1、现代控制理论讲义 第五章 状态反馈控制器设计0Chapter5 状态反馈控制器设计控制方式有“开环控制”和“闭环控制” 。 “开环控制”就是把一个确定的信号（时间的函数）加到系统输入端，使系统具有某种期望的性能。然而，由于建模中的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素使系统产生一些意想不到的情况，这就要求对这些偏差进行及时修正，这就是“反馈控制” 。在经典控制理论中，我们依据描述控制对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统输出作为反馈信号，而在现代控制理论中，则主要通过更为广泛的状态反馈对系统进行综合。通过状态反馈来改变和控制系统的极点位置可使闭环系统具有所期望的动态特性
2、。利用状态反馈构成的调节器，可以实现各种目的，使闭环系统满足设计要求。参见 例 5.3.3，通过状态反馈的极点配置，使闭环系统的超调量138P，峰值时间（超调时间） ，阻尼振荡频率 。%5pstp5.010d5.1 线性反馈控制系统的结构与性质设系统 为 （5-1）),(CBASBuAxCxy经典控制中采用输出(和输出导数)反馈（图 5-1）：其控制规律为： 为标量， 为参考输入 （5-2）vFyuvBvxFCAyBAxx ）（）（可见，在经典控制中，通过适当选择 ，可以利用输出反馈改善系统的动态性能。现代控制中采用状态反馈（图 5-2）： 其控制规律为： ， （5-3）vKxunm（ 的行=
3、 的行， 的列 = 的行）称为状态反馈增益矩阵。K状态反馈后的闭环系统 的状态空间表达式为),(CBASK（5-4 ） vxx Cxy图 5-1 经典控制-输出反馈闭环系统现代控制理论讲义 第五章 状态反馈控制器设计1式中： BKA-图 5-2 现代控制-状态反馈闭环系统若 ， “状态反馈” 退化成“输出反馈” ，表明“输出反馈”只是“状态反FCK馈”的一种特例，因此，在经典控制理论中的“输出反馈” （比例控制 P）和“ 输出导数反馈” （微分控制 D）能实现的任务，状态反馈必能实现，反之则未必。定理 5-1（ 定理 5.1.1） 若 阶系统 是状态完全能控的，则经过124Pn),(CBAS状
4、态反馈后的闭环系统 仍然是状态完全能控的。即状态反馈不改),(SK变系统的能控性。但状态反馈不一定能保持原系统的能观性。证明 对系统（5-1）的任意能控状态 ，根据能控性定义，在 时间内，xat0存在一个控制作用 ，使得在该控制作用下 。对（5-)(tu )()0(atxt1）加了状态反馈控制律 后，需要证明 仍然是闭环系统（5-3）的vK能控状态。事实上，在时间段 上，取 （5-5）at0Kuv则由于 )()()( tBtxAuBtxAx所以， 也是闭环系统（5-3）的能控状态。由于 的任意性，定理得证。例 5-1 原系统为 ， ，状态反馈矩阵为 uxx10321121 21)(xy，讨论系
5、统经状态反馈前后的能控性和能观性。)3(K解： nCAnAB 247rankrak2rankrank，原系统能控且能观；经状态反馈后， 021BKA，系统经状态反馈后能控性不变；nBAK201rank)(rank但 ，系统经状态反馈后不能保持原系统的能观性C（状态反馈有可能改变输出端） 。现代控制理论讲义 第五章 状态反馈控制器设计2定理 5-2（ 定理 5.1.2） “输出反馈”不改变系统的能控性和能观性（证明略）126P。定理 5-3（ 定理 5.1.3）对能控的单输入、单输出系统， “状态反馈”只改变126传递函数的分母多项式的系数，而不能移动系统的零点。证明：系统传递函数为 ，由于系统
6、的能控性，状态空间模BAsICG1)()型必能通过非奇异变换得到（等价于）能控标准型 ),(C，110.0.naaAB由关系式 011101 .0)( assaassI nnnn )(0sBnn由上式整理可得 1011.)( nnnsasAsI 由于等价的状态空间模型具有相同的传递函数，所以（1BAsICasccsasccBAsIC nnnn 0110101 )(.)()( ）采用状态反馈 后，同理可得闭环系统的传递函数vxKu)(.)()( 0111 kaskasccBAsICnn（2）其中 。由（1） 、 （2）可知，状态反馈只改变系统的极点.10nkkK多项式（只改变传递函数的分母多项式
7、的系数） ，而不会改变分子多项式的系数。现代控制理论讲义 第五章 状态反馈控制器设计3此时，只要不发生零极点相消的现象，状态反馈就不能改变零点。证毕。5.2 稳定化状态反馈控制器的设计本节的目的就是要寻找“反馈控制器”或者说求出“控制律” ，使系统稳定以及使系统的性能满足设计要求。稳定是一个系统正常运行的首要条件。若一个系统不稳定，则必须运用外部控制设法让其稳定。如何确定增益矩阵 ，使下面闭环系统是渐近稳定的？K（5-6 ）BvxABAx)( Cxy根据 Lyapunov 稳定性定理，系统（5-6）渐进稳定的充要条件是存在一个二次型的 Lyapunov 函数 ，其中 是待定的对称正定矩阵。可以
8、PVT)(通过使标量函数 的时间导数是负定的来确定 和 。xT)( PK5.2.1 Riccati 矩阵方程处理方法这种方法可用来处理非线性系统、时滞系统等各类系统的镇定问题，也可用于鲁棒控制器的设计。 （鲁棒是 Robust 的音译，也就是健壮和强壮的意思。鲁棒性（robustness）就是系统的健壮性。它是在异常和危险情况下系统生存的关键。比如说，计算机软件在输入错误、磁盘故障、网络过载或有意攻击情况下，能否不死机、不崩溃，就是该软件的鲁棒性。所谓“鲁棒性” ，是指控制系统在一定（结构，大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。以闭环系统的
9、鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器）对标量函数 求时间导数，并利用状态方程 得：PxVT)( BuAx（5-7）PuxBuxAxt TTT )(d)(应用 可知，后面两项“标量”相等P（5-8）PxBuTT于是 （5-9）PBuxAtVT2)(d)若选取控制律 具有以下结构形式 （5-10）k0（5-11）xxPBkxAxtV TTTT )-(2-)(d) 进一步，选取矩阵 使其满足 Riccati（里卡提）矩阵方程（5-12）IPkTT2-则 ，满足渐进稳定的充要条件。0d)(xtVT现代控制理论讲义 第五章 状态反馈控制器设计4从（5-12 ）解出正定对称矩阵 ，代入（5-1
10、0）就可得到控制规律。这种PT基于 Riccati 矩阵方程（5-12）的稳定化控制器设计方法称为 Riccati 方程处理方法。若对给定的 ，Riccati 方程有一个正定对称解矩阵 ，则对任意的 ，0k P0k)2-()2-(d) 0 xBkAxPkBAxtV TTTTT因此，对任意 ，0都是系统的稳定化控制律。PxkBuT这表明稳定化控制律 具有正xkuT无穷大的稳定增益裕度，这在实际应用中是非常有用的，操作人员可以根据实际情况，在不破坏系统稳定性的前提下，调节控制器的增益参数，使系统满足其他性能要求。例 5-2（ 例题 5.2.1）对（ 例 4.4.3）的双积分系统129P17P设计稳
11、定化状态反馈控制器。uxx00221解：已经讨论，系统不是一个渐近稳定的，取 ，Riccati 方程为1kIPBAPkBATTT 2- 10)0(0101 321321321321 pppp2322311，可以求得： 102331p 232131 ppp，2P0312312p所以， 是正定的，因此，对任意的 k xkpxpkxBuT )321(2)()0( 32321 都是所考虑系统的稳定化状态反馈控制器（取 画图） 。32现代控制理论讲义 第五章 状态反馈控制器设计55.2.2 线性矩阵不等式处理方法根据线性时不变系统稳定性定理，闭环系统 渐近稳定的BvxKAx)(充要条件是存在一个正定对称
12、矩阵 ，使得P（5-13）0)()(BAKT求解上述 和 耦合的非线性矩阵方程十分困难，为此，先将上式写开成PKTT两边左 、右 对称矩阵 11 0111 ）（）（ PBPT记 （5-14） 0YX，（5-15）0BAT不等式（5-15）是一个关于矩阵变量 的线性矩阵不等式。、如果能从（5-15）确定 （ 正定对称矩阵） ，则 是系统（5-Y、 1KPY1） 的一个稳定化状态反馈增益矩阵， 是BuAx 01X相应闭环系统的一个 Lyapunov 矩阵。vK)(例 5-3（ 例 5.2.2，略）130P5.3 极点配置在实际控制系统设计中，不仅要保证系统是稳定的，而且还要使系统具有某些我们所希望
13、的动态性能。特别地，希望选择合适的矩阵 ，使得加入负反K馈后的闭环系统 的极点（特征值） 位于复BvxKAx)( 0)(detBAsI平面上预先给定的位置，这样就能保证系统具有我们指定的动态响应特性，这样的方法称为“极点配置” 。对给定系统，要解决其极点配置问题，需要回答两个问题：（1）对什么样的系统，极点配置问题可解，即使得闭环系统具有给定极点的状态反馈控制器存在性；（2）如何设计使闭环系统具有给定极点的状态反馈控制器。)13(现代控制理论讲义 第五章 状态反馈控制器设计6定理 5-4 系统 存在状态反馈增益矩阵 ， ，使相应的闭环系),(CBASKxu统 的极点可以任意配置的充要条件是系统
14、 是状态完全能控。K,( S证明：必要性。假设被控对象不是完全能控的，即有一部分能控，有一部分不能控，则一定存在某个非奇异矩阵 使 ，使变换后得到等价系统 。TxKS，BvKAx)( Cy，vBKATx1)( y1； ；x1 xT1比较得到变换后的等价系统：（5-16） 001211 BA，（5-17）)(CTKTKC，是能控子系统的能控对， 是不能控子系统部分。)(1BA， 2所以 )(det)(det 11KBsIAsI TAsITBT det(dett1 )(t)t( KsI 这表明，非奇异变换不改变系统的特征值。进一步 )(00det)(det 121CKBAsIKBAsI211)(t
15、 AsIC（5-18）不 能 控 子 系 统能 控 子 系 统 )det()(det1KBsI结论（5-18 ）表明：状态反馈的能控分量 只能通过输入矩阵的能控部分 来改变被控对象的能C 1B控子系统 的极点，而不能改变不能控子系统 的极点。因此 系1A 2A),(CBAS统（完全）能控是能够任意配置（改变）极点的必要条件。状态反馈的不能控分量 对“极点配置”没有贡献。CK充分性。如果 完全能控，就能保证通过改变状态反馈增益 ，使),(BAS K的极点任意配置。0detsI推论 5-1 当系统 不是完全能控时，通过状态反馈 使其闭),( vxu现代控制理论讲义 第五章 状态反馈控制器设计7环系
16、统稳定的充要条件是系统 的不能控极点 都具有负实部（称S0)det(2AsI为能稳定或能镇定的 Stabilizable） 。稳定 最好的，也可以通过极点配置 改造成更稳定K能控不稳定 可以通过极点配置 改造 BA稳定 能镇定的，虽不能通过极点配置改造，但也无妨不能控不稳定 最糟糕！不稳定，还不能通过极点配置改造5.3.1 能控标准形的极点配置 设被控对象为能控标准形 ， ， 。),(bA110.0naa0b原系统的特征多项式为 0)det(Inn 希望状态反馈后，闭环系统为特征值集合 的特征多项式.1n)(et)det(bkAIIc 0111 .)( bbnii 希 望 110110 .0)
17、( nnc bbkakabkA 比较两边系数可得：（5-19）).().( 110110 nn abk例 5-4（ 例 5.3.1）2 阶单输入线性定常系统为 ，求状态13P uxx032反馈控制器，使闭环系统极点为 。)32(解：利用系统特征多项式和希望的特征多项式相等的充要条件，使两多项式同次幂的系数相等，可以直接解出增益矩阵 ，称为直接法。 K本题采用直接设计方法，设 ，代入系统方程得xku)(10xkx 10323210现代控制理论讲义 第五章 状态反馈控制器设计8，希望状态反馈后的闭环系统特征多0122)3()det( kAsIc 项式为， 6521 ii比较可得： ， ，53k20
18、k2180k所求的状态反馈为 2)8(xxu对于一般状态方程，如果他是能控的，即总是存在线性变换 ，将状Tx态方程等价的变换成能控标准型。 ,1TAB， ，1100naaA B),(),(1Acc因此，对于一般状态方程，只要他是能控的，就可以进行任意极点配置。而直接配置方法适用于一般状态方程。5.3.2 极点配置设计状态反馈控制器的算法 单输入系统的极点配置主要采用变换法和直接法：通过能控标准型（非能控标准型可以通过非奇异变换 变成能控标准型）的设计方法称为变换法；利T用系统特征多项式和希望的特征多项式相等的充要条件，使两多项式 同次幂的系数相等，可以直接解出增益矩阵 ，称为直接法。K例 5-
19、5（ 例 5.3.2）被控对象的传递函数为 ，设计一个状136P )2(10)(ssG态反馈控制器，使闭环系统的极点为 。j12，解：为了使设计的状态反馈控制器便于实施，描述被控对象的状态空间模型应例 5-4 图 闭环控制系统的状态变量图结构图现代控制理论讲义 第五章 状态反馈控制器设计9当尽可能地选择那些易于直接测量的信号作为状态变量。将传递函数做一下串联分解，将串联子系统 的输出选为状态变量 ，显然，211ss， 321x，这样的状态变量容易直接测量。)(21)()()(33221sUsXs)(2)(331tuxtt xxy)01(0由此得到状态空间模型为 ，uxx1020 xy)0(显然，这是一个“非能控标准型”的状态空间模型。可以通过“变换法”将其变换成“能控标准型” 。（1）变换法 首先确定非奇异变换 ，将串联分解实现变换为能控标准型。Tx原系统的能控性矩阵为： 42130)(2BAC 0134210C由图我们得到 2)()det( 3sssAsI因此，能控标准型为 ，10320B，71)(2BAC根据 定理 3.1.4，状态变换矩阵为 76P 1221 )(BABATC
