直线与方程(知识整理).doc

1、直线方程（知识整理）.一基础知识回顾（1）直线的倾斜角一条直线向上的方向与 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为 0，故直线倾斜角的范围是 .x )0(180注：当 或 时，直线 垂直于 轴，它的斜率不存在.9012xlx每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.（2） 直线方程的几种形式点斜式、截距式、两点式、斜截式.特别地，当直线经过两点 ，即直线在),0(ba轴， 轴上的截距分别为 时，直线方程是： .xy )0,(,ba 1yx附直线系：对于直线的

2、斜截式方程 ，当 均为确定的数值时，它表示一条kxybk,确定的直线，如果 变化时，对应的直线也会变化.当 为定植， 变化时，它们表示bk, k过定点（0， ）的直线束.当 为定值， 变化时，它们表示一组平行直线.kb（3）两条直线的位置关系10两条直线平行 两条直线平行的条件是： 和 是两条不重合的直线. 在 和l21k1l2 1l的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都2会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线 ，它们在 轴上的纵截距是 ，则 21,ly21,b1l，且 或 的斜率均不存在，即 是平行的必要不充分条件，21kl21b1,l 21A

3、B且 ）C推论：如果两条直线 的倾斜角为 则 . 21,l21,l21220两条直线垂直两条直线垂直的条件：设两条直线 和 的斜率分别为 和 ，则有1l21k2这里的前提是 的斜率都存在. ，且 的斜率不存在或121kl 21,l 02ll，且 的斜率不存在. （即 是垂直的充要条件）02l 0BA（4）两条直线的交角直线 到 的角（方向角） ；直线 到 的角，是指直线 绕交点依逆时针方向旋1l21l21l转到与 重合时所转动的角 ，它的范围是 ，当 时 .2),0(9021tank两条相交直线 与 的夹角：两条相交直线 与 的夹角，是指由 与 相交所成1l2 1l2l的四个角中最小的正角 ，

4、又称为 和 所成的角，它的取值范围是 ，当 ，1l2 2,090则有 .21tank（5）点到直线的距离点到直线的距离公式：设点 ，直线 到 的距离为 ，则有 .),(0yxPPCByAxl,0:ld20BACyx两条平行线间的距离公式：设两条平行直线 ，它们之间的距离)(0:,0: 212211 CByAxlByAxl .21BACd（6）对称问题：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某

5、一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程） ，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线 对称的解法：y 换 x， x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)bx=0 关于直线 y=x2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x 2)=0. 曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a x, 2b y)=0. 二范例解析例 1已知直线 l 过点 P(-1,1)且与 A(-2, 3)、B(3,2)为端点的线段相交，试求直线 l 倾斜角 的取值范围。思路1）分别求出直线 PA、PB 的斜率；2）数形结合，利用正切函数

6、的单调性求解。破解 1）先求出 ；12,4PAPBK2）由图 7-3 知，满足题意的直线 l 的斜率为 。因为直线 l 的倾斜角1,24k，而 上分别是增函数，从而知0,)tan0,)(,2yx且，又知 也满足11tant tan442rcrc且 2条件，故倾斜角 取值范围为 an,tan.rc收获 1）直线的斜率是判定两直线位置关系的重要依据；2）数形结合思想方法是求解解析几何问题的重要方法之一；3）已知斜率范围探求倾斜角的范围，最关键的一环是利用正切函数的单调性处理。例 2 ABC 的顶点 ，试求A 平分线 AT 所在直线方程。(1,3)2,(3,1)ABC思路 利用角平线性质CAT=BA

7、T 结合到角公式求出直线 AT 的斜率即可。破解 如图 7-1，由已知易求 。由角平线的性质CAT=BAT1,2ACBK知 AC 到 AT 的角与 AT 到 AB 的角相等。 即可求出 ，TACATBkk16ATk从而A 平分线 AT 所在直线方程为： 690xy收获1） 充分利用平面几何性质将问题转化成解析几何中的有关问题是研究平面几何问题的关键。2） 注意夹角与到角公式的区别，分清什么时候用夹角（或到角）公式，以免产生错解。3） 处理有关几何问题最好作出图形增强直观效果，为寻找解题突破口提供依据。例 3某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作

8、为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为 (90 180)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距 a m,b m,(ab) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 三角函数

9、的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求 tanACB 的最大值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如果坐标系选择不当，或选择求 sinACB 的最大值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 都将使问题变得复杂起来 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/

10、wxjkygco 欲使看画的效果最佳，应使ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在 x 轴的正半轴上找一点 C(x,0)(x0),欲使看画的效果最佳，应使ACB 取得最大值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由三角函数的定义知 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco A、B 两点坐标分别为( acos ,asin )、

11、(bcos ,bsin ),于是直线 AC、BC 的斜率分别为 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco kAC=tanxCA= ,asinsintanbC于是tanACB= ACBk1 cos)(incos)(i2 baxx由于ACB 为锐角，且 x0,则 tanACB ,s)(iab当且仅当 =x，即 x= 时，等号成立，abab此时ACB 取最大值，对应的点为 C( ,0),ab因此，学生距离镜框下缘 cm 处时，视角最大，即看画效果最佳 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 4等腰三角形一腰所在的直线 的方程是 x2y20.底边所在的直线

12、 的方程是：1l lx+y1=0,点（2,0)在另一腰上，求这腰所在直线 的方程.3l解：设 ， ， 的斜率分别为 ， ， 到 的角是1l23l1k2121到 的角是 ，则 。2l3212,12tan3k因为 ， ， 所围成的三角形为等腰三角形，所以1l23l11tant且32231,.kk又直线 经过点（-2，0） ，故其方程为： 。 3l ()4yxxy且CBAoyx例 5已知 M(x,y)是以 A(-2, 3)、B(3,2)为端点的线段上一动点，试求 的取值范围。1yx思路 1）若令 ，代入线段 AB 所在的直线方程消去 y 可得到ytx可求出 t 的范围，但计算较繁。()231)tf且

13、2）变换角度，由数入形，联想直线斜率公式可使问题轻松解决。破解1） 令 ，不难发现 t 就是线段 AB 一动点 M 与定点 P（-1，1）连线的的斜率ytx（如图 3）2） 易求出 12,4PAPBK3） 由图 7-5 知，满足题意的直线 PM 的斜率为 ，即 的取值范围1,24k1yx为 。(,)收获形如“ ”的最值范围问题，可联想直线斜率公式，数形结合解决。1ytx拓展 对于曲线 y=f(x)上任一动点 P（x,y） ，探求 的范围问题都可联想0ytx直线斜率公式，数形结合解决。例 6过直线 2xy8=0 和直线 xy3=0 的交点作一条直线，使它夹在两条平行直线 xy5=0 和 xy2=

14、0 之间的线段长为 ，求该直线的方程. 5思路1） 利用距离公式求出两平行直线的距离；2） 利用勾股定理求出此直线夹在两平行直线间的线段长；3） 利用夹角公式求出直线斜率，即可求出直线方程。破解如图 7-9 所示， 由 求出交点 M（5，2） 设所求直线 与2803xy l图 7-9分别交于 B、A 两点， 由已知 |AB|= ，又 l1、l 2间距离 ，在 RtABC12,l 53|2AC中， 设 l1到 l 的角为 ，则 . 设直线 l 的斜率为 k，|C|tanB由夹角公式得 .所求直线的方程为 | 1tan32kk且2xy8=0 或 x2y1=0. 收获1、 数形结合，利用图形直观特征

15、，能有效地找到解题思路。2、 平面几何中有关定理（如本题中的勾股定理） ，能很好地将几何问题化归为代数问题来处理。例 7已知实数 满足方程 试求： 的最小值。,xy10,xy22xy思路1） 变形 联想两点距离公式；222()xyxy2） 由 数形结合，问题转化为直线 一动点10,10xyP（x,y）到定点（-1，0）距离的平方和。破解由 变形为 ，联想两点距离公式，不难发它的几何意义：直线22xy2(1)xy一动点 P（x,y）到定点 A（-1，0）距离的平方和。如图 7-10 知当 时，10 APl也就是说点 A 到直线 l 距离的平方 即为所求。22|d收获1）形如 的代数式的范围最值问

16、题，可联想距离公式求解。22()()xayb2）由数想形，将代数问题转化为几何问题，构造几何图形，对求解具有特殊结构的代数式范围最值问题有着意想不到的神奇效果。例 8 求过点 且与直线 平行的直线方程)4,1(A0532yx解一：已知直线的斜率为 ，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是 新 疆学 案王 新 敞32根据点斜式，得到所求直线的方程是 ，即 )1(324xy 0132yx解二：设与直线 平行的直线 的方程为 ，0532yxl)5( 经过点 ， ，解得 所求直线方程为l)4,1(A0)4(31210032yx例 9 当 为何值时，直线 过直线 与 的交点?kkxyyx5x解法一：解 得交点(4，9),将 , 9 代入 得51xy 3ky9 3，解得 .kk23解法二：过直线 与 的交点的直线系方程为 01yx5x )12(yx0 新 疆学 案王 新 敞)5(yx整理得： 与直线 比较系数，得 3 即 1. 152x3kxy15 k31例 10 求两平行线 ： ， ： 的距离.1l082yx2l0yx解法一：在直线 上取一点 P(，0） ，因为 ，所以点 P 到 的距离等于 与 的距12l1l2离.于是 323214d解法二： 又 .由两平行线间的距离公式得 d1l 0,821C.32)0(8