1、#*辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 对于常数 ， “ ”是“方程 的曲线是双曲线“的” （ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】方程 即为 ，故该方程表示双曲线等价于 同号，即 所以“ ”是“方程 的曲线是双曲线”的充分必要条件选 C2. 若 ，则下列不等式中错误的是（ ）A. B. C. D.
2、 【答案】A【解析】由不等式的性质可得选项 B,C,D 正确对于选项 A，由于 ，所以，故 因此 A 不正确选 A3. 下列函数中，最小值为 4 的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】选项 A 中， ，由于 不一定为正，故最小值为 4 不成立选项 B 中，由于 ，故 ，当且仅当 ，即 时等号成立故 B 正确选项 C 中， ，但等号成立时需满足 ，不合题意，故 C 不正确#*选项 D 中， 不一定为正数，故 D 不正确综上选项 B 正确选 B4. 已知实数 满足 ，则目标函数 的最小值是（ ）A. B. 15 C. 0 D. 【答案】A【解析】作出可行域如图：当直线 向上移动，过点
3、 A 时， 有最小值，由 解得 ，所以 ，故选 A.5. 下列命题中，说法错误的是（ ）A. “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”B. “ 是真命题”是“ 是真命题”的充分不必要条件C. “ ”的否定是“ ”D. “若 ，则 是偶函数”的逆命题是真命题【答案】C【解析】选项 A 中，由否命题的定义知，结论正确选项 B 中，由“ 是真命题”可得“ 是真命题” ，反之不成立故“ 是真命题”是“ 是真命题”的充分不必要条件所以 B 正确选项 C 中， “ ”的否定是“ ”，故 C 不正确选项 D 中，所给命题的逆命题为“若 是偶函数，则 ”为真命题故 D 正确#*选 C6. 设 ，若 是 与 的等
4、比中项，则 的最小值为（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【解析】 是 与 的等比中项， ， ， ，当且仅当 且 ，即时等号成立选 D7. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 是以 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且 ，则这个椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 是以 为直径的圆与该椭圆的一个交点，所以 ，因为，所以 。在 中，因为 ，所以 ，由椭圆定义可得 ，所以 。故选 A。 【点睛】求离心率的值或范围就是找 的值或关系。由 是以 为直径的圆与该椭圆的一个交点，得 为直角三角形。由 求出两锐角，根据斜边求两直角边，再根据椭圆定义得关于 的关系式，
5、可求离心率。8. 设 为等比数列 的前 项和， ，则 （ ）A. B. C. 2 D. 17【答案】A#*.故答案选 A。9. 在等差数列 中， 是其前 项和， ， ，则 （ ）A. 11 B. C. 10 D. 【答案】B【解析】由等差数列的知识可得，数列 为等差数列，且首项为 ，设其公差为 ，则 ， ， 选 B10. 设 分别是双曲线 的左右焦点，点 .若 ，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】C【解析】如图，由题意得点 M 在直线 上，则 是直角三角形，其中 ，#*且 ， ， ，则 ， ，整理得 ， ，解得 或 (舍去)选 C点睛：求椭圆或双曲线的离心率（或范围
6、）时，要先分析题意、理清所给的条件，并将所给的条件转化到同一个三角形内，并根据三角形的有关知识得到关于 的方程或不等式，消去 后转化为关于 的方程或不等式，再根据 得到关于离心率 的方程或不等式，求解后可得离心率或其范围11. 设 为等差数列，若 ，且它的前 项和 有最小值，那么当 取得最小正值时的值为（ ）A. 18 B. 19 C. 20 D. 21【答案】C【解析】 为等差数列, 有最小值，则 ， ，又 ，说明 ， ，则 ， ，则 为最小正值.选 C.12. 已知定义在 上的奇函数 的导函数为 ，当 时， 满足， ，则 在 上的零点个数为（ ）A. 5 B. 3 C. 1 或 3 D.
7、1【答案】D#*【解析】根据题意可构造函数 则 由题当 时， 满足， ， ， 即函数 在 时是增函数，又 当 成立，对任意 是奇函数， 时， 即 只有一个根就是 0故选 D第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 函数 的递增区间为_【答案】【解析】 ， ，由 ，解得 函数的单调递增区间为 答案： （ 也对）14. 在数列 中， ，且数列 是等比数列，则 _【答案】【解析】试题分析：由于数列 是等比数列， ，所以 ，#*所以公比是 ，所以数列 的通项公式是 ，进而 ，故答案填 .考点：1.通项公式；2.等比数列.15. 已知函数 ，若函数 在区间
8、 上是单调增函数，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】由 ，得 函数 在区间 上是单调增函数， 在 上恒成立， 在 上恒成立，即 在 上恒成立令 ，则 ， 在 上单调递减 故实数 的取值范围是 答案：16. 抛物线 的焦点为 ，已知点 为抛物线上的两个动点，且满足 ,过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，则 的最大值为 _【答案】#*【解析】连 AF、 BF，设 ，由抛物线定义得 ，过 A,B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ，则四边形 ABPQ 为梯形，MN 为中位线，则在 中，由余弦定理得，又 ， ， 故 的最大值为 答案： 点睛：圆锥曲线中的最值与范围问题常与不等式、函数等
9、知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 若数列 满足 .#*（1）求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；（2）设 ，若数列 的前 项和为 ，求证： .【答案】(1)见解析， (2)见解析.【解析】试题分析：（1）由 变形得 ，可得数列 为等比数列，通过求
10、该数列的通项公式，可得数列 的通项公式 （2）由（1）可得 ，故 ，利用裂项相消法求和即可试题解析：（1)证明： ，又 ，数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列， （2）由（1）知 ， ， .18. 已知函数 .（1）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；（2）解关于 的不等式 .【答案】(1) (2) 当 时， 的解集为 ；当 时，的解集为 ；当 时， 的解集为 ；当 时， 的解集为#*.【解析】试题分析：（1）由条件可得不等式 在 上恒成立，根据抛物线的开口方向和判别式可得所求范围 （2）原不等式化为 ，根据 的不同取值解不等式即可试题解析：（1）由 在 上恒成立，可得 在 上恒成立 ，解得 实数 的取值范围为 （2）由不等式 得当 时，不等式等价于 ，解得 ；当 时，不等式等价于 ，无解；当 时，不等式等价于 ，解得 ；当 时，不等式等价于 ，解得 或 ；综上当 时， 的解集为 ；当 时， 的解集为 ；当 时， 的解集为 ；当 时， 的解集为 .点睛： （1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集
