1、1求极限的方法总结1约去零因子求极限例 1：求极限 1lim4x【说明】 表明 无限接近，但 ，所以 这一零因子可以约去。与 1xx【解】 4)(li1)()(li 2121 xxx习题：23lim9x21lix2分子分母同除求极限例 2：求极限 13li2x【说明】 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】 31lim13li2xxx【注】(1) 一般分子分母同除 x 的最高次方；且一般 x 是趋于无穷的nmbaxbanmmnnx 0li1习题 324li75x234n1lin1+13linn（ -5)（nn32)1(lim23分子(母) 有理化求极限例 1：求极限
2、)13(lim22xx【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】 13)(li)(li 222222 xxx013lim22x例 2：求极限 30sintalixx【解】 xxxx sin1talimi1tnli 3030 4li2sintalisn1talim30300 xxx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 习题：2li1xx123limx4.用函数的连续求极限（当函数连续时，它的函数值就是它的极限值）【其实很简单的】2034limx5.利用无穷小与无穷大的关系求极限例题 【给我最多的感觉，就是：当取极限时，分子不3lix为 0
3、 而分母为 0 时 就取倒数！】6. 有界函数与无穷小的乘积为无穷小3例题 , sinlmxarctnlix7.用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当 时, ,0x )1ln(arctrsintasinxxx e；bb121cos(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例 1：求极限 0ln()im1cosx【解】 .002l()ilixx例 2：求极限 xx30tansilm【解】 x30til 613lim31cosliil 2102030 xxxxx习题)arctn(1lim20xxxxsin)ta(lim20xe
4、xsiliin0320itali(1)(si1)x x8.应用两个重要极限求极限两个重要极限是 和 ，第1sinlm0x exnxxx 10)(lim)1(li)(li一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形4式， 例如： ， ， ；等等。13sinlm0xx exx210)(li exx3)1(lim例 1：求极限 xli【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑 ，最后凑X1指数部分。【解】 2121lim12li1lim exxx xxx 例 2 203coslix解：原式= 61
5、)2(sinlmsinl 2020 xxxx例 3 xx20)sin1(lim解：原式= 。6sin6si310sin6i310 )in1(lm)i(li exxxxx例 4nn)12(lim解：原式=31313)(lim)(li ennnnn习题：(1) ；(2)已知 ，求xx21lim82lixxaa59.夹逼定理求极限例题：极限 nnn 222 11lim【说明】两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】 nnn 222 11li 因为 1122222 n又 nn2limli2所以 nn 222 11li 习题: 证明下列极限n1lim222n 1lim(.)n10. 数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比 q 绝对值要小于 1） 。11. .利用 与极限相同求极限1nx和例题: 已知 ，求),21(,2,1 nxxn nxlim解：易证：数列 单调递增，且有界（0 2） ，由准则 1 极限 存在，设 nli。对已知的递推公式 两边求极限，得：axnlimnnxx1，解得： 或 （不合题意，舍去）22a所以 。linx12.换元法 求极值此后 ,还将学:613.用导数定义求极限14.利用洛必达法则求极限15.利用泰勒公式求极限16.利用定积分的定义求极限17.利用级数收敛的必要条件求极限
