1、1高考数列试题的分类点评和解析韶关市韶钢第一中学 余海长关键词：高考 数列 解析数列，既是高中数学必修内容，又是高等数学的重要组成部分；各个省、市的高考都把它作为最重要的考题之一，很多考生在备考时，总觉得数列试题很难、好乱，不知道如何复习和总结。我针对这个普遍问题，总结了近几年的高考数列试题，并对它作了一个清晰的分类点评和解析，期望能对考生有所帮助。近几年的高考数列试题大体可分为三大类。第一大类 只考查数列本身的知识，此类题目又可分为四个类型。A 型：考查考生对等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式以及其它求和方法的掌握情况，题目容易，基本不用拐弯，大部分考生都可轻松完成。例如：例
2、 1.（2012 高考辽宁理 6）在等差数列 中，已知 ，则该数列前 11 项和 （ na4816a1S）(A)58 (B)88 (C)143 (D)176【解析】：在等差数列中， ，答案为 B11481()6, 82s例 2.(2011 年高考辽宁卷理科 17) 已知等差数列 满足na60,0a（I）求数列 的通项公式； （II）求数列 的前 n 项和.na12【解析】：（I）设等差数列 的公差为 d，由已知条件可得n 1,20da解得 故数列 的通项公式为 1,.adna2.na（II）设数列 ，即 ，12nS的 前 项 和 为 11,nS 故1.4nnSa所以，当 时，21112nnna
3、a 1()4n= 1)n.所以 .2nS综上，数列 （本小题也可用错位相减法）11.2nnaS的 前 项 和点评：此类题目属于容易题，也是高考出现频率最高的题。主要考查考生对等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、以及六种求和方法的掌握情况。解题方法是根据等差、等比数列的通项公式和前 n 和公式，首先利用基本量法建立方程或方程组，然后解方程或方程组求得首项和公差或公比，再利用通项公式以及求和方法就可解答。建立方程或方程组时，如果能利用等差、等比数列的性质，会使运算简单化，提高解题速度（例如 1） 。备考时，一定要加强对等差数列和等比数列的概念的理解，对通项公式、求和公式充分掌握；对分组求和法
4、、错位相减法、裂项相消法 、倒序相加法、并项求和法等求和要熟练掌握；对教材中推导通项公式的累加法、累乘法要做到灵活运用。2B 型：考查公式: 1,()2nnSa例 3.（2013 年高考广东卷（文） ）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ,满足nanS且 构成等比数列. 214,nSN2514,a(1) 证明: ;14a(2) 求数列 的通项公式;n(3) 证明:对一切正整数 ,有 .12312naa【解析】：(1)当 时, , 45,41045a(2)当 时, , 2n21nS 21nnnS, 214a10n当 时, 是公差 的等差数列. nad构成等比数列, , ,解得 , 2514251
5、4a2284a23a由(1)可知, 21=,是首项 ,公差 的等差数列. 213nd数列 的通项公式为 . na(3) 1231113572nan 572.212nn 点评：此类题目所给的条件是和 与通项 混合的式子，属于中档题。解题的关键在于对变“nS“na量的统一，即根据关系式 ，把“和”化为“通项”或把“通项”化为“和” ，1,()2na一般若是求 ，就先消去 ；若是求 ，就先消去 ， ，然后对已知等式作等价变形，把问题转n nn化为等差、等比数列或其它特殊数列来求解，就可以完成题目的解答，当然有时也采用以退为进的办法，求的是 ，却偏偏先消去 ，先求 后再求 ，因此构造新数列时要抓住题目
6、的信息，Sa不能乱变形，同时，此类问题易错的地方是许多考生没有对 进行分类讨论，导致丢失了 的1n情况。C 型 双数列题例 4.(2012 高考浙江文 19) 已知数列 的前 n 项和为 ，且 ，数列nS2*,nN满足 ， nN.nb24log3nab（1）求 ；（节选）,【解析】：由 ，得*,nS当 n=1 时， ；1当 n 2 时， ，nN.1nna22(1)()41n由 ，得 ，nN.4log3b3点评：此类题目难易不定，高考出现的频率也较高。例 4 的解题思路是先求出 ， 再利用na就可以求出 ， 本题较为容易. 例 5 两式相除，变形较为复杂，属于中档题。24log3nnabnbD
7、型 考查数列知识的综合性题目。此类题目难度较大，充分考查数列的相关知识，特别是由数列的递推关系求解数列的通项公式是近几年高考的热门考点之一，而对于一阶分式型递推式的通项公式的求法，更是作为一大难点在高考中出现。例 5. (2011 年高考广东卷理科 20)设 数列 满足 ,0,bna11=,(2)nnba(1) 求数列 的通项公式；（节选） na【解析】：（1）由 11 12, ,.2nnnnaab知令 ，,nAab当 122,nnA时21bb 21.n当 时， 当b()2,2()1nnnbbA2,.nbA时(2),nnab点评：此类题目属于中档题或难题，也是最近几年的热门题。全面考查了考生的
8、数列基本功，特别是已知递推关系，求通项公式的能力。备考时，对形如 、 （ 为1nakb1nnakb,k常数） 、 、 的递推数列求通项公式要熟练掌握。一般来说，只要1nakbnnqap12求出了通项公式，其它问题也就迎刃而解了。第二大类 数列知识与其他数学知识的交汇性试题数列、函数、不等式是高考的重点内容，将三者综合在一起，强强联合命制大型综合题是历年高考的热点和重点，数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，从而一直成为高考命题者的首选。例 6(2009 广东文
9、20)已知点 是函数 的图像上一点。等比数列1(,)3()0,1)xfa且的前 n 项和为 数列 的首项为 c，且前 n 项和 满足a()fc0nbs。211SSnn（1） 求数列 和 的通项公式；a（2）若数列 的前 项和为 ，问满足 的最小正整数 是多少？1nbnT2091nn4【解析】： 点 是函数 的图像上一点， 1(,)3()0,1)xfa且 ， 即f x3设等比数列 的前 n 项和为 ，依题意，得 = =anAn()fcn31所以，当 n=1 时， ，c31当 n2 时， ，111 32nnnna由数列 为等比数列，可知 = ，解得 c=1,n ca3所以数列 的通项公式为 。a1
10、23nnn*N数列 的首项为 ，(0)nb1cb前 n 项和 满足 。 整理，得s )(1SSnn0)( 11nS所以 ， 又 ，即 1b1数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，n nSn1)( 2S当 n2 时， ，1221nSbnn又当 n=1 时，2n-1=1= ,符合以上公式，所以，数列 的通项公式为 ( )。b*N（2）由（1）知 12)12(1 nnbn=nT 3753= 1212n令 = ，解得 n09910所以，满足 的最小正整数 是 112.nTn例 7 （2013 年高考广东数学（理） ）设数列 的前 项和为 .已知 ,annS1a, .2123nSa*N(1) 求
11、的值;(2) 求数列 的通项公式;n5(3) 证明:对一切正整数 ,有 .n1274naa(1)略解: (2) 略解: 24a2*,N(3)证明:由(2)知, 2*,nN当 时, , 原不等式成立. 1n7当 时, , 原不等式亦成立. 2124a当 时, 3n21,1nnn212 11342naa n 113452nn 17712 4n当 时, 原不等式亦成立. 综上,对一切正整数 ,有 . 12naa点评：数列不等式体现了在知识交汇处命题的能力立意，涉及的知识点较多，是综合性较强、灵活性较高、难度较大的数学问题，对于此类问题的求解，常常要用到放缩法进行尝试、分析，常要考虑放缩的方向在哪，放
12、缩的依据是什么，放缩的方式是什么。如常常考虑放缩成等比数列或放缩后可以裂项求和，但放缩法的形成过程灵活多变，解题中要结构角度深刻思考问题，要凸显结构地位，明白放缩方向的选择、放缩方式的确定等，当然，有时还可以从 开始进行特殊化列举，1,23n从特殊化结果可以猜想一般性的结论。第三大类 数列应用题例 8. （2012 高考湖南文 20）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同。公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产。设第 n 年年
13、底企业上缴资金后的剩余资金为 an万元.（）用 d 表示 a1，a 2，并写出 与 an的关系式；1（）若公司希望经过 m（m3）年使企业的剩余资金为 4000 万元，试确定企业每年上缴资金 d的值（用 m 表示）.【解析】 （）由题意得 ，10(5%)30d，所以 .21(50%)2ada13(5)2n nada （）由（）得 13n2()(). 223()n nd整理得 .113()0)2()2nna103)nd6由题意， 1340,()0)240,2nnad解得 .1()(31nnd故该企业每年上缴资金 的值为缴 时，经过 年企业的剩余资金为 4000 万d10(2)n(3)m元。例 9
14、.(2011 年高考陕西卷理科 14)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米） 。【解析】：设树苗集中放置在第 号坑旁边，则 20 名同学返所走的路程总和为i2(1)lii 21(19)(20)1ii= 即 时03()4i或 min0l点评：解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后利用等差、等比数列知识求解。此类题目，体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。
