1、1一、曲线的凹凸性及拐点引导学生观察下列图象yxo()yfxa byo()yfxa bx凹弧 凸弧1.定义 1 设函数 在区间 内可导，yf,（1）若曲线 位于其每点切线的下方（割线位于曲线的下方） ，则称曲x线 在区间 内是凸的，区间 称为函数 的凸区间.yf,ab,abfx（2）若曲线 位于其每点切线的上方（割线位于曲线的上方） ，则称曲fx线 在区间 内是凹的，区间 称为函数 的凹区间.yf, ,fx2.定义 2 曲线上凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点.3.定理 1 设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内具有二阶导数， fx,ab,ab（1）若在 内， ，则曲线 在区间 内是凸的.,ab
2、0yfx（2）若在 内， ，则曲线 在区间 内是凹的.fx,4.求曲线凹凸区间和拐点的步骤如下：（1）求出函数的一阶导数 ，再求二阶导数 ；f fx（2）求出二阶导数 的点，以及 不存在的点；0fxf（3）考察每个点处的左、右二阶导数是否异号，从而确定哪些点处取得拐点；（4）求出每个二阶导数变号点处的函数值，从而得到曲线的全部拐点.2例 1、讨论曲线 的凹凸性，并求其拐点.3295yx例 2、讨论曲线 的凹凸性，并求其拐点.41二、函数曲线的曲率曲线的下凸和上凸说的是曲线的弯曲方向，而曲线的曲率说的是曲线的弯曲程度。直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为 . 一般情形下，如图1，弧0的全曲率规定为
3、起点A处切线方向与终点B处切线方向的偏差 . 可是，弧 的全曲率与弧 的全曲率相同，但前者显ACDAB然比后者弯曲得更厉害一些。这就是说，弧的弯曲程度与弧本身的长度有关。因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长度为 的弧的全曲率 同弧长 的比值 ，称为该弧的ss/s平均曲率。它有点像质点运动的平均速度。像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限定义为弧 在点A处的曲率 (其中 为弧 的全曲率, BAB为弧 的长度)。s对于半径为R的圆周来说 (图2)，由于 ，Rs所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为(半径的倒数)RsKs1dlim0对于
4、一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可能不尽相同，但是当弧上点处的曲率 时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点AA相切 (即有公切线 )且半径 . 这样的圆周就称为弧上点 处的曲率圆；1/AKA而它的圆心称为弧上点 处的曲率中心。如图3中那个抛物线在原点 或点O的曲率圆。请注意，因为曲率有可能是负数(在实际应用中，有时把绝对1,)a值 称为曲率)，而曲率半径要与曲率保持相同的正负号，所以曲率半径也有AK可能是负数。保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲方向。A0dlimlisKs3对于用方程 表示的弧(图4)，由于)(xy)ba， tn arctn()yx所以，若有二阶导数
5、 ，则 2()dd1yx注意到 ，则弧上点 处的曲率为2d1()syx,()A(曲率公式) 32ds1(yxK当 时，曲率半径为()0yx(曲率半径公式) 32(1yxRK其中， 时，曲率 和曲率半径 都大于 ，说明曲线弧向上弯曲或曲()0yxR0率圆在弧的上方(图4) 。反之，说明曲线弧向下弯曲或曲率圆在弧的下方。例如图11中那个抛物线 ，因为 ，所以2yax2,yax(曲率) , (曲率半径) 23)41(K axK2)41(3显然，原点 处有最大曲率 ，最小曲率半径 . 点 处的曲)0,(OKaR(,)A率和曲率半径依次为， 23)41(aa2)41(3可见，抛物线上离顶点越远，曲率越小，而曲率半径越大。
