一项的系数是正的。3、多项式中各项的公因式是一个多项式时，可以把这个多项式看成一个整体，直接提取公因式。在提取一个多项式作为公因式时，要注意符号。一般的规律是： nnnn yxyxy 221212 )()(,)() （4、经过一次提取公因式后，括号内若有同类项，则一定要合并，然后观察是否还需要提取公因式。9.14 公式法1、因式分解的平方差公式： 2abab2、注意：（1）分解因式时，有公因式一定要先提取（2）分解因式要分解到每一个因式都不能再分解为止3、能够利用平方差公式进行因式分解的多项式一定要满足下列条件：（1）这个多项式时二项式(或可以看成是二项式）（2）这个二项式能够写成两数（或两个式子）平方差的形式4、 因式分解的完全平方公式： ；222aba22ab5、能够利用完全平方式的结构特征：（1）是一个三项式；（2）其中两项可写成两数平方和的形式，另外一项是这两数积的两倍。
