1、数学 I 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题）、解析题（第 15 题第 20 题）本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将答题卡交回2答题前，请您 务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗参考公式：球体的体积公式：V ，其中 为球体的半径一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.
2、 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知集合 ， ，则 _【答案】 【解析】， 本题正确结果： 2已知复数 满足 ，则 _.【答案】 【解析】解：因为 所以 所以 .3甲、乙两位同学的 5 次考试成绩如茎叶图所示，则成绩较稳定的那位学生成绩的 方差为_【答案】2【解析】由茎叶图可得：甲的平均成绩为 ，所以方差为 ；乙的平均成绩为 ，所以方差为 ；因此 ，所以甲稳定，方差为 2.故答案为 24执行如下的程序框图，最后输出结果为 k=10,那么判断框应该填入的判断是 ,则实数 的取值范围是_【答案】（36,45【解析】由题意，模拟程序的运行，根据循环结构的程序框图的计算公式，可得
3、当 时，求得 ，而当 时，求得 ，要使的输出的结果为 ，判断框应该填入的判断是 时，则 .5函数 的定义域为_ 【答案】 【解析】要使原函数有意义，则： ；原函数的定义域为： 故答案为： 6欧阳修的卖油翁中写道：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止已知铜钱是直径为 3 的圆，中间有边长为 1 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则油正好落入孔中的概率是_【答案】 【解析】由题意可知铜钱所在圆的半径为 ，所以其面积为 ，又由中间边长为 的正方形，则正方形的面积为 ，由几何概型的概率公式可得概
4、率为 .7函数 的最小正周期为 ，则函数在 内的值域为_【答案】 【解析】函数 的最小正周期为 ， ， ，则在 内， ， ，故答案为： 8已知点 是双曲线 的右焦点，过原点且倾斜角为 的直线 与 的左、右两支分别交于 ， 两点，且 ，则 的离心率为_.【答案】 【解析】解：设 F为双曲线的左焦点，连接 AF，BF，由 ? 0，可得 AFBF ， 可得四边形 AFBF为矩形，又BOF= ，BFF= FF=2c，BF=c ，BF= 由双曲线定义可知：BF- BF=2a即 e= 故答案为： 9函数 满足 ，且在区间（-2,2上， ，则 的值为_【答案】1【解析】因为 ，所以函数的最小正周期为 ，所以
5、 ，又在区间（-2,2上， ，所以 ，所以 .故答案为 110如图，正三棱锥 的高 ，底面边长为 4， ， 分别在 和 上，且 ，当三棱锥 体积最大时，三棱锥 的内切球的半径为_ 【答案】 【解析】设 ，当 时， 取得最大值 ，此时 为 中点， 经过点 ，且 ， ，所以可求 ， ，因此易求 ， ， ， ，又 ， .11已知 ， ，若 成立，则实数 t 的取值范围是_【答案】 【解析】解：根据题意， ，则 ，则函数 为偶函数，当 时， ，其导数 ，则函数 在 为增函数，则 ，解可得： ，即 t 的取值范围为 ；故答案为： 12过点 作圆 （ ）的切线，切点分别为 、 ，则 的最小值为_【答案】
6、【解析】圆 C：（ x m）2+（ym+1）21 的圆心坐标为（ m，m1），半径为 1，PC ，PAPB ，cosAPC ，cosAPB 2（ ）21 1 ， ? （PC21） （1 ）3+PC2 3+2 3+2 ，当且仅当 PC 时取等号， 的最小值为 2 3故答案为：2 313已知在 中，角 所对的边分别为 . 为 上一点且 则 的最小值为 _ .【答案】 【解析】， ，又 ，故 即 ，所以 .又 ，当且仅当 ， 时等号成立，故 的最小值为 ，填 .14已知集合 ，从集合 中取出 个不同元素，其和记为 ；从集合 中取出 个不同元素，其和记为 若 ，则 的最大值为_【答案】44【解析】欲使
7、 m,n 更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，S= 即 令 2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t 为奇数,m 为整数，则 ，由基本不等式 当且仅当 m=t=22 时取等，t为奇数， 的最大值在 t=22 附近取到，则 t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）; t=23,m=20,成立；故 m+t 的最大值为 43，所以 的最大值为 44故答案为 44二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15如图所示，在直三棱柱 ABC?A1B1C1 中，侧面 BCC1B1 为
8、正方形，A1B1B1C1设 A1C 与 AC1 交于点 D，B1C 与 BC1 交于点 E求证：（1）DE 平面 ABB1A1； （2）BC1平面 A1B1C【答案】（1）见解析；（2 ）见解析【解析】（1）因为三棱柱 ABC?A1B1C1 为直三棱柱， 所以侧面 ACC1 A1 为平行四边形又 A1C 与 AC1 交于点 D，所以 D 为 AC1 的中点，同理，E 为 BC1 的中点所以 DEAB 又 AB?平面 ABB1 A1，DE? 平面 ABB1 A1，所以 DE平面 ABB1A1 （2）因为三棱柱 ABC?A1B1C1 为直三棱柱，所以 BB1平面 A1B1C1又因为 A1B1?平面
9、 A1B1C1，所以 BB1A1B1 又 A1B1B1C1，BB1，B1C1?平面BCC1B1，BB1B1C1 ?B1，所以 A1B1平面 BCC1B1 又因为 BC1?平面 BCC1B1，所以 A1B1BC1又因为侧面 BCC1B1 为正方形，所以BC1B1C又 A1B1B1C ? B1，A1B1，B1C ?平面 A1B1C，所以 BC1平面 A1B1C16已知 ， 为钝角 且 ， 求 的值；求 的值【答案】（1）-2 ；（2） 【解析】（1）由题意，因为 ， 为钝角，所以 ，所以 ，所以 （2）因为 ， 为钝角，且 ， ， ， ， ， 17某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口
10、沿 ， 方向修建两条小路，休息亭 与入口的距离为 米（其中 为正常数），过 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于 、 处，已知 ， （1）设 米， 米，求 关于 的函数关系式及定义域；（2）试确定 ， 的位置，使三条路围成的三角形 地皮购价最低【答案】(1) ，定义域为 (2)见解析【解析】（1）法一：由 得 ， 且 由题可知 所以 得 即 所以 由 得定义域为 法二： 由 得 ， 设 中，由正弦定理 所以 同理可得 由 即 整理得 ，由 得定义域为 （2）设三条路围成地皮购价为 元，地皮购价为 元/平方米，则 （ 为常数），所以要使 最小，只要使 最小由题可知 定义域为 令 则
11、 当且仅当 即 时取等号所以，当 时， 最小，所以 最小，此时 y= 答：当点 距离点 米,F 距离点 米远时，三条路围成地皮购价最低18椭圆 的左、 右焦点分别为 ，右顶点为 A，上顶点为 B，且满足向量 .（1）若 ，求椭圆的标准方程;（2）设 为椭圆上异于顶点的点，以线段 PB 为直径的圆经过 F1，问是否存在过 F2 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由.【答案】（1） ；（2 ）存在满足条件的直线，斜率 .【解析】（1）易知 ，因为 ，所以 为等腰直角三角形，所以 b=c，由 可知 ，故椭圆的标准方程为： ；（2）由已知得 ，设椭圆的标准方程为 ， 的坐标为 ，因为 ,所以 ，由题意得 ,所以 ，又因为 在椭圆上，所以 ,由以上两式可得 ，
