1、1大学概率论习题八详解(A)1、某厂生产的化纤纤度服从正态分布 。某天测得 25 根纤维的纤度的均值 ,问)04.,(2N39.1x与原设计的标准值 1.40 有无显著差异?(取 )5解 设厂生产的化纤纤度为 ,则总体 ,且总体方差 已知。顾客提出X).,(2 2204.要检验的假设为, 40.1:0H40.1:H因为已知总体标准差 ,所以选用 检验,且在 成立的条件下有U0H)1,0(254.NXU针对备择假设 ,拒绝域的形式可取为.:1H/0cnXUW为使犯第一类错误的概率不超过 ,就要在 时,使临界值 满足5.40.1c0cP成立。由此,在给定显著性水平 时,得到临界值为.96175.0
2、2/1u故相应的拒绝域为 .UW利用来自总体的样本值求得 25.1/04.391u即975.06.25.u成立。显然,样本未落在拒绝域内,因此在 水平上认为纤维的纤度与原设计的标准值 1.40 没有.显著差异。2、设某厂生产的洗衣机的使用寿命(单位:小时) 服从正态分布 但 未知。随机抽取X),(2uN2,20 台,算得样本均值 ,样本标准差 497,检验该厂生产的洗衣机的平均使用时数“1832XS2”是否成立?(取检验水平 )2005.解 待检验假设 2:0H2:1H的拒绝域: =2.093021tT的观测值 5./nSXW不能拒绝 ,可以认为洗衣机的平均使用时数“ ”.0H20u3、在正常
3、情况下,某炼钢厂的铁水含碳量(%) ( 未知) 。一日测得 5 炉铁水X),.(254N含碳量如下:4.48,4.40,4.42,4.45,4.47在显著水平 下,试问该日铁水含碳量的均值是否有明显变化。05.解: (1) :H4.:1H540.(2)选取检验统计量 )(/0ntSXT给定 ,查知 。7642197502.t的拒绝域为: : 。0HW)(12t计算| |=7.054 2.7764,T所以显著水平 下,拒绝 。即该日铁水含碳量的均值有明显变化。5.0H4、某厂产品需要用玻璃纸作包装,按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不低于 65。已知该指标服从正态分布 , 一直稳定于 。从近期
4、来货抽查了 100 个样品,得样本均值 ,试)(2N5. 06.5x问在 水平下能否接收这批玻璃纸。05.解 6:H5.105.u=-18.07-1.65*UnX拒绝 ,在 水平下不能接收这批玻璃纸。0H5.5、根据某地环境保护法规定,倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过 3ppm。该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为: 。经计算得知1521,x3。,4815ix26.15152ix试判断该厂是否符合环保法的规定。 (该有毒化学物质含量 服从正态分布)X解(1)H 0 : H1 :,30(2)H 0 的拒绝域为: )1(/0ntSXT(3)计算 , , 2.34
5、815x 9.042xi 436.S=1.77667 .T60/.7613)(95.0t所以在显著水平 下,拒绝 H0.6、某医院用一种中药治疗高血压,记录了 50 例治疗前与治疗后病人舒张压数据之差,得到其均值为 16.28,样本标准差为 10.58。假定舒张压之差服从正态分布,试问在 水平上,该中药对治疗05.高血压是否有效?解 设治疗前与治疗后病人舒张压数据之差为 ,则总体 ,且 未知。要检验中药X),(2N2对治疗高血压是否有效?属于单边检验,故此提出假设, 0:H0:1在假设 成立的条件下,应该选用 检验。针对备择假设 ,拒绝域的形式可取为0 t 0:1H/0cnXTW为使犯第一类错
6、误的概率不超过 ,就要求cP由于在 时, ,所以 。当 分布的自由度大于 45 时,可以用标准正态01nt1ntct分布的分数来近似 分布的分位数。现在 , 分布的自由度为 49,该值较大,因此在给定t 50时,可利用标准正态分布确定出 0.05 的分位数为 。根据来自总体的5. 645.14905.05. ut样本值计算出检验统计量的值为 。而在 水平上的拒绝域为8.1t645W显然,样本落在拒绝域内,因此在 水平上认为该中药材对治疗高血压有效。0.7、某种导线的电阻服从 , 未知,其中一个质量指标是电阻标准差不大于 .现从中)(2N 05.抽取了 9 根导线测其电阻,算得标准差 ,试问在
7、水平下能否认为这批导线的电阻波动合格。6.s05.解 检验假设 05.:0H.:01H4的拒绝区域0H2120)(:SnW57.94.13)(120Sn不能拒绝 ,可以认为这批导线的电阻波动合格.8、新设计的一种测量仪器用来测定某物体的膨胀系数 11 次,又用进口仪器重复测同一物体 11 次,两样本的方差分别是 , 。假定测量值分别服从正态分布,问在 水平上,263.1S789.2S 05.新设计仪器的精度(方差的倒数)是否比进口仪器的精度显著为好?解 设新设计的仪器测定的膨胀系数为 ,则 ,且 未知,进口仪器测定的膨胀X),(21N1系数为 ,则 且 未知。要检验的问题是设计仪器的精度(方差
8、的倒数)是否比进口仪Y2,N器的精度显著为好?属于单边检验。故提出假设, 210:H21:在假设 为真时,选用检验统计量 ,针对备择假设210: )1,(2mnFSYX确定拒绝域为21:)1,(mnFW对于给定的显著性水平 ,利用第一自由度 10,第二自由度 10 的 分布,确定出 0.05 分位05. F数 98.2/),(/)1,(95.005. 由样本值求出 成立,样本落在拒绝域中,应拒绝 ,在 水平下,36823F 0H5.认为新设计的仪器精度比进口仪器的精度显著为好。9、某厂铸造车间为提高缸体的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代一种铜合金铸件,现从两种铸件中各抽出一个样本进行硬度测试
9、(表示耐磨性的一种考核指标) ,其结果如下:镍合金铸件 :72.0,69.5,74.0,70.5,71.8)(X铜合金铸件 :69.8,70.0,72.0,68.5,73.0,70.0Y根据以往经验知硬度 , ,且 ,试在 水平下比较镍),(21N),(2Y2105.合金铸件硬度有无显著提高。解 因为合镍铸件的硬度 ,铜合金铸件的硬度 ,且已知),(21NX),(2NY成立。要检验的问题是比较镍合金铸件硬度有无显著提高,属于单边检验,故提出假设215, 210:H21:在假设 成立的条件下,由于 与 均已知,所以选用 检验。针对备择假设U,拒绝域的形式可取为21:/21cnYXUW为使犯第一类
10、错误的概率不超过 ,就要求在 时, ,由于在 时,21cUP21,所以临界值 。1.0NU1uc在给定 水平上,利用标准正态分布,确定出 0.95 的分位数为 ,相应的5. 645.95.01u拒绝域为64.1uW现由分别来自两个总体的样本计算出, , ,因此可得 ,显然,样本56.71x5.0y834.0u未落入拒绝域内,在 水平上,认为镍合金铸件硬度没有明显提高。05.10、某物质在化学处理前后的含脂率如下:处理前:0.19 0.18 0.21 0.30 0.66 0.42 0.08 0.12 0.30 0.27处理后:0.15 0.13 0.00 0.07 0.24 0.24 0.19
11、0.04 0.08 0.20 0.12假定处理前后含脂率分别服从正态分布。问处理后是否降低了含脂率?(取 )01.解 设处理前含脂率为 ,分布为 ,处理后含脂率为 ,分布为 ,且 与X),(21NY),(2N21都未知,而 是否等于 也未知。所以应该首先检验的假设2212, 20:H21:如果接受 ,即认为 与 无明显差异,则可以在两个方差相等的条件下对正态均值作如下检验,1即提出假设 。2210:,:在假设 成立的条件下,选用 检验,根据备择假设 ,在给定 水HF21:H01.平上,利用第一自由度为 9,第二自由度为 10 的 分布确定出 0.005 与 0.995 的分位数,获得水平上的拒
12、绝域为01.或42.6/10,5.FW97.50,95.现在利用样本的数字特征 , 。计算出3.,7yx 642.,281YXss38.4/2YXsf显然,样本未落在拒绝域中,故在 水平上可以认为两者方差相等。01.6再假设 成立的条件下,选用 检验,针对备择假设 ,确定拒绝域为210:Ht 21:H)2(1mntTW在给定 的水平上,利用自由度位 的 分布确定出 0.99 的分位数为. 192nt。相应的拒绝域为5392)1(9.0t 539.2T利用来自两个总体的样本值,首先求得 01694.212 mnsssYXw则 ,从而求得19.0ws46.21/nsyxtw显然,样本未落在拒绝中,
13、因此,在 水平上,可以认为处理后没有降低含脂率。011、一辆货车从甲地到乙地有两种行车路线,行车时间分别服从 , 。现让一名驾),(2iN,1驶员在每条路上跑 50 次,记录其行车时间。在路线甲上,平均行车时间 (分) ,样本标准为75x(分) 。在路线乙上,平均行车时间 (分) , (分) 。在 水平下检验两者18XS 61y8YS0.方差是否一致?解 设第一条行车路线的行车时间为 ,则 服从 ,第二条行车路线的行车时间为 ,X),(21NY则服从 ,且两总体方差 与 未知。要检验的问题之一是两者的方差是否一致?是双边检),(2N21验,应提出假设, 210:H21:在假 成立下,应选用 检
14、验,且: F)1,(2mnSFYX针对备择假设 ,利用给定的检验水平 ,确定出第一自由度为 49 第二自由度为21:H05.49 的 0.025 与 0.975 的分位数,对应的拒绝域为或71./49,025.FW71.49,75.0F利用来自两个总体的样本计算出的样本方差, 与 ,求出检验统计量的值为28XS2Y6.f7显然,样本落在拒绝域内,因此在 水平上不能认为两者方差相等。05.(B)1*、某大公司的人事资源部想了解公司职工的病假是否均匀分布在周一到周五,以便合理安排工作。如今抽取 100 名病假职工,其病假日分布如下:工作日 周一 周二 周三 周四 周五病假职工人数 17 27 10
15、 28 18问该公司职工病假是否均匀分布在一周五个工作日内?(取检验水平 )05.解 令 表示“病假在周 ”,iAi54321,则要检验假设若均匀分布在一周五个工作日内,则应有 1ip因此,要检验的假设 50 ,)(:iAPHi由样本值算得 riiinp122 301.查 分布表得2 4929502.)()(.r因为 49.由(8.22)拒绝 ,不能认为职工病假均匀分布在一周五个工作日内。0H2*、一颗骰子掷了 100 次,结果如下: 点 数 1 2 3 4 5 6出现次数 13 14 20 17 15 21试在 水平下检验这颗骰子是否均匀。05.解 如果认为这颗骰子是否均匀,可提出假设 61
16、:210ppH在假设 为真的条件下,选用 统计量进行拟合优度检验,在 水平上拒绝域为205.07.529.0下面列表用于计算 统计量的值点数 inipiiinp/21 13 16.67 0.80802 14 16.67 0.42763 20 16.67 0.66524 17 16.67 0.00655 15 16.67 0.16736 21 16.67 1.1247和 100 3.19938现求得 ,样本未落入拒绝域,所以在 水平上认为这颗骰子是均匀的。193.2 05.3*、为研究混凝土抗压强度的分布,抽取了 200 件混凝土构件测定其抗压强度,经整理得频数分布表如下抗压强度区间 ,(1ia
17、频 数20,9(1026,1563(64240,30514合计 200在检验水平 下,检验抗压强度是否服从正态分布。05.解 设混凝土抗压强度为 ,分布函数为 。则问题是判断 是否正确?故提出假X)(xF),(2NX设 : 。0H),(2NX由于参数 未知,其极大似然估计 ,故在假设 为真时,可以选3.12,5,210H取 检验统计量2)12()(122 rpnrii对于检验水平 ,利用自由度 的 分布,确定出 的分05.36k295.01位数 。利用样本值计算出8.7)3()26(29.1 )3(815.732.)29.0122 riipn样本落入接受域,不能拒绝 ,在检验水平 下,认为 成立。0H.0)152,NX