1、206习题十1. 根据二重积分性质，比较 与 的大ln()dDxy2ln()dDxy小，其中：（1）D 表示以（0，1） ， （1，0） ， （1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域 .(,)|35,2xyy解：（1）区域 D 如图 10-1 所示，由于区域 D 夹在直线x+y=1 与 x+y=2 之间，显然有图 10-112xy从而 0ln()1xy故有 2l所以 2l()dln()dDDxyxy（2）区域 D 如图 10-2 所示.显然，当 时，有 .(,)xyD3xy图 10-2从而 ln(x+y)1207故有 2ln()l()xy所以 2dln()dDDxy2. 根据二重积分性
2、质，估计下列积分的值：（1） ;4,(,)|02,DIxyxyy（2） ;2sind|0x（3） .2(9),(,)|4DIxyDy解：（1）因为当 时，有 , (,x2y因而 .04xy从而 22故 dd2DDxy即 4而 （ 为区域 D 的面积） ，由 =4D得 .8d82xy(2) 因为 ，从而20sin1,0sin12xy故 dsidDD即 20inxy而 所以 22sidDxy（3）因为当 时， 所以(,)204xy22949)95xyxy故 2d(4)d2DD208即 29(49)d25Dxy而 所以 236()10Dxy3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1） 2
3、22()d,(,)|;Daxyxya（2） |.解：（1） 在几何上表示以 D 为底，以 z 轴2(),Dxy为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以 231()dDxya（2） 在几何上表示以原点（0，0，0）为圆2心，以 a 为半径的上半球的体积，故 223d.Daxya4. 设 f(x，y)为连续函数，求.2200201lim(,)d(,)|(Drfxyxyr解：因为 f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，使得(,),2d(,)(,)Dfxyfrf又由于 D 是以（x 0，y 0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当时，0r(,)(,)于是： 0220 0(,),)11lim
4、,dlim(,)lim(,)Dr r rxyfxyffxy5. 画出积分区域，把 化为累次积分：Df(1) ;(,)|1,xyyx209(2) 2(,)|,Dxyxy(3) |解：（1）区域 D 如图 10-3 所示，D 亦可表示为.,01yxy所以 ()d(,)dyDffx(2) 区域 D 如图 10-4 所示，直线 y=x-2 与抛物线 x=y2 的交点为（1，-1） ， （4，2） ，区域 D 可表示为 .2,1yxy图 10-3 图10-4所以 21(,)d(,)dyDfxyfx（3）区域 D 如图 10-5 所示，直线 y=2x 与曲线 的交点2yx(1，2)，与 x=2 的交点为(
5、2 ，4),曲线 与 x=2 的交点为2（2，1） ，区域 D 可表示为 2,1.yx210图 10-5所以 .21(,)d(,)dxDfxyfy6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序：(1) ; (2) ;20d(,)yfx eln10d(,)xfy(3) ; (4) ;13dy sin2dx(5) .23010(,)(,)dyfxfx解：（1）相应二重保健的积分区域为 D：如图 10-6 所示.2,.yxy图 10-6D 亦可表示为： 04,.2xy所以 2002d(,)d(,).yxfxf(2) 相应二重积分的积分区域 D： 如图 10-1e,0ln.xyx7 所示.图 10-7D
6、亦可表示为： 01,e,yx所以 eln10ed(,)d()yxfyf211(3) 相应二重积分的积分区域 D 为： 如01,32,yxy图 10-8 所示.图 10-8D 亦可看成 D1 与 D2 的和，其中D1： 0,xyxD2： 3(3).2所以 .2 11213()200 0d(,)d(,)d,dyx xfxfyfy (4) 相应二重积分的积分区域 D 为：如图 10-9 所示.,sinsi.2xxy图 10-9D 亦可看成由 D1 与 D2 两部分之和，其中D1： 0,arcsin;yyxD2： arcsi.y所以 sin01arcsin012arcsin02d(,)d(,)d(,)
7、dx yyfyfxfx(5) 相应二重积分的积分区域 D 由 D1 与 D2 两部分组成，其212中D1： D2：0,2,yxy13,0.yxy如图 10-10 所示.图 10-10D 亦可表示为： 02,3;xy所以 123230100d,d(,)d(,)dy xfxffy7.解：因为 为一常数，不妨设(,)Df(,)DfC则有 (,)xyfC从而有 (,)()xyDfuvd而 2,01.Dx2(,)()uxyfvCdu2100c1520xyud1630c3xyC18C213故 (,)18xyf8. 计算下列二重积分：(1) 2 1d,:2,;Dxyxyx(2) D 由抛物线 y2 = x,
8、直线 x=0 与 y=1 所围；e,xy(3) D 是以 O(0,0)，A(1，-1)，B(1 ，1)为顶点2d,的三角形;(4) .cos(),(,)|0,Dxyxyxy解：（1） 22223111dddxxx2419.(2) 积分区域 D 如图 10-12 所示.图 10-12D 可表示为： 201,.yxy所示 22100ededed()x xy211110000()edyxyy11112000 0dee.yyy(3) 积分区域 D 如图 10-13 所示.214图 10-13D 可表示为： 01,.xyx所以 212 2 200ddarcsindxx yxy yx 112300.6 0
9、 00(4)cos()dcos()dsin()dini2si2)1.cs xDxxyyyx9. 计算下列二次积分：1012124sin()d;ede.yyyxx解：（1）因为 求不出来，故应改变积分次序。sin积分区域 D：0y1, yx ，如图 10-14 所示。y图 10-14215D 也可表示为：0x1,x 2y x.所以 21112000101100sinsinsidd()d(ii)dinsisncon.syxxxyxxx(2)因为 求不出来，故应改变积分次序。积分区域 D 分edyx为两部分，其中 1 21:,:,.42DyxyDyxy 如图 10-15 所示：图 10-15积分区域 D 亦可表示为：21,.xyx 于是： 2211112241 112 22dededed3() 8xyyyyxxxxx10. 在极坐标系下计算二重积分：(1) 2 22sind, ;(,)|4DxyDxyy
