1、 【 第 1 页 共 4 页 】 反例在数学教学中的应用 【摘要】 本文就反例在数学教学中的应用及应用反例教学时应注意的问题提出了几点看法 。 【关键词】 反例 ； 反例教学 ； 应用 1 引言 著名的数学家盖儿鲍姆（ Gel Baum）曾说数学由两大类 证明和反例 组成 。 而数学的发 展也是朝着这两个主要目标 提出证明或构造反例 。 当某些问题经人们绞尽脑汁去推演却仍悬而未决时（即使这种不彻底的推理并无差错） 。 则应允许人们对此命题的真伪产生怀疑，这就需要去寻找符合题设条件而与命题相悖的反例 。 反例因其具有简明、直观、说服力强等特点 ,决定了他在数学教学和数学的发展中起着不可替代的 作
2、用。在 教学过程中适当运用反例对提高学生的创造能力有良好的诱导作用，从而也会给数学教学带来美妙的感受和良好的效果 。 教师在日常教学中，可经常选择一些发散性强的典型数学知识或问题，通过创设问题情景，引导学生 构建反例，引导学生敢于和善于发现问题或提出问题，从而提高学生思维的发散性 .那么在教学的过程中 反例的运用、构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动，是培养学生创新精神、诱发学生创造力的一种很好的载体 。 反例教学 在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可 . 通过反例教学，加深了学生对 数学中概念的理解 ，同时 也 解决了教学中的重点、难点问题， 使学生在认识上产生了
3、质的飞跃 ， 从而 提高了教学的有效性 。 2 反例在数学教学中的作用 2.1 利用反例加深对数学概念的理解 数学概念本身是抽象的，引入概念之后，还必须 有一个去粗取精、去伪存真的过程，必须在感性认识的基础上对概念作辨证的分析，用不同的方式进一步揭示概念的本质属性。通过构造反例，往往能够从反面消除一些容易出现的模糊认识，把握概念的要素和本质，从而达到学好的效果。 例 2.1 人教版必修 1函数的基本性质一节中，对函数的奇偶性这样定义：一般地，如果对于函数 )(xf 的定义域内任意一个 x ，都有 )()( xfxf 那么函数 )(xf 就叫做偶函数。一般地，如果对于函数 )(xf 的定义域内任
4、意一个 x ，都有 )()( xfxf 那么函数 )(xf 就叫做奇函数。学生利用定义判断函数的奇偶性时往往忽略“定义域内任意一个 x ”，直接去利用 )( xf 与 )(xf 之间的关系去判断，从而得出错误的结论。如果教师只是从正面去解释“定义域内任意一个 x ”学生就会感觉很抽象。若教师利用反例会使学生感觉更直、更观容易理解。例如判断 2,2)( 2 xxf 的奇偶性。 若忽略“定义域内任意一个 x ” 这个大前提就会得到 )()()( 22 xfxxxf 从而得出 此函数是偶函数的结论 ，而实际 2 是不在 定义域内，所以 此函数 是非奇非偶函数。 又例如：在等差数列的定义中，举出例子：
5、（ 1） 2， 4， 6， 7， 8 （ 2） -6， -4， -3， -1， 1让学生理解“第二项起” ，“同一”常数的含义。 2.2 反例是理解定理、法则的有利工具 例 2.2 初中在教 三角形全等的判定定理时，三角形三边和三个角六个元素中， 一般需要三个元素对应相等（但其中至少有一边）比如两角和夹边 （ ASA） ，两边和夹角 （ SAS） ，三边对应相等 （ SSS）两角和一对边（ AAS） 。 特别强调 “对应”、“夹边”、“夹角”。为了对定理的深刻理解可以采用反 例教学， 去掉“ 夹角 ” ， 如有两边及其其中一边所对的角对应相等 (SSA)的两个三角形是否全等。构造反例可以先固定
6、 / , CAACAA ,在此基础上引导学生进一步思考若 aCBBC / 说明/CBBC或 可以通过以下作图方法来画出：以 C 或者 /C 为圆心， a 为半径画弧， a 只要满足一定的条件，此时所画的弧就很可能与 /BAAB或 所在的直线有两个交点，这是再构造出不全等的三角形就减少了难度。 【 第 2 页 共 4 页 】 另外 可以进一步讨论 去掉“对应”， 六个元素中已知三个元素相等能否判断两个三角形全等，六个元素中已知四个元素相等能否判断两个三角形全等，六个元素中已知五个元素相等能否判断两个三角形全等。 六个元素中已知三个元素相等两个三角形全等 三角的反例比较容易列举，例如边长不等的两个
7、等边三角形，三个角分别相等但两个三角形不全等。 六个元素中已知四个元素相 等两个三角形全等三角的反例也比较容易列举， 例如边长为 1 和边长为 2 的两个等腰直角三角形，三个角分别相等，斜边与另一三角形的直角边相等但两个三角形不全等。 判断五个元素对应相等的两三角形全等是否正确 .对于这个问题，很多初中学生感到模棱两可 .反例也较难列举，比如三角形三边分别是 ,abc和 ,bcd 的两个三角形，这里 : : :a b b c c d,则他们相似，故有三个角相等，加之 ,bc两边，该三角形共有五个元素分别相等，但是两个三角形却不等 .如 8 , 1 2 , 1 8 , 2 7a b c d 反例
8、的给出让学生对三角形的全等条件有了进一步的了解和掌握，使学生注意到两个全等三角形中“边”相等不是任意给出的 .那么在这道题中，反例的及时出现给学生眼前一亮的感觉。让学生体会到反例在数学教学中的作用是不可忽视的， 加深对三角形全等判定定理的理解。 2.3 利用反例可以激发学生学习的兴趣，提高教学效果 一个问题的解答，通常我们会用各种方式验证结果，反例将 会引导我们追寻问题的所在，从反例中修补相关知识，从而获得正确结论和解答 .那么恰当的引导学生使用反例可以更好的提高学生学习兴趣 。 例 2.3 试问：在三角形中，边长越长，面积越大吗？ 分析 ：在三角形中若知道其三边，便可以计算其面积，这个事实早
9、在两千多年前已为古希腊学者海伦所发现，他给出公式： )()( cpbpappS A B C （海伦公式）其中 ,abc为三角形ABC 三边长， 1 ()2p a b c ，另外我国数学家秦九韶在数学九章中提出的公式 -“三斜求积”式实质上是相同的 . 2 2 22 2 21 ()22c a bs a c （ 三斜求积式）从两个公式中，均无法明显得出边长越大三角形面积越大的结论 .乍一看，很多学生对此毫无疑问，可是考虑下面的例子 . 已知三角形 ABC 的三边 abc ，又 BC 边上高为 AD ，在 BC 延长线上取 c 使 BC BC ，另取 D 使 BC C D 【 第 3 页 共 4 页
10、 】 若 ( 1)BC kkBC ，只需 1A D ADk ，（ AD 为过 D 点 BD 的垂线）， 显然有 a b c a b c ， 但 ./ 21)()1(2121 CABA B C SDACBDAkCBkADBCS 具体的例子如：取 ABCRt 且 3,a 4b ， 5c ;又考虑 / CBA 中（ AD =1），令 6a ,则 37b , 145c ;显然 a b c a b c ，而 36 / CBAABC SS 注 1 对于两个锐角三角形来说，若它们的边长满足定理条件，则命题结论一定成立 .这也可以用反证法去考虑，如下图两锐角 ABC 和 ABC 中，若 a b c a b c
11、 ，而/ CBAABC SS 。 这样，由之则有 sin sin ab C a b C ， sin sin ac B a c B ， sin sin bc A b c A 由设 ,ab ab ac ac , bc bc 故 sin sin AA ， sin sinBB ， sin sinCC 所以 AA ， BB ， CC 从而有 A B C A B C = 0180 （矛盾） 那么这个题目说明了能够恰当的引用反例在数学教学的过程中还是有很 大作用的。关键是我们能找到说服力强的反例通过这个反例的讲解让学生再次觉得反例在揭示错误时有特殊的威力，从而能更好的激发他们学习数学的兴趣，达到提高教学质量
12、的效果 。 让学生体会到 反例 在数学教学中的作用是不可忽视的，从而增强了他们学习数学的兴趣，也激发了他们的学习热情 。 2.4 反 例 可以 培养学生思维 的 严密性 数学思维就是解决数学问题的心智活动，所以问题是思维的“启发剂”，在数学教学中，举反例也是提出问题的常用方法 .运用反例可以增强思维的缜密性，弥补解决问题出现的漏洞 ，培养思维的批判性， 从而去发展学生的 逆向思维和发散思维，全面提高思维能力和数学素养 .寻找一个反例往往比证明更需要想像力和创造力 。 例 2.4 若关于 x 的方程 )lg (2)1lg ( 2 xmx 有两个不等的实数解，求实数 m 的取值范围 .不少学生是这
13、样做的：由221001xmxx m x 可以得到： xmxx2111 （ 1） 22 )(111 xmx x （ 2） 从而将问题转化为方程 22 1)( xxm ，即 0122 22 mmxx ，在 )1,1( 内有两相异的【 第 4 页 共 4 页 】 根，求 m 的取值范围 。 乍看这种解法是正确的，但仔细分析 便可发现该解法是错误的，这是因为在（ 1）中 0xm ，而在（ 2） 中 xm 可正可负，即（ 1）与（ 2）并非等 价，问题就出在 xmx 21 两边平方后扩大了 xm 的取值范围，因此，在解题时必须重视思维的严密性 。 通过这个例题可以看出 有些题目对学生思维 严密性的考查，
14、也 有 了一定的 要求 .因此，注重对技巧的实质把握，弄清通性、通法是十分重要的 。 学生 的模仿能力强，课堂讲授的知识容易接受，但题目一旦改样或时间稍久我们就无所适从 .因而在数学教学中，除了高效地传授知识及基本技能外，还要通过一些题目的反例的学习加强学生思维的严密性 。 以上的例子说明：反例思想是 数学分析中的重要思想， 在我们进行 问题的研究和论证中都具有不可替代的独特作用 .同时在数学 教学 中利用反例能更好的培养学生们的思维严密性 。 3 数学教学中运用反例应注意的问题 在教学中重视和恰当的运用反例，不仅可以调动学生学习的积极性，养成重视条件，严格推理的习惯，还可以提高学生的数学能力
15、和学习能力 .教学中运用反例必须注意： (1) 适当时候讲授反例 .要在学生对所学知识有了一定的认识和理解的基础上，才能讲授 .决不能在学生刚刚接触或者还没有完全掌握时就提出反例给学生，这样不但起不到好的教学效果，有时还会把学生 搞糊涂，弄巧成拙 .教师可根据学生知识掌握情况和接受原则，在习题课或复习课时提出反例 。 (2) 教学中主要讲授概念、定理和方法，对于基本的命题和结论应予以严格的证明和推导 .举反例重在说明结论，学生对反例的掌握要求不能太高，反例应是围绕主要类容的有效辅助有效手段 。 (3) 反例必须从教学实践中来，真实、生动 .如果是教师自己编写的也必须符合客观实际 。 (4) 反
16、例必须精炼 .选择反例的数量不能多，运用反例的目的是为了使学生掌握抽象的数学概念、性质，不能不加选择地大量地罗列反例，只需要选择那些高质量的少数典型反例 .因 为反例教学法是使教师和学生借助分析少数有代表性的反例，从而获得整体性、全面性的知识的方法，我们不可能在短时间里收集和列举所有的实际反例，可以抓住与某部分知识有关的几个典型例子加以剖析，从而把握概念的本质特征 。 (5) 反例必须典型。反例要能代表概念性质对象的特点，倘若随手拈来几个反例，则其意义和教育价值就有局限性，典型的反例可以是综合知识量大的部分，也可以是概念、知识点的某个性质 。 (6) 反例必须有针对性 .应该针对所讲的教学内容
17、和教学实际和学生的接受能力来选择和编排反例 。 (7) 反例必须具有系统性 .在教 学中选用的反例应该相互联系，由简单到复杂，分层次地有序地编排，反例整体排列结构的合理化能发挥反例教学法的最大教育功效 。 4 结论 反例是数学教学过程中必不可少的部分，他开拓数学的新领域 , 是数学课堂教学中一个调节器，他不仅可以发现错误和漏洞，而且还可以从中得到修补，获得问题的正确结论或解答 .数学反例是调整思维方法和认知策略，促进正迁移，预防和纠正错误的有力工具 。 在数学教学中加强反例的运用，可以使学生加深理解、巩固知识，而且 还 能使学生 在学习的过程中 思维得到 发散 ， 从而 激发他们的学习热情 达
18、到良好的教学效果 。 【参 考文献】 1 陈晓春。谈反例在高等数学中的作用 J。高等理科教育， 2003， 6： 99-101 B.2 2 B.R.盖尔鲍姆， J.M.H.奥姆斯特得分析中的反例上海科学技术出版社， 1983 年版 ,87-88. 3 罗增儒著 数学解题学引论 陕西师范大学出版社 1997， 65-67. 4 席振伟著 数学的思维方式 江苏教育出版社 1995， 49-50. 5 刘永贵 略谈反例数学的功能 数学通报 1997.7 6 沈山剑 巧造反例学数学 数学之友 1996.7 7 张国良 .重视反例教学，培养学生的创造力 .中学数学月刊， 1999， 9 8 陈斌 .创设数学问题情境的若干案例 .数学通讯， 2004， 7 9 冯元，朱光才。利用反例培养学生的思维严密性 J.数学教学研究， 2003. 10 王军 .问题解决中常见的错误 J.中学数学教学参考， 2001，（ 8）： 4.
