1、1二次函数的应用教案设计兴宁市陂西中学数学组 2016 年 12 月 21 日教材分析从二次函数的知识体系看，本课例是在二次函数定义、二次函数的图象与性质。求二次函数的函数解析式之后，对知识的应用、拓展与延伸。从整个“数与代数”领域看，本课例又与方程密切关联，是数、代数式、方程、不等式和函数的综合运用。二次函数的应用在培养学生建模思想中发挥了非常重要的作用。学情分析学生已经学习了一次函数和反比例函数的性质和应用，初步积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验，学生已经研究了二次函数及其图象和性质，掌握了利用顶点坐标公式和二次函数的顶点式求二次函数最大（小）值，这些知识都为本节课的学
2、习奠定了良好的知识基础。教学目标【知识与能力目标】 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，建立数学模型，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小) 值，增强解决问题的能力。【过程与方法目标】 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值【情感、态度与价值观目标】 积极参与数学活动，体会数学的价值；解决实际问题，培养学生的创新意识和应用意识。教学重点与难点重点：正确理解题意，从实际问题中抽象出二次函数模型，分析和表示变量之间的二次函数关系，并运用二次函数函数知识求出实际问题的最值。难点：利用相
3、似三角形的性质定理或其它相等关系列出等式，将其它线段用含有所设未知数的代数式表示出来；用不等式组和函数增减性讨论自变量的取值范围，以确保函数达到最大值或最小值时对应自变量的值在自变量的取值范围内。教法分析义务教育数学课程标准中明确指出：“学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者” ，基于以上理念，我采取“创设问题情境建立模型解释、应用与拓展”的课堂教学模式，面向全体学生，注重启发式和因材施教，以学生探究为主，教师提问设疑，配合多媒体辅助教学，把新知识的呈现做到低起点小台阶，循序渐进，轻松突破教学中的重点和难点。学法分析在具体的问题情境下，引导学生经历独立思考、自主探索、合作
4、交流学习的过程，体会数学模型思想，提高解决问题的能力。教学过程2教学环节教师活动 学生活动 设计意图时间复习旧知(1) 面向全体学生提问：相似三角形的性质定理是什么？（学生回答后，投影片给出答案）相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比。ABC kEADF(2) 二次函数 中，当 是何值时，263xy有最大值？（投影片，学生动手实践后，给出答案，并提示还可以用公式法）解： 5122xxy当 时，15最 大学生独立思考后，齐声回答。学生独自思考，动手实践，举手回答。利用相似三角形的性质定理列出等式，将其它线段用含有所设未知数的代数式表示出来，是本节课的难点之一，学习本节课
5、所用的基本知识点是求二次函数的最值，因此和同学们一起复习相似三角形的性质定理和二次函数最值的求法，不仅降低学习新知识的难度，巩固了旧知识，而且为本节课的学习做好准备。分钟探索新知问题 1如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形 ，ABCD其中 和 分别在两直角边上， ，ABDcmN40。cmM30CBDA NM1.设矩形的一边 ,那么 边的长度如何表示？xcmAD将问题拆分：有没有相似三角形存在？如果设 ，能否利用相似三角形的性质定bcAD理列出等式，将它用含有未知数 的代数式表示出来。x2.设矩形的面积为 ,当 取何值时, 的值最大？2ymy最大值是多少?等学生思考后展示以下图片：学生对问题和
6、学生通过观察和思考，发现MAN学生独立思考后，提出自己的思路：DCANM即 403xb学生提出矩形的样子都没变，为什么会有最大值？创设有挑战性的问题情境，吸引学生积极参与数学活动，关注学生个体差异，采用分析型提问，用问题串的形式，把新知识的呈现做到低起点小台阶，循序渐进，让学生理解并掌握利用相似三角形的性质定理列出等式，将其它线段用含有所设未知数的代数式表示的方法。 分钟573教学环节教师活动 学生活动 设计意图 时间xxby4034201532时 ， 最 大y 可以无限大吗？有取值范围吗?给学生充分数学活动的时间后，展示答案。0 40, 在它的取值范围内x学生观察后，恍然大悟，原来矩形的面积
7、随着的变化而变化，x在这变化过程中存在最大值，接着尝试解决这个问题。学生思考，尝试解决这个问题。采用图解分析法，通过变化过程，让学生进一步理解函数定义，使学生经历从实际问题中抽象出二次函数模型，分析和表示变量之间的二次函数关系的过程，并能运用二次函数知识求出实际问题的最值。让学生初步了解函数的自变量是有取值范围的，体验数学的严谨性。探索新知问题 2上面问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？（投影片）教师巡查，根据学生的情况给予如下启发： 和MPN哪个三角形相似？ 的边 高可以怎样表示？MPN相似三角形对应高的比等于相似比吗？矩形 的ABCD面积会随着 变
8、化而变化吗？设矩形的一边AB,那么 边的长度如何表示？设矩形的面xcmC积为 ，当 取何值时, 的最大值是多少? 取值2yyx范围是什么？给学生充分数学活动的时间后，展示答案。解：易得， ，设cMN50cmPH24bcAB作 , PHD，xbAG241xxy245513020x50,0时 ， 最 大yx学生类比问题 1的思考过程，独立思考，举手回答老师提出的问题，然后写出解题过程。问题 2 是问题 1 的变式训练，给予学生充分的时间思考，通过问题串的解决，降低学习难度，符合学生的认知规律，做到了因材施教，体现了不同的人在数学上有不同的发展的课程理念。通过两种情况的解答，训练学生的类比思想方法，
9、使学生掌握利用建模数学思想方法解决实际问题的步骤：1.理解问题;2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;3.建立数学模型并表述数量关系;4.运用数学知识求解;5.检验结果的合理性。 分钟84教学环节教师活动 学生活动 设计意图 时间应用新知例某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为 15m。当 等于多少时，窗户通过的x光线最多？（结果精确到 0.01 ）此时，窗户的面积2m是多少？（结果精确到 0.01 ） （投影片）将问题拆分：（学生思考，师生互动后，投影答案）、题中的相等关系有哪些？其中那个相等关系与有关？可以用 表示
10、 吗？yx和 xy471547、 长度有限制吗？怎样求出 的取值范围？0x15,且 0 15 0x1.48（黑板上板x书不等式组的求解过程）、窗户的面积会随 的变化而变化吗？如果会，那么这个变化过程中自变量、因变量是什么？如果 是x自变量，那么因变量用什么数学符号表示？窗户面积最大时，通过的光线最多吗？设窗户的面积是 ，则2Sm471521xxyxS6752当 时，0.14x0.5最 大S因此，当 约为 1.07m 时，窗户通过的光线最多，此时，窗户的面积约为 4.02 2m对于，学生思考，提出各种合情节合理的答案，在教师的启发和引导下最终找到关于 最关yx和键的相等关系，并能用用 表示。对于
11、，由于涉及到两个不等式组，学生处理比较混乱，需要老师的帮助。对于，由于题目没有对窗户面积给出字母表示，大部分学生不会找到窗户面积与的函数关系，x在老师的引导下，通过合作交流找到了它们的函数关系。例是函数与方程，函数与不等式组的综合运用，在培养学生函数与方程、数形结合的数学思想方面起到了重要作用。这里采用综合型提问，让学生综合运用前面学到的知识解决问题，加深利用建模数学思想方法解决实际问题理解。学生参与解决实际问题的过程，形成独立思考，自主探索，勇于创新的学习习惯，体会了数学的价值，培养了学生的创新意识和应用意识。分钟巩固新知随堂练习在问题中，如果设 边的长为 m，那么问题的结ADx果会怎样？（
12、学生独立完成并选代表板演，然后投影答案，并点评），当 时xAB340y021530最 大y学生独立完成，选代表上讲台板演解题过程。采用巩固性练习，通过练习巩固所学的数学知识和技能。 分钟1075教学环节教师活动 学生活动 设计意图 时间知识小结教师在学生小结的基础上进行点评或补充。 （板书）1.理解问题。2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系。3.建立数学模型并表述数量关系。4.运用数学知识求解。5.检验结果的合理性。 学生小结利用二次函数解决实际问题中最值问题的思路。通过小结，使学生将这节课所学的知识系统化，并把感性认识上升到理性认识。 分钟课后作业 习题 2.8 巩固课堂知识，提高知识应用的熟练程度。 份钟板书设计二次函数的应用（第 1 课时）实际背景 二次函数最值问题 问 题 解 决建 立 模 型1.理解问题。2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系。3.建立数学模型并表述数量关系。4.运用数学知识求解。5.检验结果的合理性。教师在分析问题过程中，板书学生理解比较困难的解题过程区域。学生板演区域21
