1、让抽象变得自然 线性代数精彩案例,李尚志 北京航空航天大学,润物细无声：应用案例 子空间概念的应用,4 阶幻方构造法,4 x + 同加1,随风潜入夜:概念的引入,方程个数的真与假 方程组 有几个方程？ 3个? 2个?,某个方程是其余方程的线性组合 线性相关,方程组线性相关 有多余的方程（是其余方程的线性组合）删去多余的方程 - 打假将打假进行到底极大线性无关组剩下的方程的个数- 秩rank,极大线性无关组，秩,二元一次方程组的几何意义,行列式的定义,方程组,可写成向量形式,即,1. 有唯一解的条件,不共线,即,2. 消元: 方程(1.1)两边与,(1.1),作内积消去y, 得,其中,就是,同理
2、得,图2,因此,于是,3. 二阶行列式 平行四边形面积,称为二阶行列式, 记作,是平行四边形 OAPB 的有向面积,是两个向量,或,的函数,计算公式:,或,图2,4. 代数算法,可写成,其中,三阶行列式与体积,1. 三元一次方程组的几何意义,两边同时与,方程,作内积消去 y, z , 得到,类似地可以得到 y, z 的表达式。,当,时得,从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使,则,就是以OA,OB,OC为棱的平行六面,体的有向体积。称为三阶行列式，记作,2. 三阶行列式 平行六面体体积,利用基本性质计算 n 阶行列式,(3.1),当 i1,i2,in 中有两个相等时，,这样的项可以从 (3.
3、1) 中去掉。只剩下 i1,i2, in 两两不相等的项, (3.1)中的 变成对1,2,n 的全体排列 (i1,i2, in ) 求和，成为：,将排列 中任意两个数 相互交换位置, 称为这个排列的一个对换。相应地，行列式 中的 互换了位置，其值变为原来值的相反数 。 进行若干次对换(设为 s 次)可以将排列 变成标准排列 (12n), 相应地将 变成,(3.2),以下只须对每个排列 求,可以证明, 的值由排列 唯一决定, 我们将 记为 sgn 。则,sgn,代入(3.3) 得到,(3.3),于是得,这可以作为 n 阶行列式的定义。,(3.4),线性代数,空间为体, 矩阵为用研究对象-几何：线
4、性空间(向量) 研究工具-代数：矩阵运算 向量 (问题) 矩阵语言描述 矩阵运算解决 向量(解答)与微积分的关系: 非线性 -微积分 线性 -线性代数,微积分中的代数模型,物理: 以匀速代变速 几何: 以直代曲 代数: 以线性代非线性,线性化-微分与导数,y = f(x) 在a的微分： Dy= f(x)-f(a) 线性函数 dy = kDx 误差 q = Dy-dy 是 Dx = x-a 的高阶无穷小. 导数 f (a) = 一次项系数 k . 一次函数逼近 f(x) f(a) +f(a)(x-a)误差集合 o(Dx) ：Dx 的高阶无穷小非零作零貌似零: q+q = q, q-q = q,
5、aq= q.同余式 f(x) f(a) +f(a)(x-a) （mod o(Dx) ）,同余式:,极限: f(x) A, f(x) A （mod O(Dx) ）微分: f(x) f(a) +f(a)(x-a) (mod o(Dx)Taylor逼近: f(x) k0+k1(x-a)+kn(x-a)n (mod o(Dx)n),多项式的导数,.多项式 f(x) 的导数: x为常量，t 为变量, 则 D f(x) = f(x+ t ) f(x) 是 t 的多项式，其中的一次项系数为 f (x).,和差积商的导数公式,f(x) f(a) + f(a) Dx g(x) g(a) +g(a) Dx 两式相
6、加减 和差的导数相乘乘积的导数f(x)g(x) f(a)g(a) +(f(a)g(a)+g(a)f(a) Dx倒数的导数:,微积分基本定理,数学聊斋：飞檐走壁之电影 实现导数： 位置 f(t) 速度 v(t) = f(t)积分：速度 v(t) 路程 Df(t) “倒过来放映”: 求 f(t) 使 f(t) = v(t) . 例： .,2018/9/24,F(x,y) 在某点P0可微何时由 F(x,y)=0 确定 y=f(x)?线性化: aDx+bDy 0, y=f(x) 在 x0 可微, 导数为,隐函数存在定理,2018/9/24,可微函数n 个方程 =0 ,线性化 即当 det B 时有唯一
7、解,隐映射定理,2018/9/24,线性变换前后的图形,2018/9/24,向量方向的变化,2018/9/24,选取特征向量为基,计算案例: 若当标准形,网上资源,http:/ 精品课程国家级 数学实验(2003),线性代数(2004) http:/ 2006申报精品课程 国家级 联系办法: ,已出版教材 李尚志, 线性代数(数学专业用), 高等教育出版社,2006.5,精品课程网页http:/,博 客,http:/ 随笔: 比梦更美好 比梦更美好之二 - 名师培养了我 数学聊斋二则 数学诗选,2018/9/24,星移斗转落银河, 月印三潭伴碧波。 保短保长皆变换, 能伸能屈是几何。,矩阵与变
8、换,我的数学聊斋,之一 峨嵋山的佛光,数学聊斋,之二 指鹿为马之幼儿版,博比: 长颈鹿 马马 老虎 猫咪 狮子 狗狗 黑猩猩 爸爸 纠错码: 合法码两两之间差异大 (至少3位) 原码: 010011101011传输 错码: 010010101011纠错 最接近的合法码,数学聊斋 之三 人与照片之维数 之四飞檐走壁之电影 实现,数学聊斋(之五) 足球的方与圆- 概率沙场百胜古来稀九密一疏已足奇祸福偶然存概率风云多变泄天机,数学聊斋 之六 没收非法所得是惩罚吗 - 数学期望 之七邯郸农行案,谢谢 ！,2018/9/24,代数几何熔一炉 乾坤万物坐标书 图形百态方程绘 变换有规矩阵筹,代数与几何,2
9、018/9/24,矩阵的相似对角化,AX1=aX1, AX2=bX2, AX3=cX3A(X1,X2,X3) = (X1,X2,X3) DD=diag(a,b,c), P=(X1,X2,X3)AP=PD, P-1AP = DA 相似于对角形 D .,参考文献,线性代数(数学专业用), 高教出版社, 2006.让抽象变得自然-建设国家精品课程的体会, 中国大学教学, 2006年第7期线性代数精彩应用案例(之一),大学数学, 2006年第3期线性代数精彩应用案例(之二),大学数学, 2006年第4期若当标准形的计算, 大学数学, 2006年第5期从问题出发引入线性代数概念, 高等数学研究, 2006年第5期,第6期,
