1、版权所有 :中国好课堂 全国名校大联考 2017 2018 学年度高三第四次联考 数学 （理科） 一、 选择题：本大题共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 1,0,1,2A ， 集合 2 | 3 B x y x x ， 则 AB （ ） A (0,2 B 0,1,2 C 1,2 D (1,2 2.若方程 224 4 8 4 3 0x y x y 表示 圆， 则其圆心为 （ ） A 1( 1, )2B 1(1, )2C 1( 1, )2D 1(1, )23.函数 ( ) 3 lnf x x的定义域为 （ ）
2、A (0,1000 B 3,1000 C 1(0, 1000D 1 ,310004.已知直线 2 2 0ax y 与圆 22( 1) ( 1) 6xy 相交于 ,AB两点 ， 且 ,AB关于直线 0xy 对称 ， 则 a 的值为 （ ） A 1 B -1 C.2 D -2 5.设变量 xy、 满足约束条件 236yxxyyx， 则目标函数 4z x y 的最大值为 （ ） A 2 B 5 C.15 D 12 6.下图为一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） 版权所有 :中国好课堂 A 32B 43C.52D 3 7.等比数列 na 的前三项和 3 13S ， 若 1 2 3, 2,a
3、a a 成等差数列 ， 则公比 q （ ） A 3 或 13B -3 或 13C.3 或 13D -3 或 138.已知 ,是相异两平面 ， ,mn是相异两直线 ， 则下列命题中 错误 的是 （ ） A若 / / ,m n m ， 则 n B若 ,mm， 则 / C.若 , / /mm ， 则 D若 / / ,mn ， 则 /mn 9.若点 (, )ba 在函数 xye 的图像上 ， 1a ， 则下列点在函数 lnyx 的图像上的是 （ ） A 2( , )ab B ( ,1 )ae b C.(, )ab D 1( , )ba10.“ 1a ”是“直线： 2 10x a y 与直线 ： 2 4
4、 0ax y 垂直 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D即不充分也不必要条件 11.已知函数 ()y gx 满足 ( 2) ( )g x g x ， 若 ()y f x 在 ( 2,0) ( 2,0)上为偶函数 ， 且其解析式为 2lo g , 0 2()( ), 2 0xxfx g x x ， 则 ( 2017)g 的值为 （ ） A -1 B 0 C.12D 1212.已知底面为正方形的四棱锥 O ABCD ， 各侧棱长都为 23， 底面面积为 16，以 O 为球心 ， 2 为半径作一个球，则这个球与四棱锥 O ABCD 相交部分的体积是 （ ） A 29B 8
5、9C.169D 43二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分 .把答案填在题中的横线上 . 13.若 4sin( )25， 为第二象限角 ， 则 tan( ) 14.在空间直角坐标系中，已知点 (1,0,2)A ， (1, 3,1)B ， 点 M 在 y 轴上 ， 且 M 到 A 与到 B 的距离相等 ， 则 M 的坐标是 版权所有 :中国好课堂 15.已知圆 22: ( 4 ) ( 2 ) 5C x y .由直线 2yx 上离圆心最近的点 M 向圆 C 引切线 ， 切点为 N ，则线段 MN 的长为 16.设 ,ab是两个非零平面向量 ， 则有 ： 若 | | | |a
6、 b a b ， 则 ab 若 ab ， 则 | | | | | |a b a b 若 | | | | | |a b a b ， 则存在实数 ， 使得 ba 若存在实数 ， 使得 ba ， 则 | | | | | |a b a b 或 | | | | | |a b a b 四个命题中真命题的序号为 （填写所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.已知在 ABC 中 ， 2B A C ， 且 2ca . （ 1）求角 ,ABC 的大小 ； （ 2）设数列 na 满足 2 | cos |nna nC ， 前 n 项和 为
7、nS ， 若 20nS ， 求 n 的 值 . 18.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点 ， 如果 (2, 1, 4)AB ， (4,2,0)AD ，( 1,2, 1)AP .（ 1）求证： AP 是平面 ABCD 的法向量 ； （ 2）求平行四边形 ABCD 的面积 . 19.（ 1）求圆心在直线 2yx 上 ， 且与直线 1yx 相切于点 (2, 1)P 的圆的方程 ； （ 2）求与圆 22 2 4 0x y x y 外切于点 (2,4) 且半径为 25的圆的方程 . 20.如图所示， PA 平面 ABC ， 点 C 在以 AB 为直径的 O 上 ， 30CBA ， 2PA
8、 AB， 点 E为线段 PB 的中点 ， 点 M 在弧 AB 上 ， 且 /OM AC . （ 1）求证：平面 /MOE 平面 PAC ； 版权所有 :中国好课堂 （ 2）求证：平面 PAC 平面 PCB ； （ 3）设二面角 M BP C的大小为 ， 求 cos 的值 . 21.已知圆 22:9C x y， 点 ( 5,0)A ， 直线 : 2 0l x y. （ 1）求与圆 C 相切 ， 且与直线 l 垂直的直线方程 ； （ 2）在直线 OA 上 （ O 为坐标原点 ），存在定点 B （不同于点 A ），满足：对于圆 C 上任一点 P ， 都有 PBPA为一常数 ， 试求所有满足条件的点
9、 B 的坐标 . 22.已知函数 ()fx的导函数为 1( )f x ax， 其中 a 为常数 . （ 1）当 1a 时 ， 求 ()fx的最大值 ， 并推断方程 ln 1| ( ) |2xfx x是否有实数解 ； （ 2）若 ()fx在区间 (0,e 上的最大值为 -3， 求 a 的值 . 版权所有 :中国好课堂 试卷答案 一、选择题 1-5:BDADC 6-10:BCDCD 11、 12： BC 二、填空题 13.3414.(0, 1,0) 15.33 16. 三、解答题 17.解：（ 1）由已知 2B A C ， 又 A B C ， 所以3B.又由 2ca ， 所以 2 2 2 24
10、2 c os 33b a a a a a ， 所以 2 2 2c a b， 所以 ABC 为直角三角形 ，2C，2 3 6A . （ 2） 2 | c os | 2 | c os |2nnn na nC 0,2,nnn 为 奇 数为 偶 数. 所以 2 1 2n k kS S S 2 4 20 2 0 2 0 2 k 2 2 24(1 2 ) 2 41 4 3kk ， *kN 由2224203knS ， 得 222 64k ， 所以 2 2 6k ， 所以 2k ， 所以 4n 或 5n . 18.解：（ 1） ( 1 , 2 , 1 ) ( 2 , 1 , 4 ) 0A P A B ， (
11、1 , 2 , 1 ) ( 4 , 2 , 0 ) 0A P A D . AP AB ， AP AD ， 又 AB AD A ， AP 平面 ABCD ， 版权所有 :中国好课堂 AP 是平面 ABCD 的法向量 . （ 2） 2 2 2| | 2 ( 1) ( 4 )AB 21 ， 2 2 2| | 4 2 0 2 5AD ， ( 2 , 1 , 4 ) ( 4 , 2 , 0 ) 6A B A D ， 6 1 0 5c o s ( , )352 1 2 5A B A D ， 故 32sin ( , )35AB AD ， ABCDS | | | | si n , 8 6AB AD AB A
12、D. 19.解：（ 1）过点 (2, 1)P 且与直线 1yx 垂直的直线为 30xy ， 由 230yxxy 12xy . 即圆心 (1, 2)C ， 半径 | | 2r CP， 所求圆的方程为 22( 1) ( 2) 2xy . （ 2）圆方程化为 22( 1) ( 2) 5xy ， 得该圆圆心为 (1,2) ， 半径为 5 ， 故两圆连心线斜率42221k .设所求圆心为 (, )ab ， 2| 1 | 1 2 3 5 ( 1 ) 3aa ， 4a ， 21| 2 | 1 3 5 2 62bb ， 8b . 22( 4) ( 8) 20xy . 20.（ 1）证明：因为点 E 为线段 P
13、B 的中点 ， 点 O 为线段 AB 的中点 ， 所以 /OE PA ， 因为 PA 平面 PAC ， OE 平面 PAC ， 所以 /OE 平面 PAC . 因为 /OM AC ， 且 AC 平面 PAC ， OM 平面 PAC ， 所以 /OM 平面 PAC . 因为 OE 平面 MOE ， OM 平面 MOE ， OE OM O ， 所以平面 /MOE 平面 PAC . （ 2）证明：因为点 C 在以 AB 为直径的 O 上 ， 所以 90ACB ， 即 BC AC . 版权所有 :中国好课堂 因为 PA 平面 ABC ， BC 平面 ABC ， 所以 PA BC . 因为 AC 平面
14、 PAC ， PA 平面 PAC ， PA AC A ， 所以 BC 平面 PAC . 因为 BC 平面 PBC ， 所以平面 PAC 平面 PCB . （ 3）解：如图，以 C 为坐标原点 ， CA 所在的直线为 x 轴 ， CB 所在的直线为 y 轴 ， 建立空间直角坐标系 C xyz . 因为 30CBA ， 2PA AB， 所以 2 cos 30 3CB ， 1AC . 延长 MO 交 CB 于点 D .因为 /OM AC ， 所以 MD CB ， 13122MD ， 1322CD CB. 所以 (1,0,2)P ， (0,0,0)C ， (0, 3,0)B ， 33( , ,0)22
15、M. 所以 (1,0,2)CP ， (0, 3,0)CB . 设平面 PCB 的法向量 ( , , )m x y z . 因为 00m CPm CB ， 所以 ( , , ) (1, 0 , 2 ) 0( , , ) (0 , 3 , 0 ) 0x y zx y z ， 即 2030xzy . 令 1z ， 则 2x ， 0y . 所以 ( 2,0,1)m . 同理可求平面 PMB 的一个法向量 (1, 3,1)n . 所以 1c o s ,5| | | |mnmn mn .由图可知 为锐角 ， 所以 1cos5. 21.解：（ 1）设所求直线方程为 2y x b ， 即 20x y b ，
16、版权所有 :中国好课堂 直线与圆相切，22|321b ， 得 35b ， 所求直线方程为 2 3 5yx （ 2）方法 1：假设存在这样的点 (,0)Bt ， 当 P 为圆 C 与 x 轴左交点 ( 3,0) 时 ， | 3|2PB tPA ； 当 P 为圆 C 与 x 轴右交点 (3,0) 时 ， | 3|8PB tPA ， 依题意 ， | 3| | 3|28tt， 解得 ， 5t （舍去），或 95t. 下面证明点 9( ,0)5B对于圆 C 上任一点 P ， 都有 PBPA为一常数 . 设 ( , )Pxy ， 则 229yx ， 2222 2 29()5( 5 )xyPBPA x y
17、1 8 8 1 95 2 51 0 2 5 9x x xx x x 18 (5 17 ) 9252(5 17 ) 25x ， 从而 35PBPA为常数 . 方法 2：假设存在这样的点 (,0)Bt ， 使得 PBPA为常数 ( 0) ， 则 2 2 2PB PA ， 2 2 2 2 2( ) ( 5 ) x t y x y ， 将 229yx 代入得 ， 2 2 2 2 2 22 9 ( 1 0 2 5 9 )x x t t x x x x ，即 2 2 22 ( 5 ) 3 4 9 0t x t 对 3,3x 恒成立 ， 2225034 9 0t t ， 解得3595t 或 15t（舍去），
18、 所以存在点 9( ,0)5B 对于圆 C 上任一点 P ， 都有 PBPA 为常数 35 . 22.解：（ 1） 1( )f x a x ， ( ) lnf x ax x . 当 1a 时 ， ( ) lnf x x x ， 11( ) 1 xfx xx . 当 01x时 ， ( ) 0fx ； 当 1x 时 ， ( ) 0fx . 版权所有 :中国好课堂 ()fx在 (0,1) 上是增函数 ， 在 (1, ) 上是减函数 ， max( ) (1) 1f x f . | ( )| 1fx . 又 令 ln 1()2xgx x，21 ln( ) xgx x， 令 ( ) 0gx ， 得 xe
19、 . 当 0 xe 时 ， ( ) 0gx ， ()gx 在 (0,)e 上单调递增 ； 当 xe 时 ， ( ) 0gx ， ()gx 在 (, )e 上单调递减 ， m a x 11( ) ( ) 12g x g e e ， ( ) 1gx ， | ( )| ( )f x g x ， 即 ln 1| ( ) |2xfx x， 方程 ln 1| ( ) |2xfx x没有实数解 . （ 2） 1( )f x ax， (0, xe ， 11 , )xe . 若 1ae， 则 ( ) 0fx ， ()fx在 (0,e 上 为增 函数 ， m a x( ) ( ) 1 0f x f e ae 不合题意 . 若 1ae， 则由 ( ) 0fx 1 0ax， 即 10 xa ， 由 ( ) 0fx 1 0ax， 即 1 xea . 从而 ()fx在 1(0, )a上为增函数 ，在 1( , )ea上为减函数 ， m a x 11( ) ( ) 1 ln ( )f x f aa . 令 11 ln( ) 3a ， 则 1ln( ) 2a ， 21 ea ， 即 2ae . 2 1ee ， 2ae 为所求 . 欢迎 访问 “高 中试卷网 ”http:/sj.fjjy.org
