1、統計學回顧,區國強,預期學習目標,對統計學作一簡單回顧，強調標準差、共變異數及對數常態分配在金融風險理論的應用(知道如何應用即可，不需強記統計公式),機率在金融風險的重要性,機率是一個抽象的數學概念，用以描述風險因素的分配 簡單說，我們不知道未來給果確實發生的位置(風險)，但我們可以用機率理論來預測其可能發生的範圍,隨機變數 Random variable,隨機變數的發生是隨機的，但其依循一固定的資料產生過程(fixed data-generating process)。例如拋銅板、擲骰子,思考題,拋一公平的銅板:請問連續出現10次頭的機率為何? 若連續出現九次頭，第十次出現頭的機率為何?,單
2、變數分配函數 Univariate distribution function,若 X 為隨機變數累加分配函數 : 若 X 不連續，則 f(x) 稱為機率密度函數 (probability density function, pdf),若 X 連續，則密度函數可籍由微分獲得:,密度函數的特性,必須為正在可能事件空間(event space)內，全部加總(積分) 必須等於一,拋兩位die的例子,動差 Moments,一階動差 (平均數): 分位數(quantile),若 c = 0.5, 則 Q(X, c) 稱為中位數 二階動差 (變異數, variance): 標準差 (standard de
3、viation),偏態係數 Skewness,三階動差(偏態係數)衡量分配的不對稱程度,峰度係數 Kurtosis,四階動差(峰度係數)衡量資料分配在尾端的多寡,多變數分配函數 Multivariate distribution function,聯合密度函數 (joint density function)如果變數間獨立,邊際密度函數(marginal density function)條件密度函數(conditional density function),共變異數(covariance)相關係數(correlation coefficient),如果變數間獨立，則如果共變異數及相關係數等
4、於零，表示無線性相關，不隱含獨立,例題 (1999 FRM Exam Q.21),如 A 、B兩變數之共變異數 = 5，相關係數 = 0.5，A之變異數 = 12，則B之變異數為何? A) 10.00B) 2.89C) 8.33D) 14.40,例題 (2000 FRM Exam Q.81),下列何者有關相關係數之陳述為錯? A) 其必定介乎 -1 與 +1 之間 B) 相關係數等於零，表示兩隨機變數獨 立C) 它衡量兩個隨機變數的線性關係D) 它可由共變異數計算出來,隨機變數的線性轉換,若 則,隨機變數的和,若 則,隨機變數的乘積,若 則變異數很複雜，但如獨立，則,隨機變數的組合,考慮資產組
5、合包括N種資產，Xi及wi分別為第 i 種資產的報酬率及權數，則資產組合的報酬率、其預期值及變異數分別為,單一分配 Uniform distribution,若 在 發生的機率皆相同,常態分配 Normal distribution,標準常態分配Standard normal distribution,把常態分配標準化,中央極限定理 Central limit theorem (CLT),如果觀察值數目N增加，則N個獨立且認定分配(independent and identically distributed, I.I.D.)的變數之平均數向常態分配收斂,常態分配重要特性,如果變數間(1)為獨
6、立分配；或(2)多變數常態分配則聯合常態分配變數的線性組合亦為一常態分配,例題 (1999 FRM Exam Q.12),對一標準常態分配，累加分配函數介乎 -1 與 1之間下的面積大概為: A. 50%B. 68%C. 75%D. 95%,例題 (1999 FRM Exam Q.11),若 X 與 Y為標準常態分配，其共變異數 Cov(X,Y)=0.4, 則(5X+2Y)之變異數為:A. 11.0B. 29.0C. 29.8D. 37.0,例題 (1999 FRM Exam Q.13),常態分配之峰度係數A. 0B. 無法決定，因為必需先知道該分配 的變異數為何C. 2D. 3,例題 (19
7、99 FRM Exam Q.16),如果一分配，其變異數與常態分配相同，但峰度係數大過3，則下列何者為對?A.其雙尾較常態分配為厚B.其雙尾較常態分配為薄 C. 因其變異數與常態分配相同，故其雙尾與 常態分配相同 D. 條件不夠，無法決定,常態分配的缺點,儘管常態分配有許多優點，但其在雙邊有無限長，不符現實，因金融資產皆為有限責任，報酬率絕不会小過負一,對數常態分配 Lognormal distribution,若一隨機變數 X，其對數 Y = ln(X)為常態分配 ，則X為對數常態分配。最常見為連續複利報酬率。,例子:前述之債劵定價，100元面值Zero的價格為 隱含故如 利率 (r) 為常
8、態分配，則價格(V)為對數常態分配,例題 (2001 FRM Exam Q.72),對數常態分配為A. 正偏態B. 負偏態C. 不偏態，偏態係數 = 2D. 不偏態，偏態係數 = 0,例題 (1999 FRM Exam 5),下列何者最適合描述常態分配與對數常態分配之關係:A. 常態分配之對數為對數常態分配;B. 若 X 之自然對數為對數常態分配，則 X為常態分配；C. 若 X為對數常態分配，則X 之自然對 數為常態分配;D.兩種分配相互間，無任何關係,例題 (1998 FRM Exam Q.10),若 X 為對數常態分配，而 ln(X)為平均數 = 0 及標準差=0.2之常態分配，則 X 之
9、預期值為:A. 0.98B. 1.00C. 1.02D. 1.20,例題 (1998 FRM Exam Q.16),下列何者正確:I. 兩隨機常態變數之和，亦為隨機常態變數II.兩隨機常態變數之乘積，亦為隨機常態變數III.兩隨機對數常態變數之和，亦為隨機對數常 態變數IV.兩隨機對數常態變數之乘積，亦為隨機對數常態變數 A. 只有I和II B.只有II和IIIC. 只有III和IV D.只有I和IV,例題 (2000 FRM Exam Q.128),若 X 為對數常態分配，而 ln(X)為平均數 = 0 及標準差=0.5之常態分配，則 X 之預期值及變異數為:A. 1.025 及 0.187
10、C. 1.126 及 0.217C. 1.133 及 0.365D. 1.203 及 0.399,t 分配 Students t distribution,t 分配描述估計係數及其標準誤的比率之分配，故常用於假說檢定。當自由度 k 增加， t 分配趨近常態分配 (k 必需大于4),其四階動差分別為:故其雙尾較常態分配為厚,卡方分配 Chi-square distribution,卡方分配可視為多個獨立標準常態分配變數之平方和自由度為k。,卡方分配多用以描述樣本變異數之分配,F 分配 F distribution,F 分配為兩個獨立卡方分配除以其本身自由度之比率，常用以對廻歸係數作聯合檢定,二項
11、分配 Binomial distribution,例子,若 n =250, P=1%, 求 x = 0 之機率,報酬率之衡量,單利:連續複利:兩者之關係如果x 很小(如每日報酬率) ，則ln(1+x) 趨近x,有效市場 Efficient market,價格之變動不能預測 (unpredictable)亦即统計學上的隨機漫步(random walk)假說: 報酬率的條件分配僅由現在的價格決定，與過去的價格歷史無關，所有技術分析皆徒勞無功檢定原則: 價格是否向長期平均值收歛檢定方法:變異數是否隨著時間的增加而減小,長期報酬率為短期報酬率的簡單加總，例如，兩天的日報酬率預期報酬率及變異數為:,若報
12、酬率無相關及來自同一分配，則一般化: T-日報酬率的動差可以寫成T乘一日報酬率的動差:,若報酬率有相關，則,如果有時間趨勢(trend) 正相關，則如果向平均值收斂(mean reversion) 負相關，則技術分析有效（市場無效）之統計假定:Variance ratio test:,重要概念,如果報酬率間，並無相關，則其波動(volatility)隨著時間的增加，而乘上時間的開根號，即,參數估計及迴歸分析,參考统計學的上課內容,迴歸分析的陷阱,最小平方法的五個假定在現實世界中，很難成立，任何一個假定被違反，都將導致迴歸分析的估計偏誤或無效,蒙地卡羅模擬 Monte Carlo Simulation,對同學可能太難，故僅在課堂上做簡單示範。惟若同學要準備FRM考試、考較好的商研所、或從事金融分析實務，此為必需工具,
