1、 OLS 估计量的性质的推导证明（一些补充）1、 线性： 2 2 222 2( )()0)i ii i ii i i ii iii iii ixyxYxYxxYxkkXXn 由 于（ ） 证 明 斜 率 系 数 估 计 量 是 的 线 性 函 数 。 ， 其 中 2 22 22(0)(1,0)01,1 ,0()11,ii ii ii i i iiiii ii ii ii i ii ii ixkx kxkxXkXkXkXxkxkAA注 意 ： （ 由 于 对 确 定 量 而 （ ）=故又故 言 是 定 值 )前 已 证 前 已 证记 得 与 对 后 面 的故 证 明 会 有 用 。211),ii
2、 i i iYYXkXwkXnn（ ） 证 明 截 距 系 数 估 计 量 是 的 线 性 函 数 。 （ 其 中11)111):(010 (1; )1,i i i ii i ii iii i iiwkXnkXknXkknn kXwXn AAAAA注 意 （ 前 已 证 前 已 证注 意 ， 对 后 面 的 ；（ 证 明 有 用 。2、无偏： 12 122)()(.)()().()(.,0i iii i iii n nnnkYXkXkEkEEkEk (1) 是 的 无 偏 估 计 量 。 （ 由 于 （ 前 已 证 注 意 假 设 0()(i iik k 所 以 对 等 式 两 边 取 期 望
3、 有 ， ）( 1,iii iwEXk 课 件 上 有 错 误 ：(2) 是 的 无 偏 估 计 量 ,即 ） 证 明 方 法 同 上 ， 参 考 课 应 改 为 注 意 利 用 件 。3、有效性：* *(), ,( ()()i VarcYErVar 证 明 思 路 ： 先 计 算 的 方 差 再 证 明 对 任 一 线 性 无 偏 估 计 量 即 满 足 且 ） ） ， 均 满 足 。 对 的 有 效 性 证 明 思 路 同 。对 ， 的 最 小 方 差 性 证 明 上 课 件 已 经 说 的 比 较 清 楚 ，也 没 有 错 误 。 这 里 仅 仅 对 ， 的 计 算 作 一 些 说 明
4、。12 2 22 11( )()(.)( )(.)(.() ii n in ni ni kVarkkarVarkVarkVar 注 意 前 面 证 明 无 偏 性 的 时 候 已 证 注 意 到 为 常 数 注 意 到 随 机 变 量 独 立（ 1) 计 算 与 的 方 差 。 (注 意 到 随 机 变 量 222 22 222 22222() 1() )()1 1, ,()( ,)( ()iii ii ii i i ii i iii iiVarx wkXnxxxkkkxkXnA所 以 前 几 步 思 路 同 上 这 里 课 件方 上 有 错 误 请差 相 同 ,为 注 意 到 故 ， 见 课
5、 件 注 意 注 意 前 22222 22222 10,)()11() i i ii ii ii ii iii iXnxnxkkxXxXnxnxXxnx 已 证 最 后 一 个 等 号 处 ， 用 逆 推 比 较 清 楚 ： , ,cov,)cov(,)( (,)cov(,)cov(,)cov(,)cov()0;c(j jXYZWabdXaYbWdZaadXZYWbYZii i 、 关 于 ,的 协 方 差 计 算 ：课 本 的 证 明 方 法 略 显 复 杂 ：在 证 明 前 先 注 意 两 个 公 式 ： 若 是 随 机 变 量 ,是 常 数 则 有 并 注 意 两 个 对 随 机 变 量
6、 的 假 设 :对 ij,有 对 j,12 1211 211 ,cov(.),(.)0,c ()()(),)ov(,)( n ni iij jnnij wwkVarkwk k ii ii 注 意 到 为 常 数 由 于 对 有 所 以 只 需 考 虑 i=j的 情 况 故 221 2 222 221121111,.cov(,)cov()(),)0i nni ii inn nni i i inniikk kVarkwXXii i （ 注 意 到 有 同 方 差 假 设 ， , ） (注 意 到 前 面 已 证（21 21)iini nix xX 22,()()()()cov(,)Var( Var
7、()iiYXEYXEXExXx 一 种 比 较 简 单 的 算 法 如 下 ：由 于 所 以 ，故 在 证 明 的 有 效 性 时 已 求 得 2 22222 2()()()2(),()()()iii iii iiii i ii ii iseYXwkEVaerEenn 课 件 上 误 作课 件 上 此 处 有 误 ,请 注 意 ) 、 证 明 由 于 前 面 已 算 得 ： 又 因 为 21222 22(),cov,()()0.)()()()( iij ijiji i iniiii ii i VarEi wwwEkeVarXar A， 当 独 立 故所 以 同 理 可 算 得 : 故 22 2222 22 2 222 22)cov(,)()()() i i iiii i i ii i iii i i i ii i ii ii XEXEwknxxxXXEeXnwkXxxAA 两 边 求 和 得 2 222222 2 222 22 22(4)() (4)()()( ii ii iii iiii iiiiiXnxXnXxnnXxeEnAA 故 22), .ies即 为 的 无 偏 估 计
