1、数字信号处理,Lecture 3: Representation of Systems杨再跃Email: 玉泉校区工控新楼 September 23, 2018,2,LTI系统的冲击响应与线性卷积,Sunday, September 23, 2018,3,LTI系统的冲击响应,Sunday, September 23, 2018,4,可以用不同的方法去描述一个系统，时域内对给定系统，测试系统特性的一个有效方法是对系统施加单位冲击信号；,系统冲激响应指当零状态系统输入为单位冲激信号时系统的输出，LTI系统的特性完全可以用冲激响应完全表征：,系统对任意信号的响应，可以通过计算该信号与系统冲激响应的
2、线性卷积来获得；,线性卷积,Sunday, September 23, 2018,5,任意信号的单位冲击序列表示:,假设存在一个线性系统：,令,LTI,P48 例2-17,Sunday, September 23, 2018,6,例3.1 已知离散时间系统定义,求系统的单位冲击响应求系统对给输入定序列的输出,Solution: (1) 系统为LTI系统（证明略），因此,Sunday, September 23, 2018,7,Solution:,Case 1: if n0, there is no overlap. Therefore,Case 2: if 0nN1 。序列的z变换为: 要使这
3、个和式收敛，在序列x(n)有界的条件下，z变换的收敛域就取决于z-n ，nN1, N2的取值。,z变换的收敛域,1. 有限长序列（Finite Length Sequence）,a) N1 0, N20, 这时序列z变换为有限长序列的z变换收敛域为z0，即除了z=0外，序列z变换在整个z平面上收敛。,b) N1=N2=0，即x(n)=A(n) ，A为常数，序列的z变换为它是一个常数，序列的z变换收敛于整个z平面。,1. 有限长序列（Finite Length Sequence）,z变换的收敛域,d) N1 0, 序列z变换可以写成有限长序列的z变换收敛域为0z，即除了z=0和z=外，序列z变换
4、在整个z平面上收敛。,1. 有限长序列（Finite Length Sequence）,z变换的收敛域,若序列的非零值点仅分布在某一点的右边，即有 x(n)=0 nN2 称此序列为左边序列。其z变换为 用类似于右边序列的讨论，假定X(z)在z=z2处收敛，即有,3. 左边序列（ Left-sided Sequence ）,z变换的收敛域,a) N20，对所有zz2 有 X(z)的收敛域是个圆内区域，且包含了z=0处。b) N20，序列的z变换可以写成 这时序列z变换的收敛域为一个圆内区域，但不包含z=0点。,若序列x(n)的非零值点分布在整个整数集上，则此序列称为双边序列。 第一个和式的收敛域
5、为包括z平面原点的一个圆内区域，设为zR- 当R+R时，两个和式圆环公共的收敛区域：R-zR+ 如果R+R，没有公共区域，因此这时双边序列的z变换不存在,z变换的收敛域,3. 双边序列（ Two-sided Sequence ）,26,例3.6 求序列的收敛域,27,常用z变换,28,移位序列的单边z变换,移位序列双边z变换,双边z变换：,单边z变换：,29,移位序列的单边z变换,1. 右移位序列单边z变换,30,2. 左移位序列单边z变换,移位序列的单边z变换,逆z变换,逆z变换的定义为：,C为收敛域内反时针包围z平面坐标原点的闭合曲线。,直接用逆z变换公式求解较难，通常采用留数法、幂级数展
6、开法、部分分式展开法等方法求解。,例3.7 已知X (z) ，求x(n)。,Solution:,被称为系统函数,LTI系统(传递)函数,根据时域卷积定理，在z域中:,差分方程,Sunday, September 23, 2018,34,差分方程,与连续系统的微分方程相对应，离散线性时不变系统可以用差分方程描述其特性：,Sunday, September 23, 2018,35,如果系数aN 不为零，则被称为N阶差分方程,求解差分方程，可以直接得到系统对特定输入的响应结果，方法与求解微分方程类似。,差分方程,求解差分方程的方法：,Sunday, September 23, 2018,36,迭代法
7、；齐次解+特解；零输入+零响应；z变换法；,求解差分方程：迭代法,Solution:,例3.8 用迭代法求解下面的差分方程：,step 1: 写出特征方程step 2: 求解特征根step 3: 写出齐次解step 4: 求出特解step 5: 求出全解，根据初值（初始状态）确定待定参数,Sunday, September 23, 2018,38,求解差分方程：齐次解+特解,Sunday, September 23, 2018,39,求解差分方程：齐次解+特解,Sunday, September 23, 2018,40,求解差分方程：齐次解+特解,根据初始状态求得系统初值：,全解,Sunday
8、, September 23, 2018,41,求解差分方程：齐次解+特解,把全解的表达式带入差分方程：,方程的全解为,42,用单边z变换求解差分方程,系统初始状态,输入信号若为因果序列，此项为零,求解差分方程：用z变换求解,Solution: 1. 对差分方程两边求z变换得：,系统函数为,求逆z变换得系统的单位抽样响应,求解差分方程：用z变换求解,Solution: 2.,代入输入信号x(n)=u(n)的z变换,用部分分式法展开,求逆z变换得到单位阶跃响应为,求解差分方程：用z变换求解,Solution:,例3.11 用z变换法求解下面的差分方程：,Sunday, September 23, 2018,46,求解差分方程：齐次解+特解,
