1、第九章基本知识小结物体在线性回复力 F = - kx，或线性回复力矩 = - c 作用下的运动就是简谐振动，其动力学方程为 （x,02dtx表示线位移或角位移） ；弹簧振子： 02=k/m，单摆： 02=g/l，扭摆： 02=C/I.简谐振动的运动学方程为 x = Acos( 0t+)；圆频率、频率、周期是由振动系统本身决定的， 0=2/T=2v；振幅 A 和初相 由初始条件决定。在简谐振动中，动能和势能互相转换，总机械能保持不变；对于弹簧振子， 。202121mkAEpk两个简谐振动的合成分振动特点 合振动特点方向相同，频率相同 与分振动频率相同的简谐振动=2n 合振幅最大=(2n+1) 合
2、振幅最小方向相同，频率不同，频率成整数比不是简谐振动，振动周期等于分振动周期的最小公倍数方向相同，频率不同，频率较高，又非常接近出现拍现象，拍频等于分振动频率之差方向垂直，频率相同 运动轨迹一般为椭圆=2n 简谐振动（象限）=(2n+1) 简谐振动(象限)方向垂直，频率不同，频率成整数比利萨如图形，花样与振幅、频率、初相有关阻尼振动的动力学方程为 。022xdttx其运动学方程分三种情况：在弱阻尼状态（ 0） ，振动的方向变化有周期性，对数减缩 = T.2),cos( tAext在过阻尼状态（ 0） ，无周期性，振子单调、缓慢地回到平衡位置。临界阻尼状态（= 0） ，无周期性，振子单调、迅速地
3、回到平衡位置受迫振动动力学方程 ；tfxdttxcos202其稳定解为 ， 是驱动力的频率，A 0 和 也)cos(0Ax不是由初始条件决定, 2204)/f20tg当 时，发生位移共振。209.2.1 一刚体可绕水平轴摆动。已知刚体质量为 m，其重心 C和轴 O 间的距离为 h，刚体对转动轴线的转动惯量为 I。问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。解：规定转轴正方向垂直纸面向外，忽略一切阻力，则刚体所受力矩 = - mghsin O h因为是微小摆动，sin, = - mgh ，即刚体是在一线性回复力矩作用下在平衡位 C置附近运动，因而是简谐振动。由转
4、动定理： mg2/dtImgh即， ImghIghIghdt 020,2 9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为 m，弹簧的劲度系数为 k1 和 k2，支承面为理想光滑面，求系统振动的固有频率。解：以平衡位置为原点建立 k1 k2 坐标 o-x。设 m 向右偏离平衡位置 x，则弹簧 1 被拉长 x，弹簧 2 o x被压缩 x，m 所受的合力（即回复力） .F)(21由牛顿第二定律： 0,)(221 mkmkdtxmmk2100,9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为 m，弹簧的劲度系数为 k1.若在振子和弹簧 k1 之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半。问串联上的弹簧的劲度
5、系数 k2 应是 k1 的多少倍？解：以两个弹簧串联后 m 的平衡位置为原点建立图示坐标 o-x,设 m 向下偏离平衡位置 x，弹簧 1 伸长 L 1，弹簧 2 k1伸长 L 2，L 1+L 2 = x (1)；由于忽略弹簧质量， k2两个弹簧连接点处所受的两个弹力等大反向，即k1L 1 = k2L 2 (2)；由、解得： ， oxk21所以 m 所受的回复力 ， xkFk212由牛顿二定律； ，即 221dtxkm 0)(212kmdtx，未串联前频率 ，令 ，即)(021kmk100，可求得：k21)( 132k9.2.4 单摆周期的研究：单摆悬挂于以加速度 a 沿水平方向直线行驶的车厢内
6、；单摆悬挂于以加速度 a 上升的电梯内；单摆悬挂于以加速度 a（ag）下降的电梯内。求此三种情况下单摆的周期，摆长为 l.解：以车为参考系，单摆受力如图示，设平衡位置与竖直线成 角，由平衡条件： gatmgTa/,cos,sin设单摆偏离平衡位置角位移为 (5 )，单摆所受回复力矩： )sinco( )sin(coi,i,1,5 )sinc)ss(i )agml agllgmmf*=maTmga 由转动定理： ，)sinco(,2 agmllIdt 2222 , ,/i/cos00sinco0is gallgalgalagldt T以上求解较为麻烦，我们可以用另外一种简捷的思路和方法：在重力场
7、中单摆的周期为 ，g 是重力场强度lT现在单摆在力场 中振动，力场强度：amfgm* 22, 2 aglglTaag 以电梯为参考系，平衡位置仍然在铅直方向，由转动定理： 2)(sin)( dtmllmagllaglagdt T ,002同样可以认为单摆在力场 中振动，力场强度：aglglTag2, 与前面分析完全相同， l9.2.5 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为 1013/s，设想各原子间彼此以弹簧连接，1 摩尔银的质量为 108g，且包含6.021023 个原子，现仅考虑一列原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数。解：利用 9.2.
8、2 题的结果： mkk2021mNk /354)10(2102.682139.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为 k=9.8N/m,物体的质量为200g,现将弹簧自平衡位置拉长 cm 并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为 7.0cm/s,求该振子的运动学方程（SI ） 。解：弹簧振子的圆频率 .设振子的运动学72.0890mk方程为 .)2(sin(),1(7cos( tAvtAxdtx据题意,t=0 时， ,代入/1.,22、中，有 )(sin710.,)(cos1022AA由、 可解得：A=3 10-2m； ,3/1,3/co= - 19.47= - 0.34rad. 代入（1）中，振
9、子的运动学方程为：x = 310-2 cos (7t - 0.34).9.2.7 质量为 1.0103g 的物体悬挂在劲度系数为1.0106dyn/cm 的弹簧下面， 求其振动的周期；在 t=0 时，物体距平衡位置的位移为+0.5cm ，速度为+15cm/s ，求运动学方程。解：以平衡位置为坐标原点，建立图示坐标 o-x 10310.0256mkk kOxsT19.0120设运动学方称为 )10co(tAx，将 t=0 时，x=0.510 -2,v=1510-2)sin(tv代入，有 ）（ ， sin2/3cs105.2 A 2+ 2，可求得 A2=0.47510-4，A=6.8910 -3m
10、，将 A 值代入、中得： rad759.0,68.0in,7.o所以，运动学方程为： ).1cos(89.63tx9.2.8 一简谐振动的规律为 x=5cos(8t+/4),若计时起点提前0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？一简谐振动的运动学方程为 x=8sin(3t-),若计时起点推迟1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后 t=0 时旋转矢量的位置。解：设计时起点提前 t0 秒，则 t=t+t0，将 t=t-t0 代入原方程得 x=5cos(8t-8t0+/4).当 t0=0.5s 时，x=5co
11、s(8t-4+/4)=5cos(8t-184)=5cos(8t+176 )若使初相为零，令 -8t0+/4=0，得 t0=/32 ，即计时起点提前/32 秒可使初相为零。原方程 x=8sin(3t-)=8cos(3t-3/2). 设计时起点推迟 t0 秒，则 t=t-t0，将 t=t+t0 代入原方程得 x=8cos(3t+3t0-3/2).当 t0=1s 时，x=8cos(3t+3-3/2)=8cos(3t-98),t 0=1s 时，初相= （3-3 /2）rad=-98 若使初相为零，令 3t0-3/2=0，得 t0=/2，即计时起点推迟/2 秒可使初相为零。 t=0t=0 t=0 176
12、 45o x o -98 xt=09.2.9 画出某简谐振动的位移-时间曲线，其振动规律为x=2cos2(t+1/4) (SI 制).解：由运动学方程可知：A=2m, 0=2,T=2 / 0=1s,=/2.方法一：根据余弦函数图像规律：相位 =0,/2, ,3/2,2时，其对应的位移为 A,0,-A,0,A.因此只要求出对应的时间 t 即可画出 x-t 图像。令 2(t+1/4)=0,/2, ,3/2,2; 可求得对应的时间为-1/4,0,1/4,2/4,3/4.找出这些特殊点，即可画出 x-t 曲线。方法二：令 t=t+1/4 得 x=2cos2t,以 1/4 秒为 t 轴的时间单位，先画出
13、它的 x-t图像。然后根据 t=t-1/4,将 o-x 轴右移 1/4 即得到 x-t图像。x (m)2-1 0 1 2 3 4 5 6 t (1/4 s )-29.2.10 半径为 R 得薄圆环静止于刀口 O 上，令其在自身平面内作微小的摆动。求其振动的周期。求与其振动周期相等的单摆的长度。将圆环去掉 2/3 而刀口支于剩余圆环的中央，求其周期与整圆环摆动周期之比。 O 解：如图示, o=-mgRsin -mgR R 由平行轴定理，I o=mR2+mR2=2mR2；据转动 C 定理 o=Io, ,即 2dtmRggRoRgdt oT22,0单摆的周期为 与薄圆环振动周期相等的单gL摆的摆长
14、L=2R. o 设剩余圆环的质心在 c 处，质量为 r m/3.据平行轴定理：I o=Ic+mr2/3;Io = mR2/3=Ic+m(R-r)2/3, Ic=mR2/3-m(R-r)2/3=2mRr/3-mr2/3代入前式得 Io=2mRr/3. 设余环摆角为 ，则 o= - mgr/3.由转动定理 o=Io o，有 mgr/3=(2mRr/3)d2/dt 2,即 . 由于和剩余环的gRRgoRgt oT22,02 大小无关，可知，无论剩余环多大，只要刀口支于剩余环的中央，其振动周期就和整个圆环的振动周期相等。9.2.11 1m 长的杆绕过其一端的水平轴作微小的摆动而成为物理摆。另一线度极小
15、的物体与杆的质量相等，固定于杆上离转轴为h 的地方。用 T0 表示未加小物体时杆子的周期，用 T 表示加上小物体以后的周期。求当 h=50cm 和 h=100cm 时的比值 T/T0.是否存在某一 h 值，可令 T=T0,若有可能，求出 h 值并解释为什么 h 取此值时周期不变。解：为简便起见，借用 9.2.1 题中求得的结果，物理摆的周期，其中 hc 为摆质心到转轴的距离。)1(2cmghIT未加小物体时： 203120210)(, lmlIml，代入（1）中 .2lchglT32加小物体后： ，420200/)(, lhlch,代入（1）中 2031hmlI)(3lg lT230当 l=1
16、m,h=0.5m 时， 954.015.230T当 l=1m,h=l=1m 时， 20令 T=T0 ， 即 ，解得：)3(,32 lhlhlh=0, h=2l/3.在 h=0 处加小物体，即把物体放在转轴处，对摆的摆动毫无影响，故周期不变。由 可知，此物理摆的等效单摆长度glT320为 ，因此，在 处加小物体，相当于只增加单摆的质量，l32lh32没有改变单摆的长度，故周期不变。9.2.12 天花板下以 0.9m 长的轻线悬挂一个质量为 0.9kg 的小球。最初小球静止，后另一质量为 0.1kg 的小球沿水平方向以1.0m/s 的速度与它发生完全非弹性碰撞。求两小球碰后的运动学方程。解：设 m
17、1=0.9kg,m2=0.1kg,碰前 m2 的速度为 v20=1.0m/s,碰后两球的共同速度为 v0.由动量 lc Romg守恒，有 02120)(vmvm2 v20 m1svmv/.910210碰后两球构成一个单摆,圆频率 .设运动39.080lg学方程 )(sin(3),1(3.cos( tAvtAxdtx将 t=0 时,x=0,v=0.1 代入,得：0=Acos , 0.1= - 3.3Asin 要同时满足 ，只有取 =-/2 ；代入 得 A0.03.所以运动学方程为： ).cos(0.2tx9.2.13 质量为 200g 的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm，今有一质量为
18、200g 的铅块在高 30cm 处从静止开始落进框架，求铅快落进框架后的运动学方程。解：设 a 为弹簧自由伸长时框架的位置，b 为碰前框架的平衡位置，o 为碰后平衡位置并取作坐标原点。据题意：ab=0.1m, k=mg/ab=0.29.8/0.1=19.6N/m,在 o 点，2mg=k(ab+bo), bo=2mg/k-ab=0.1m设碰后铅块与框架获得的共同速度为 v，由动量守恒: 21./3.0892/,2ghvmgh碰后框架与铅块振动的圆频率 ，设振7.610mk动的运动学方程为 ，将)sin(),7cos( tAvtAx振动的初始条件：t=0 时, x = -0.1, v = v=1.
19、21 代入，有： 即 ，i173.0,i21.cs1.0 2+ 2，得： ，将 AmA2.0,4.)173.0().(222 值代入、中得：cos= -0.5, sin= -0.865, = -120 = -2/3所以，运动学方程为： )cos(.32tx9.2.14 质量为 200g 的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm，框架下方有一质量为 20g 的小球竖直向上飞来，与框架发生完全弹性碰撞，已知小球碰前速度为 10m/s，求碰后框架的运动学方程。解：以框架平衡位置为坐标原点，据题意：9.,6.190/8.22.0610mkk设小球质量为 m，小球碰前速度为 v0，小球碰后速度为 v
20、，框架碰前静止，碰后速度为 v0由动量守恒： ，由牛顿碰撞公式：0v00v由此可求得： sm/82.120.2)1(20 设运动学方程 )9.in(,9costAvtAx代入初始条件： ， s.由知 =/2，为满足 式，取 =/2 ，代入得： A=0.184所以，运动学方程为： )9.co(184.02tx9.2.15 质量为 m 的物体自倾角为 的光滑斜面顶点处由静止而滑下，滑行了 l 远后与一质量为 m的物体发生完全非弹性碰撞。m与劲度系数为 k 的轻弹簧相连。碰撞前 m静止于斜面上，如图v0o xa mmboxmmv0ox所示。问两物体碰撞后作何种运动，并解出其运动学方程。已知m=m=5
21、kg,k=490N/m,=30,l=0.2m.解：设 a 为弹簧自由 m 伸长处，b 为只有 m时的 a m平衡位置, o 为 m 与 m粘 b k在一起时的平衡位置.以 o O 为原点，建立图示 o-x 坐 x标。由平衡条件有： .aogakgsin)(,sin mabo 05.49/.85/设 m 与 m碰前速度为 v1，由能量守恒， ，21sivl.设 m 与 m碰后共同.02.9sin21 glv速度为 v0,由动量守恒 svvv/7.0,)(21 1显然，碰撞后两小球在平衡位置 o 附近作简谐振动，其圆频率. 设运动学方程为 （1） ，7524900mk)cs(tAx速度 . 将初始
22、条件 ，)2(sin(tAvdtx 05.,x代入得： .7.0 )2(sin7.0,)1(cos05.可解得：A=0.1118m,= - 1.107rad. 10co8tx9.3.1 1851 年傅科作证明地球自转的实验，摆长 69m,下悬重球28kg.设其振幅为 5.0，求其周期和振动的总能量，重球最低处势能为零。解： ；根据能量守恒，振sTgl 7.164.328.9动的总能量等于摆在最高点时的势能 jmlE 2)5co(.)cos1(max 9.3.2 弹簧下面悬挂质量为 50g 的物体，物体沿竖直方向的运动学方程为 x=2sin10t,平衡位置为势能零点（时间单位：s,长度单位；cm
23、 ）.求弹簧的劲度系数，求最大动能，求总能。解： mNkm /510., 22020 scvtvdtx ./1cosaxjEk 322max1ax .5. 根据能量守恒，总能量等于最大动能，为 1.010-3j9.3.3 若单摆的振幅为 0，试证明悬线所受的最大拉力等于mg(1+ 02)证明：单摆的运动学方程为： )cos(0t角速度 )sin(/00td在法向方向应用牛顿第二定律： )si(cos020tmlgTlan时，T 最大2,1,5lgmg Tn xx所以， )1(2020max mggT9.4.1 在电子示波器中，由于互相垂直的电场的作用，使电子在荧光屏上的位移为 x = Acos
24、t, y = Acos( t+).求出=0 ，/3， /2 时的轨迹方程并画图表示。 y解：=0 时，轨迹方程 y=x,如图 a 所示。=/3 时， x = Acost, 0 xy = Acos(t+ /3)= A(cost cos/3 sint sin/3)= . 由上式可得22312321)sinco( xAtA，两边平方可得xx 0243Ay令 .代入 5cossin,45sic xy上式可得 1)/()/( 2223Ax其轨迹为如图所示的斜椭圆。= /2 时， y,costx， xAtAyin)cos(2则 ，其轨迹是半径为 A 的圆。2x9.6.1 某阻尼振动的振幅经过一周期后减为原
25、来的 1/3，问振动频率比振动系统的固有频率少几分之几？（弱阻尼状态）解：对于弱阻尼振动： 202),cos(tAext由题意 ，两边取对数得 .3/)(TttAe 3ln,lT1)/2(,ln2 220 %49.1)3l/(ln/1 20 9.6.2 阻尼振动起初振幅 A0=3cm，经过 t=10s 后振幅变为A1=1cm，问经过多长时间，振幅将变为 A2=0.3cm?（弱阻尼状态）解：弱阻尼状态运动学方程为： )cos(text 103ln,1,10;3,0 100Att，. 1/ln设 t=t2 时，振幅变为 23.02 ln,.0202 tAeAt st .13ln/0/l9.7.1 某受迫振动与驱动力同相位，求驱动力的频率。解： ， 即为受迫振动与驱动力的相差，20tg=0 ，tg=0,而 为有限值， 0.yy
