1、非线性系统控制理论55第四章 反馈线性化原理的应用在这一章中将介绍在局部坐标变换和反馈线性化原理基础上的一些推论及其在控制系统设计中的应用。它们是零动态；局部渐近镇定；渐近输出跟踪；干扰解耦；高增益反馈；具有线性误差动态特性的观测器问题等。4.1 零动态在这一节中我们将介绍并讨论一个重要的概念“零动态” 。在很多场合中它起着与线性系统中传递函数的“零点” 极其 类似的作用。在前述中我们已经看到线性系统的相对阶r能够被解释为其传递函数的极点数目与零点数目之差。即若任何一个线性系统其相对阶r严格小于其维数n，则其传递函数中必存在零点；反之若r=n，则传递函数中就没有零点。所以前节中精确线性化所讨论
2、的系统，在某种意义上类似于线性系统中无零点的情况。在这一节中这种类比将进一步推广。考虑一个相对阶 严格小于 的非线性系统rnxfgxuyh则可通过坐标变换，变成正则形：， ， ZxLhxffrn1zr1zrn1其中 ，若能使 , rnx1Lxgi0nir1则可将系统变成下列形式： z123zrr1非线性系统控制理论56zbazurqr1zn或写成： 20rbau,q若 x0是使 的点，则在 x0一定有 ，虽然此时fhx00,可以任意选择，但是不失一般性，可以选 ，如果 0是系统的一个平衡点，则在新坐标下也应是一个平衡点。因而有： 当 时b,0,当 时q0这也就是说，在 x0，系 统处于平衡状态
3、下，若此时及以后又没有输入作用（即 ），则该系统就一直处于平衡状态。u1.输出零化问题和零动态现在提出一个这样的问题：能否找到这样成对的关系：即某个初始状态 x0，及对应的 ，ut0定义在 t0的一个邻域上，使得系统在 t的邻域上输出 恒等ut0 y于0。这个问题被叫作输出零化问题。当然我 们感兴趣的是所有这样的对子 ，而不是前面提到过的 xu0,简单的平凡对。x,对于正则形有： ytz1由于限制在所有t时刻 ，这就必须有：ztttr120也就是说在所有时刻 。0所以，我们可知当系统的输出恒等于零时，其状 态也以这样一种方式受到限制，这时 也恒等于零。并且 必须是下列方程的唯一解。tutbta
4、,非线性系统控制理论57其中 ，当 趋近于零时；at0,t应服从下列微分方程，因为到目前为止，我们只知道 。t t0（3.1）tqt0,由于 与输出不直接有关，所以要使 保持为零，只要t yt可以任意来选择，但是对于不同的 0，要解得 ，0,0而 t再取 utbta0,才能使 保持为零。yt当初始条件选择为 ，及 时，上述的解 是唯一0ut的。方程（3.1）描写了系统内部的这样一种动态特性，即在限制输出恒为零的条件下，对于所选择的初始条件，并由此而解出的控制作用下，系统内部的动态特性。这个动态在我们今后的讨论中颇为重要，ut被叫作系统的零动态。2.关于零动态的几个评注：（1）对于线性系统而言，
5、零动态是这样一个特殊的线性系统的动态：这个系统的极点或特征值是原系统的零点；即以原系统传递函数的分子多项式为其特征多项式的线性系统的动态。现在我们来说明这一点，假定线性系统的传递函数为： HsKbsanr01 可知其相对阶为r，若该系统传递函数的分子与分母是互质的，则容易得出其一种最小实现为： xABuyC其中：Aaan010112 Bk0Cbr010 非线性系统控制理论58化为正则形后 zCxbbxnrnr101211A23 2rrrrnrn1011再取： zxr2nr它使 Lgi0，且 x是非奇异的。因为 x 10100*容易验证它是非奇异的。因而用该坐标变换可以化成正则形，其形式为： z
6、zRSKuRSKuPQrr1231 100 根据零动态的意义， 0，所以有 Q此时应取 utSt1因：非线性系统控制理论59 1210 11203221zbzb zxbxxdtz zdtzxnrrr rnnrn rr 由于 ， 故故： Qbbnr001011 由此零动态的特征多项式为： rnrSSSI det此即为原系统传递函数的分子，因而零动态的极点就是原系统的零点。( 2 ) 非线性系统的零动态在=0处的线性近似与整个非线性系统在x=0处的线性近似系统的零动态是一致的。也就是说取零动态与取线性近似的操作运算本质上是可以交换的。为了校验这一点，我们必须做的仅仅是要说明正则非线性方程的线性近似
7、与原系统线性近似的正则形是一致的。并且非线性系统的相对阶与其线性近似系统的相对阶也是一致的。前面业已介绍 fxAfxgB()()21同理 hC()()2由递推关系，容易计算 Lxdxfkkk其中函数 dxk()使得 dx0由此可以推出非线性系统控制理论60对所有kr-1CABLhkgfkrfr(0)11也就是说原系统在 x=0 处的线性近似系统，它的相 对阶就等于r。则非线性系统的正则形的相应项可以写成下列展开式： bRSbaKaqPQq(,)(,), ,212则其零动态的线性近似式为 (,)00),(2所有.Q描写了当 0 时，原系统在 =0 处的零动态的线性近似，它与整个系统在 x=0 处
8、的线性近似的零动态是一致的。例3.2 我们来分析下列系统的零动态xu.32123yx1则有： Lhxxgfgf()0132因此其相对阶 r=2，为了化为正则形，取 zxzLg12323233010)(非线性系统控制理论61于是在新坐标下系统的方程为 zbzazu. (,)(,)1212312333从零动态的意义可知，y(t)=0 意味着 t120，所以系 统的零动态为： z.3(3)非正则形时 的零动态：虽然上述零动态的分析是在正则形的条件下进行的，但是由于坐标变换中的状态变量要满足 常常有难处 。于是得到的是非Lxgi()0正则形，系统的描述成为：zzbuqprr.(,)(,)1231我们可
9、以看出方程的前面几个变量与正则形是相同，所以从零动态的概念出发，应有y(t)0，所以： 。zzr120. .由此可得 ，uba(,)所以 ，.(,)(,)(,)qpba则零动态为：Comment g1: Page: 62非线性系统控制理论62。.(,),()qpba0(4)几何观点：若系统在某点 x处的相对阶为r，则有0 k r-1ytLhtkf()()xtugfr()1对于输出零化问题，则有 ?k()，0 k r-1。故系统一定在下面的子集上运动( 局部地围绕 )x0。zRhnffr : 1也就是说在新坐标下，恰恰正是 z2, 均为零的点集上运动，且附加的限制条件： yLhtturfgfr(
10、)()10图4.6表示了在新坐标下零动态的几何表示图 4.6因为微分 dLhxfi()，0 i r-1，在 x0 处是线性无关的。所以 z 处在 x0 附近的一个 n-r 维的光滑流形，其状态反馈为 utLhfrg()1因为 dhxLfgxutxutLhLhxffr fgffrfrffr()()()()() 1 21210非线性系统控制理论63所以向量场 是与 子集相切的。fxfgxu ()()Z也就可以由此推得闭环系统 的任何运动轨迹从 上的某.点开始一直在 中运动(对于小的时间t 内)。约束条件 是 的Z fx()一个确定的向量场。它精确的描写了系统的零动态,而与所取的坐标无关。(5) 零
11、动态在精确 线性化下的不变性若系统的相对阶为 r, 又 rn。则可以通过状态反馈构成闭环并使之局部精确线性化。如前所述取 。于是系统成为 ubzav(),.()ABqyC其中 , , A010010BC当线性子系统初始时是静止的, 即 y(0)=0, 而且在此后又没有输入作用（指V=0）, 因而可保持 y(t)=0。也就是 说 。这时整个系()t0统即闭环系统的内部动态就是 ,也即是开环系统( 原系统 ).)q0的零动态。( 6 )参考输出的再 产生问题。输出零化问题实质上是强迫输出去精确的跟踪零。我们很容易推广到这样的情况,即是否可强迫输出去跟踪一个任意的函数 。这ytR()一个问题被称为参
12、考输出的再产生问题。说得具体一点就是若有可能, 非线性系统控制理论64寻找成对的 是初始状态。 是定义在t=0 的邻域上xutx00,().ut0()的输出函数, 使系统的输 出 y(t)在 t=0的所有邻域 t上与给的 精ytR()确地相一致。则与前面的分析相类似, 因为要求 , 这就意味着: )(ytR,对所有的 t和所有的 i。因而至少yttiRi()()zttiRi()1,对所有的 t和 。1ir令 ,因而输入 u(t)必须满足)(,)(,() 11tytyColrRR,bautr) )其中 是下列微分方程的解t(3.3).(),(qtR为使 , 首先应保证在初始时刻, ,而 )yt(
13、)0R是可以任选的 。于是按照所选的 ,则 ()00(3.4)uttbtaRrR()()(),所以为了使系统的输出能精确地跟踪给定的 ,首先在初始ytR()时刻, 必须“对准”,即 ,然后由给定的 和 ,解方()0R0程(3.3)得出 ,再由(3.4)式解出 u(t) 。这个 输入 u(t)是能保持 t的唯一解。从上述过程可以看出,(3.3)和(3.4)式好像构造ytR()了一个以 为输入, 为状态, u(t)为输 出的“ 系统”,它被解释()()t为原系统的“ 逆实现” 。4.2 局部渐近稳定化(镇定)1.问题的提出:考虑系统 ,xfgxu.()平衡点 ,不失一般性可取 (移动坐标原点) 。能否找到00一个控制 (状态反馈),使系统 在处u)fgx. ()是渐近稳定的,称为局部渐近稳定问题。后面的讨论将说明零动态的概念对处理这个问题是很有用的。2. 线性系统能否稳定化的回顾:
