1、#*七年级上册应用题专题讲解列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或 方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面； 同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学 好这部分知识。一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（ 1）审 审题： 认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量 关系） （ 2）设 设出未知数： 根据提问，巧设未知数（ 3）列 列出方程： 设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的 等量关系列出方程（ 4）解 解方程： 解所列的方程，求出未知数
2、的值（ 5）答 检验，写答案： 检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际， 检验后写出答案 （注意带上单位）二、各类题型解法分析一元一次方程应用题归类汇集： 行程问题，工程问题，和差倍分问题 （生产、做工等 各类问题） ， 等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，数字问题， 方案设计与成本分析 ，古典数学，浓度问题等 。（一）和、差、倍、分问题读题分析法这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示相等关系 的关键字，例如： “大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套 , ” ， 利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后
3、利用题目中的量与量的关系 填入代数式，得到方程 .1.倍数关系： 通过关键词语“是几倍， 增加几倍， 增加到几倍， 增加百分之几， 增长率 , ” 来体现。2.多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余 , ”来体现。增长量原有量增长率 现在量原有量增长量例 1 某单位今年为灾区捐款 2 万 5 千元，比去年的 2 倍还多 1000 元，去年该单位为灾区 捐款多少元？解： 设去年该单位为灾区捐款 x 元，则2x+1000=250002x=24000 x=12000答：去年该单位为灾区捐款 12000 元 .例 2 旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的 25%， 第二次旅程中用
4、去剩余汽 油的 40%， 这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少 1 公斤， 求油箱里原有汽油多少公斤？#*解： 设油箱里原有汽油 x 公斤 ,则x-25%x+40% (1-25%)x+1=25%x+40% (1-25%)x即 10%x=1 x=10答：油箱里原有汽油 10 公斤 .（二）等积变形问题等积变形是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：原料体积 =成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式， 依据形虽变，但体积不变2圆柱体的体积公式 V= 底面积高 S h r h长方体的体积 V长 宽高 abc例 3 现有直径为 0.8 米的圆柱形钢坯 30 米，可足够锻造直径为 0.4
5、 米，长为 3 米的圆柱形机轴多少根？解： 设可足够锻造直径为 0.4 米，长为 3 米的圆柱形机轴 x 根 , 则3.14 ( 0. 4 22) 3x=3.14 ( 0.8 22) 300.12x=4.8 x=40答：可足够锻造直径为 0.4 米，长为 3 米的圆柱形机轴 40 根。（三）数字问题1.要搞清楚数的表示方法：一个三位数，一般可设百位数字为 a，十位数字是 b，个位 数字为 c（其中 a、 b、c 均为整数，且 1 a 9， 0 b 9， 0 c 9） ，则这个三位数表示 为： 100a+10b+c2.数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2n
6、表示，连续的偶数用 2n+2 或 2n-2 表示；奇数用 2n+1 或 2n1 表示。例 4 有一个三位数，个位数字为百位数字的 2 倍，十位数字比百位数字大 1，若将此数个 位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的 2 倍少 49，求原数。解： 设原数百位数为 x,则十位数为 10(x+1) ，个位数为 2x ，于是100 2x +10(x+1)+x+49=2 100x+10(x+1)+2x即 211x+59=224x+2013x=39 x=3故原数为： 1002+104+23=246答：原数为 246.例 5 一个三位数，三个数位上的数字之和是 17，百位上的数比十位上的数大 7，
7、个位上的数 是十 位上的数的 3 倍，求这个三位数 .#*分析 由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为 x，则百位上的数为 x+7，个位上的数是 3x，等量关系为三个数位上的数字和为 17。解： 设这个三位数十位上的数为 x，则百位上的数为 x+7，个位上的数是 3x ，则x+x+7+3x=17解得 x=2 x+7=9 ， 3x=6答：这个三位数是 926。（四）商品利润问题（市场经济问题或利润赢亏问题）（ 1）销售问题中常出现的量有：进价 ( 或成本 )、售价、标价（或定价） 、利润等。（ 2）利润问题常用等量关系：商品利润商品售价商品进价商品标价折扣率商品进价商品利润率
8、商品利润 100 % 商品售价 - 商品进价 100 %商品进价 商品进价（ 3） 商品销售额商品销售价商品销售量商品的销售利润（销售价成本价） 销售量（ 4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打 8 折出售，即按原 标价的 80%出售即 商品售价 = 商品标价折扣率 例 6： 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获 利15 元，这种服装每件的进价是多少？分析 探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为 x 元 ,进价 折扣率 标价 优惠价 利润x 元 8 折 （ 1+40% ） X 元 80%（ 1+40% ） X 15 元 等量关
9、系：（利润 =折扣后价格进价）折扣后价格进价 =15解： 设 这种服装每件的 进价为 x 元，则80%x （ 1+40% ） x=15 ，解得 x=125答： 这种服装每件的 进价是 125 元。例 6* ： 某商品的进价为 800 元，出售时标价为 1200 元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售， 但要保持利润率不低于 5%，则至多打几折？解： 设至多打 x 折，则根据题意有1200 x800800 100%=5%解得 x=0.7=70%答：至多打 7 折出售（五）行程问题画图分析法利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有 关图形，使图形各部分具有特定的
10、含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取#*得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量） ，填入有关的代数式是获得方程的基础 .1.行程问题中的三个基本量及其关系：路程速度时间 时间路程速度 速度路程时间2.行程问题基本类型（ 1）相遇问题： 快行距慢行距原距（ 2）追及问题： 快行距慢行距原距（ 3）航行问题： 顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度 水流速度 =( 顺水速度 -逆水速度）2（ 4）环路问题 甲乙同时同地背向而行：甲路程乙路程 =环路一周的距离 甲乙同时同地同向而行： 快者的路程慢者的路程 =环路一
11、周的距离抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系即顺水 逆水问题常用等量关系： 顺水路程 =逆水路程常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。例 7： 甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙 站开出，每小时行 140 公里。（ 1）慢车先开出 1 小时， 快车再开。 两车相向而行。 问快车开出多少小时后两车相遇 ?（ 2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？（ 3） 两车同时开出， 慢车在快车后面同向而行， 多少小时后快车与慢车相距 600 公里？（ 4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少
12、小时后快车追上慢车？（ 5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢 车？ ( 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。 )解析：（ 1）分析 ：相遇问题，画图表示为：等量关系是：慢车走的路程 +快车走的路程 =480 公里。 甲 乙解： 设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得， 140x+90(x+1)=480 解这个方程， 230x=39016x 1 ,23答：快车开出 161 小时两车相遇23 600（ 2）分析 ：相背而行，画图表示为：等量关系是：两车所走的路程和 +480 公里 =600 公里。 甲 乙解： 设 x 小时后两车相
13、距 600 公里，由题意得， (140+90)x+480=600 解这个方程， 230x=120 x= 1223答： 12 小时后两车相距 600 公里。23（ 3）分析： 等量关系为：快车所走路程慢车所走路程 +480 公里 =600 公里。解： 设 x 小时后两车相距 600 公里， 由题意得， (140 90)x+480=600 50x=120 x=2.4#*答： 2.4 小时后两车相距 600 公里。（ 4）分析： 追及问题，画图表示为：等量关系为：快车的路程 = 慢车走的路程 +480 公里。 甲 乙解： 设 x 小时后快车追上慢车。由题意得， 140x=90x+480 解这个方程，
14、 50x=480 x=9.6答： 9.6 小时后快车追上慢车。（ 5） 分析： 追及问题，等量关系为：快车的路程 = 慢车走的路程 +480 公里。解： 设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得， 140x=90(x+1)+480 50x=570 x=11.4答：快车开出 11.4 小时后追上慢车。例 8： 一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要 4 小时，逆水航行需要 5 小时，水流的速度 为 2 千米 /时，求甲、乙两码头之间的距离。解： 设甲、乙两码头之间的距离为 x 千米，则x x 44 5x=80答： 甲、乙两码头之间的距离为 80 千米 .（六）工程问题1工程问题中的三个量及其
15、关系为：工作总量工作效率工作时间工作效率 工作总量工作时间 工作时间 工作总量工作效率2经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。即 完成某项任务的各工作量的和总工作量 1工程问题常用等量关系： 先做的 + 后做的 =完成量 例 9： 将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需 6 小时，乙独做需 4 小时，甲 先做 30 分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？解： 设甲、乙一起做还需 x 小时才能完成工作根据题意，得 1 1 +（ 1 + 1 ） x=16 2 6 4解这个方程，得 x= 11511 =2 小时 12 分5答：甲、乙一起做还需 2 小
16、时 12 分才能完成工作例 10： 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管 6 小时可注满水池； 单独开乙管 8 小时可注满水池，单独开丙管 9 小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时 开放 2 小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？分析 等量关系为：甲注水量 + 乙注水量 -丙排水量 =1。 解： 设打开丙管后 x 小时可注满水池， 则由题意得， ( 161) ( x 2)8x 30 41 解这个方程得 x 29 13 13#*答：打开丙管后 42 小时可注满水池。13例 11： 一项工程甲单独做需要 10 天，乙需要 12 天，丙单独做需要 15 天，甲、丙先做
17、 3 天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？ 解： 设还需 x 天，则1 110 151 13 x 112 151 1 1或 3 x (3 x ) 110 12 1510解得 x3答：还需 10 天完成。3（七）储蓄问题1 顾客存入银行的钱叫做本金， 银行付给顾客的酬金叫利息， 本金和利息合称本息和， 存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率 .2储蓄问题中的量及其关系为：利息本金利率期数 本息和本金 + 利息利息利率 100 %本金利息税 =利息税率（20% ）例 12： 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元，求银行半年期的年利
18、率是多少？（不计利息税）分析 等量关系：本息和 = 本金（ 1+利率）解： 设半年期的实际利率为 X，依题意得方程 250（ 1+X ） =252.7， 解得 X=0.0108所以年利率为 0.0108 2=0.0216答：银行的年利率是 21.6%（八）配套问题：这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。例 13： 某车间有 28 名工人生产螺栓和螺母， 每人每小时平均能生产螺栓 12 个或螺母 18 个， 应如何分配生产螺栓和螺母的工人， 才能使螺栓和螺母正好配套 （一个螺栓配两个螺母） ？ 解： 设生产螺栓的人有 x 名，则生产螺母的有 28-x 名工人，于是212x=18（ 28-
19、x） 即 42x=504x=1228-x=16答： 应分配 12 名工人生产螺栓， 16 名工人生产螺母。例 14： 机械厂加工车间有 85 名工人，平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个，已知2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天 加工的大小齿轮刚好配套？解： 设分配 x 名工人加工大齿轮，则加工小齿轮的有 85-x 名工人，于是16x2=10(85-x) 3#*34x=850 x=2585-x=60答： 应分配 25 名工人加工大齿轮， 60 名工人加工小齿轮。（九）劳力调配问题这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：（ 1）既有调
20、入又有调出；（ 2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（ 3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。例 15 某厂一车间有 64 人，二车间有 56 人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车 间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？解： 设需从第一车间调 x 人到第二车间 ,则2（ 64-x） =56+x即 3x=72则 x=24答： 需从第一车间调 24 人到第二车间 .例 16学校分配学生住宿，如果每室住 8 人，还少 12 个床位，如果每室住 9 人，则空出两 个房间。求房间的个数和学生的人数。解： 设房间数为 x 个，则有学生 8x+12 人，于是8x+12=9(
21、x-2)解得 x=30 则8x+12=252 答：房间数为 30 个，学生 252 人。（十）比例分配问题比例分配问题的一般思路为：设其中一份为 x ，利用已知的比，写出相应的代数式。 常用等量关系： 各部分之和 = 总量 。例 17： 甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为 4： 3；乙、丙之比为 6： 5， 又知甲与丙的和比乙的 2 倍多 12 件，求每个人每天生产多少件？解： 设甲每天生产 x 件，则乙每天生产 3 x 件，丙每天生产45 x 件，于是85 3x+ x-12=2 x8 4解得 x=963则 x=72 ,45 x=608答：甲每天生产 96 件，则乙每天生产 72
22、 件，丙每天生产 60 件 .#*（十一）年龄问题例 19：兄弟二人今年分别为 15 岁和 9 岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的 2 倍？ 解： 设 x 年后，兄的年龄是弟的年龄的 2 倍，则 x 年后兄的年龄是 15+x，弟的年龄是 9+x 由题意，得 2（ 9+x） =15+x18+2x=15+x2x-x=15-18 x= -3答： 3 年前兄的年龄是弟的年龄的 2 倍（点拨： -3 年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的 3 年，是与 3?年后具有相反意 义的量）例 20： 三位同学甲乙丙，甲比乙大 1 岁，乙比丙大 2 岁，三人的年龄之和是 41，求乙同学 的年龄。解：设 乙
23、同学的年龄为 x 岁，则甲的年龄为（ x+1）岁，丙同学的年龄为（ x-2 ）岁，于是x+ （ x+1） +（ x-2 ） = 41即 3x=42 x=14答： 乙同学的年龄为 14 岁，甲同学的年龄为 15 岁，丙同学的年龄为 12 岁 .（十二）比赛积分问题例 21：某企业对应聘人员进行英语考试，试题由 50 道选择题组成，评分标准规定：每道题 的答案选对得 3 分，不选得 0 分，选错倒扣 1 分。已知某人有 5 道题未作，得了 103 分， 则这个人选错了 8 道题。解： 设这个人选对了 x 道题目，则选错了 45-x 道题，于是3x- （ 45-x） =1034x=148 解得 x=
24、37 则 45-x=8答： 这个人选错了 8 道题 .例 22： 某学校七年级 8 个班进行足球友谊赛，采用胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场 得 0 分的记分制。某班与其他 7 个队各赛 1 场后，以不败的战绩积 17 分，那么该班共胜了 几场比赛？解： 设该班共胜了 x 场比赛，则3x+（ 7-x） =17解得 x=5答： 该班共胜了 5 场比赛 .（十三）方案选择问题例 23：某家电商场计划用 9 万元从生产厂家购进 50 台电视机已知该厂家生产 3?种不同#*型号的电视机，出厂价分别为 A 种每台 1500 元， B 种每台 2100 元， C 种每台 2500 元（ 1）若家
25、电商场同时购进两种不同型号的电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一 下商场的进货方案（ 2）若商场销售一台 A 种电视机可获利 150 元，销售一台 B 种电视机可获利 200 元， 销售一台 C 种电视机可获利 250 元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销 售时获利最多，你选择哪种方案？解： 按购 A， B 两种， B， C 两种， A ， C 两种电视机这三种方案分别计算， 设购 A 种电视机 x 台，则 B 种电视机 y 台（ 1） 当选购 A ， B 两种电视机时， B 种电视机购（ 50-x ）台，可得方程1500x+2100（ 50-x ） =90000即 5
26、x+7（ 50-x ） =3002x=50 x=2550-x=25当选购 A ， C 两种电视机时， C 种电视机购（ 50-x）台， 可得方程 1500x+2500（ 50-x） =900003x+5 （ 50-x） =1800 x=3550-x=15当购 B， C 两种电视机时， C 种电视机为（ 50-y）台 可得方程 2100y+2500（ 50-y） =9000021y+25（ 50-y） =900， 4y=350，不合题意由此可选择两种方案：一是购 A， B 两种电视机 25 台；二是购 A 种电视机 35 台， C种电视机 15 台（ 2）若选择（ 1）中的方案，可获利15025
27、+25015=8750（元） 若选择（ 1）中的方案，可获利15035+25015=9000（元）90008750故为了获利最多，选择第二种方案（十四）古典数学问题例 24： 100 个和尚 100 个馍，大和尚每人吃两个，小和尚两人吃一个，问有多少大和尚？ 多少小和尚？解： 设有大和尚 x 人，小和尚 100-x 人，则2x+ 100 x =1002解得 x= 100 333#*答： 约有大和尚 33 人，小和尚 67 人。例 25：有若干只鸡和兔子，他们共有 88 个头， 244 只脚，鸡和兔各有多少只？ 解： 设有鸡 x 只，兔 88-x 只，则2x+4(88-x)=244 x=54则
28、88-x=34答： 有鸡 54 只，兔 34 只 .（十五）增长率问题例 26：民航规定：乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带 20 千克行李，超过部分每千克 按飞机票价的 1.5购买行李票。一名旅客带了 35 千克行李乘机，机票连同行李费共付了1323 元，求该旅客的机票票价。解： 设该旅客的机票票价为 x 元，则x+151.5%x=13231.015x=1323 x=1303答： 该旅客的机票票价为 1303 元 .（十六）浓度问题常用等量关系式： 溶 质 的 质 量 浓 度 .溶 液 的 质 量例 27：有含盐 20%的盐水 5 千克，要配制成含盐 8%的盐水，需加水 7.5 千克。某化
29、工厂现有浓度为 15%的稀硫酸 175 千克，要把它配成浓度为 25%的硫酸，需要加入浓 度为 50的硫酸多少千克？解： (1)设需加水 x 千克，则5 20% 8%5 x解得 x=7.5(2) 设需要加入浓度为 50的硫酸 y 千克 , 则175 15 %17550 % yy25 % 解得 y=70故需要加入浓度为 50的硫酸 70 千克。例 28：有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银 25%，乙种合金含银 37.5%，现在要熔 制含银 30%的合金 100 千克，两种合金应各取多少？解： 设取甲种合金 x 千克，则需取乙种合金 100-x 千克，于是25 % x 37 .5%( 100 x)10030 % 解得 x=60则 100-x=40答：应取甲种合金 60 千克，则需取乙种合金 40 千克 .
