1、1温馨提示：高考题库为 Word 版，请按住 Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点 13】平面向量的数量积2009 年考题1. （2009 海南宁夏高考）已知 O，N，P 在 所在平面内，且ABC，且 ，则点 O，N，P 依次是,0OABCABPA的（ ）（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）【解析】选 C. ;, 0OBCANBCOAB由 知 为 的 外 心 ； 由 知 ， 为 的 重 心0, .PAPPA， ，同 理 ， 为 的 垂 心
2、 ， 选2. （2009 海南宁夏高考）已知 ，向量 与 垂直，则实数 的值为（ 3,21,abab2）（A） （B） （C ） （D）171766【解析】选 A.向量 （ 3 1， 2 ）， （1,2），因为两个向量垂直，abab故有（3 1，2 ）（1,2）0，即 3 14 0，解得： .173.（2009 福建高考）设 a，b，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a 与 b 不共线，a c, a= c,则b c的值一定等于 w.w.w.k. （ ）s.5 A以 a，b 为两边的三角形面积 B. 以 b，c 为两边的三角形面积C以 a，b 为邻边的平行四边形的面积 D.
3、 以 b，c 为邻边的平行四边形的面积【解析】选 C.依题意可得 =S 平行四边形.故选 C.cos(,)sin(,)ba4.（2009 浙江高考）设向量 ， 满足： ， ， 以 ， ， 的模为边长构成a|3|40ab三角形，则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1A B C D3456【解析】选 B.对于半径为 1 的圆 有一个位置是正好是三角形的内切圆，此 时只有三个交点，对于圆的位置稍2一右移或其他的变化，能实现 4 个交点的情况，但 5 个以上的交点不能 实现5.（2009 浙江高考）已知向量 ， ,若向量 满足 ， ，则 （ (1,
4、2)a(3)bc()/ab()cac）A B C D 7(,)937(,)397(,)97(,)93【解析】选 D不妨设 ，则 ，对于 ，则有,)Cmn1,2,3,1acmnab/cab；又 ，则有 ，则有 .(1)2()cb07,9n6. （2009 辽宁高考）平面向量 a 与 b 的夹角为 ， ， 则 （ ）6(2,)a1b2ab（A） (B) (C) 4 (D)12323【解析】选 B.由已知|a|2,|a2b| 2a 24ab4b 24421cos60412 .2ab7. （2009 全国）设 、 、 是单位向量，且 0，则 的最小值为 ( )bcabacb（A） （B） （C ） (
5、D)2212【解析】选 D. 是单位向量 ,a()c.|1cos,2|bab8. （2009 全国）设非零向量 、 、 满足 ，则 （ ）ccba|,| ba,（A）150 (B）120 （C）60 （D ）30【解析】选 B.由向量加法的平行四 边形法则，知 、 可构成菱形的两条相邻边，且 、 为起点处的对角线ab长等于菱形的边长.9. （2009 全国）已知向量 ，则 （ ）.w. 2,10,|52a|bA. B. C. D. 5 25【解析】选 C. .2220|bbA|10. （2009 重庆高考）已知 ，则向量 与向量 的夹角是（ ）1,6,()aaabA B C D w.w.w.k
6、.s.5.u.c.o.m 6432【解析】选 C.因为由条件得 22, cos16cos,bb所 以3.1cos23所 以 ， 所 以11.（2009 安徽高考）给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为 .OAB120o如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 上变动.B若 其中 ,则 的最大值是_.,xAyB,xyRy【解析】设 ，即,OCxyOABAB 01cos2()xy 02cos(12)cos3insi()26xy 答案：2.12.（2009 天津高考）若等边 的边长为 ，平面内一点 M 满足 ,则ABC2 CAB321_.MAB【解析】合理建立直角坐标系，因 为三角形是正
7、三角形，故 设 ),()0,32(),AC这样利用向量关系式，求得 M ，然后求得 ，运用数量积公式)21,3( 25,1(B解得为-2. 答案：-213.（2009 江苏高考）已知向量 和向量 的夹角为 ， ，则向量 和向量 的ab30o|2,|3abab数量积 = _.ab【解析】考查数量积的运算.32答案：314.（2009 江西高考）已知向量 ， ， ，若 ，则 = (3,1)a(,)b(,7)ck()acbk【解析】 .6513k答案： 515.（2009 江西高考）已知向量 ， ， ，若 则 = (3,1)a(,)b(,2)ck()acbk4【解析】因为 所以 .(3,1)ack0
8、答案： 016.（2009 上海高考）已知 . 若 ，则 与 夹角的大小为 .2,ba3baab【解析】 312cos, ,.|bA答案： 3217. （2009广东高考）已知向量 与 互相垂直，其中 )2,(sina)cos,1(b(0,)2（1）求 和 的值；sinco（2）若 ，求 的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10i(),2cos【解析】（1） 与 互相垂直，则 ，即 ，ab0inbacos2sin代入 得 ，1cossin225cos,5i又 ， .(0,)s,i（2） ， ，2 ，则 ， 103)(sin1)cos(2 .cos 2)i()()( 18.（2009 广
9、东高考）已知向量 与 互相垂直，其中2,sinacos,1b)2,0(（1）求 和 的值sinco（2）若 ， ,求 的值s53)(50s【解析】（） , ,即abvQin2cogin2co又 , ,即 ,22sinco14s1s524i又 ,5(0,)sico(2) 5co(sin)5cos2in35cos5, ,即cosin222cosin1cos21又 , 019. （2009 海南宁夏高考）已知向量 (sin,co2sin),(12).ab（）若 /ab，求 tn的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若 |,0,求 的值. 【解析】（） 因为 /，所以 2sico2sin,
10、于是 4sico，故 1tan.4（）由 |ab知， n()5,所以 212si5.从而 si1cs)4，即 sics，于是 2in(2)4.又由 0知， 924，所以 5，或 74.因此 ，或 3. 20.（2009 江苏高考）设向量 (cos,in),(si,co),(s,4in)ab（1）若 与 垂直，求 的值； a2bct（2）求 的最大值; |（3）若 ，求证： tn16ab【解析】(1)由 与 垂直， ，a2bc(2)0cac即 ， ；4si()8os0tn(2(2) ,4si)c2 2|inicob 2 216cs3osin16si，最大 值为 32，1730so175in所以
11、的最大值为 .|c4(3)由 得 ，ta6sics即 ，所以 . 4osn0ab21.（2009 湖北高考）已知向量 (os,in)(os,in),(1,0)ac（）求向量 的长度的最大值；bc（）设 ，且 ，求 的值.a4()cs6【解析】（1）方法 1： 则(cos1,in)b=22|(cos1)in(1cos).b，即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2cos,0|40|.当 时，有 所以向量 的长度的最大 值为 2.|,cc方法 2： ， ，|1b=|2|b+当 时，有 ，即 ， 的长度的最大值为 2.cos(2,0)c|c|=b（2）方法 1：由已知可得 os1,in).()
12、csicos()csab， ，即 . +()0abs()由 ，得 ，即 .4cosco42()4kz,于是 .22()kkz或 s0cos1或方法 2：若 ，则 ，又由 ， 得4,a(,in)b(,0)222(),)(cos1,in)cosiabc， ，即 (+)()0abin0，平方后化简得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m sin1coscos(1)解得 或 ，经检验， 即为所求.010cos或22.（2009 湖南高考）已知向量 (sin,2in),(2).ab（）若 /ab，求 t的值； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若 |,0,求 的值. 【解析】（） 因为 /，
13、所以 2sinco2sin,于是 4sic，故 1ta.4（）由 |ab知， 22i(si)5,所以 21sin4i5.从而 2sin1co)，即 nco，7ABP于是 2sin(2)4.又由 0知， 9244，所以 5，或 7.因此 ，或 3. 2008 年考题1、 （2008 海南宁夏高考）已知平面向量 =（1，3） ， =（4，2） ， 与 垂直，则 是（ abab） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2【解析】选 A. ，4,3,13,aba4320ab即 ，选.02、 （2008 浙江高考）已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ,则b c()abc的最大值是( )
14、|c（A）1 （B）2 （C） （D ）22【解析】选 C. |1,0,ab展开 2()|()|cos,ccab则 的最大值是 ;选 C 或者利用数形结合, ， 对应的点 A,B 在圆|oss,ab| 2ab上, 对应的点 C 在 圆 上即可.21xyc2xy3、 （2008 湖北高考）设 ， ， ,则 （ ）(1,)a(3,4)b(2)c()abcAA. B. C. D.(15,2)01【解析】选 C. ， ，选 C.(,)2(,)5,6)b ()(5,6)32abc4、 （2008 海南、宁夏高考）已知向量 ， ， 且 ，则 01， ， 40， ， 9ab0【解析】由题意 (4,1)ab=
15、26()9()3答案：35、 （2008 江苏高考） 的夹角为 ， ，则 。,01,3ab5ab【解析】因为 ，所以 =49。13()2ab2225()10ab因此 7。8答案：76、 （2008 北京高考）已知向量 与 的夹角为 ，且 ，那么 的值为_ab1204abAab【解析】 cosab14()82答案：87、 （2008 湖南高考）已知向量 ， ，则 =_.(1,3)a(2,0)b|ab【解析】 (1,3)|.abb答案： 8、 （2008 江西高考）直角坐标平面上三点 ，若 为线段 的三等分点，则(1,2)3,)(9,7)ABC、 、 EF、 BC= AEF【解析】由已知得 ,则(
16、5,1)74F(4,)6,EF答案：229、 （2008 江西高考）如图，正六边形 中，有下列四个命题：ABCDA 2CFBB DAC D ()()FEF其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 【解析】 , 对2ACDABC取 的中点 ,则 , 对DOF设 , 则 ,而 , 错|1B32cos36 21cos3ADC又 , 对2cos1()AA真命 题 的代号是 ,BD答案： ,10、 （2008 全国）设向量 ，若向量 与向量 共线，则 (12)(3)， ， ，abab(47)，c【解析】 则向量 与向量 共线ab(,3(47)，c232答案：2A BCDEF911、 （2008 陕西
17、高考）关于平面向量 有下列三个命题：a,bc若 ，则 若 ， ，则 Aab=c(1)(26)k， ， ， ab3k非零向量 和 满足 ，则 与 的夹角为 |aba0其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【解析】 ，向量 与 垂直()0abcbc 126k3 构成等边三角形， 与 的夹角应为|ab,abab30所以真命题只有。答案：12、 （2008 上海高考）若向量 ， 满足 且 与 的夹角为 ，则 ab|1,2b|a3|ab【解析】方法一： 2|()aba2|cos7|73ab 方法二：由向量加法的几何意义知（如图） 222|cs|baa答案： 713、 （2008 天津高考）如图，在
18、平行四边形 中， ，ABCD(1,2)(3,)BD则 .ADC【解析】令 ， ，则BaAb(1,2)(2,0)(1,)3aab所以 .()3答案：314、 （2008 浙江高考）已知 是平面内的单位向量，若向量 满足 ，则 的取值范围是 .a b()0ab|【解析】依题 ，即 ， 且 ，又 为单位向量， ，()0ba2|0b2|cos|a,.|1a|cos,.2|,1.答案： 0,115、 （2008 北京高考）已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且a=| b|=4,那么 b（2a+b）的值为 。baA BCD10【解析】利用数形结合知，向量 a 与 2a+b 垂直。答案：016、 （20
19、08 福建高考）已知向量 m=(sinA,cosA),n= ，m n1，且 A 为锐角.(3,)（）求角 A 的大小；（）求函数 的值域.)cos24si()fxxR【解析】（）由题意得 3si1,n1i(),662由 A 为锐角得 ,.6（）由（）知 所以1cos22 23()cos2insiin(si).fxxxx因为 xR，所以 ，因此，当 时，f(x)有最大值 .in,x1i 3当 sinx=-1 时， f(x)有最小值-3，所以所求函数 f(x)的值域是 .,217、 （2008 福建高考）已知向量 ,且sin,co,(1)mA0.mn()求 tanA 的值；()求函数 R)的值域.
20、()cos2tasi(fxx【解析】（）由题意得 mn=sinA-2cosA=0,因为 cosA0,所以 tanA=2.（）由（）知 tanA=2 得 2 213()cos2in1siin(si).fxxxx因为 x R,所以 .当 时，f( x)有最大值 ，,1当 sinx=-1 时， f(x)有最小值-3，所以所求函数 f(x)的值域是 3,.22007 年考题1.（2007 年山东高考）在直角 中， 是斜边 上的高，则下列等式不成立的是（ ）ABCDAB（A） （ B） 2C2（C） （D） B 2()()C【解析】选 C. ，A 是正确的，同理 B 也正确，2()00ACAB对于 D 答案可变形为 ，通 过等积变换判断为正确.22B
