1、第三章 量子力学初步,内容： 1、微观粒子的波粒二象性 2 、不确定关系 3、波函数及其物理意义 4、薛定谔波动方程 5、 量子力学问题的几个简例 6、量子力学对氢原子的描述,1900年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化,1905年，爱因斯坦，光电效应，光量子,1913年，玻尔，氢原子光谱，量子态,薛定谔 (Erwin Schrdinger, 18871961),薛定谔在德布罗意思想的基础上，于1926年在量子化就是本征值问题的论文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为基础的波动力学和量子力学的近似方法。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学
2、中的牛顿运动定律的价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。 薛定谔还是现代分子生物学的奠基人，1944年，他发表一本名为什么是生命 活细胞的物理面貌的书，从能量、遗传和信息方面来探讨生命的奥秘。,奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。,狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）,英国理论物理学家。1925年，他作为一名研究生便提出了非对易代数理论，而成为量子力学的创立者之一。第二年提出全同粒子的费米-狄拉克统计
3、方法。1928年提出了电子的相对论性运动方程，奠定了相对论性量子力学的基础，并由此预言了正负电子偶的湮没与产生，导致承认反物质的存在，使人们对物质世界的认识更加深入。他还有许多创见（如磁单极子等）都是当代物理学中的基本问题。由于他对量子力学所作的贡献，他与薛定谔共同获得1933年诺贝尔物理学奖金。,德布罗意 (Louis Victor due de Broglie, 1892-1960),德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理学。他善于用历史的观点，用对比的方法分析问题。 1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。1924年，在博士论文关于量子理论的研究中提出德布罗意波,同时提出用电子
4、在晶体上作衍射实验的想法。 爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一角”。,法国物理学家，1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。,3.1 微观粒子的波粒二象性,一、光的波粒二象性 1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说 19世纪末，光是一种电磁波 20世纪初，光量子,-光的波粒二象性,1.德布罗意物质波思想起源,（1）X射线的研究:,布拉格认为X射线是粒子,劳厄提出X射线是波长极短的电磁波,X射线时而像波，时而像粒子的奇特性质引起了许多人的关注，德布罗意认为：波和粒子必定总是结合在一起。,（2）接受相对论和光量
5、子学说,特别是1923年4月compton效应发现以后,使他对光子概念的认识更加深入、清晰。,二、物质波概念的提出,1923年9月24日，第二篇论文光量子、衍射和干涉,1923年10月8日第三篇论文量子、气体运动理论及费马原理,1924年完成了博士论文量子理论的研究，11月25日通过答辩，1925年发表在物理杂志上，该论文对他一年来的工作提出了系统的有逻辑性的报告，完整地阐述了他的物质波理论及应用,1923年9月10日，发表第一篇关于物质波的论文辐射波和量子提出了实物粒子也具有波粒二象性,2.物质波概念的提出,物质波思想的影响：1、具有独创性和非凡的技巧；2、提出用晶体对电子的衍射来验证；3、
6、得到了爱因斯坦的高度评价；4、量子力学是物质波思想的直接影响下的一个丰硕成果.,三、德布罗意假设,一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E和动量P所描述的粒子性，也具有以频率n和波长l所描述的波动性。,这种波称为德布罗意波，也叫物质波。,德布罗意公式,如速度v=5.0102m/s飞行的子弹，质量为m=10-2Kg，对应的德布罗意波长为：,如电子m=9.110-31Kg，速度v=5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为：,太小测不到！,X射线波段,例题1：从德布罗意波导出氢原子波尔理论中的角动量量子化条件。德布罗意把原子定态与驻波联系起来，即把能量量子化与有限空间驻波的波长和频率
7、联系起来。如电子绕原子一周，驻波应衔接，所以圆周长应等于波长的整数倍。,再根据德布罗意关系,得出角动量量子化条件,德布罗意关系式 微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波 动性。具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当于具有一定频率和一定波长的平面波，二者之间的关系为：,-德布罗意关系式。,与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称为德布罗意波长。,德布罗意关系式还可以写成,式中， ：角频率； ：传播方向上的单位矢量,适用条件：(1)电子，(2)非相对论(U不能太大)。,：波矢量,粒子的德布罗意波长：,1当 时，,2当 时，,经过电场加速的电子：,四、德布罗意假设的实验验证 1. 192
8、7年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了电子波的波长，证实了德布罗意假设。,（1）实验装置,（2）实验结果,(1)当U不变时，I与的关系如图不同的，I不同；在有的上将出现极值。,(2)当不变时，I与U的关系如图当U改变时，I亦变；而且随了U周期性的变化,（3）实验解释,晶体结构：,当 时加强-布拉格公式。,波程差：,实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗意公式的正确性。并进一步证明：一切实物粒子(电子、中子、质子等都具有波动性。,可见，当、满足此式时，测得电流的极大值。 对于通过电压U加速的电子：,当U不变时，改变，可使某一满足上式，出现极大值,当不变时，改变U，可使某一U满足上式，出现
9、极大值。,观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie-1993,2.汤姆逊实验,1927年，汤姆逊在实验中，让电子束通过薄金属箔后射到照相底线上，结果发现，与X射线通过金箔时一样，也产生了清晰的电子衍射图样。,1993年，Crommie等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子围栏，用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波(“量子围栏”)，直观地证实了电子的波动性。,3.电子通过狭缝的衍射实验：1961年，约恩孙 (Jonsson)制成长为50um，宽为0.3um ，缝间距为1.0um的多缝。用50V的加速电
10、压加速电子，使电子束分别通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。,中子衍射,射线衍射,X,X射线经晶体的衍射图,电子射线经晶体的衍射图,由于电子波长比可见光波长小10-310-5数量级，从而可大大提高电子显微镜的分辨率。1932年，德国的鲁斯卡研制成功电子显微镜。我国已制成80万倍的电子显微镜，分辨率为14.4nm.n， 能分辨大个分子有着广泛的应用前景。,五、应用举例,1、电子显微镜,2、扫描隧道显微镜,1981年，德国的宾尼希和瑞士的罗雷尔制成了扫描隧道显微镜，他们两人因此与鲁斯卡共获1986年的诺贝尔物理学奖金。其横向分辨率可得0.1nm，纵向分辨率可得0.001nm ，它在纳米材料、生命科学
11、和微电子学中起着不可估量的作用。,六、德布罗意波的统计解释,1、光的衍射,根据光的波动性，光是一种电磁波，在衍射图样中，亮处波的强度大，暗处波的强度小。而波的强度与振幅的平方成正比，所以衍射图样中，亮处的波的振幅的平方大，暗处的波的振幅平方小。根据光的粒子性：某处光的强度大，表示单位时间内到达该处的光子数多；某处光的强度小，表示单位时间内到达该处的光子数少。从统计的观点来看：相当于光子到达亮处的概率要远大于光子到达暗处的概率。因此可以说，粒子在某处附近出现的概率是与该处波的强度成正比的，而波的强度与波的振幅的平方成正比，所以也可以说，粒子在某处附近出现的概率是与该处的波的振幅的平方成正比的。,
12、2德布罗意波统计解释,从粒子的观点看，衍射图样的出现，是由于电子不均匀地射向照相底片各处形成的，有些地方电子密集，有些地方电子稀疏，表示电子射到各处的概率是不同的，电子密集的地方概率大，电子稀疏的地方概率小。从波动的观点来看，电子密集的地方表示波的强度大，电子稀疏的地方表示波的强度小，所以，某处附近电子出现的概率就反映了在该处德布罗意波的强度。对电子是如此，对其它粒子也是如此。普遍地说，在某处德布罗意波的振幅平方是与粒子在该处出现的概率成正比的。这就是德布罗意波的统计解释。,3德布罗意波与经典波的不同,机械波机械振动在空间的传播德布罗意波是对微观粒子运动的统计描述，它的振幅的平方表示粒子出现的
13、概率，故是概率波。,* 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义,(1)人射强电子流,干涉花样取决于概率分布，而概率分布是确定的。,电子yangshi双缝实验,(2)入射弱电子流,电子干涉不是电子之间相互作用引起的，是电子自己和自己干涉的结果。,例1. 计算下列运动物质的德布罗意波长,(1) 质量100g, v = 10ms1运动的小球。,(2) 以 2.0 103ms 1速度运动的质子。,(3) 动能为 1.6 1017 J 的电子,练习题:1.在B=1.2510-2T的匀强磁场中沿半径为R=1.66cm的圆轨道运动的粒子的德布罗意波长=.,2.运动速率等于300K时方均根速率的德布罗意波长是.氢
14、原子质量m=1.6710-27kg,玻尔兹曼常数k=1.3810-23JK-1,3.已知第一玻尔轨道的半径为a,当氢原子中电子沿第n玻尔轨道运动时,其相应的德布罗意波长是.,4.能量为15ev的光子,被处于基态的氢原子吸收,使氢原子电离发射一个光电子,此光电子的德布罗意波长为.,海森伯（W. K. Heisenberg，1901-1976）,德国理论物理学家。他于1925年为量子力学的创立作出了最早的贡献，而于25岁时提出的不确定关系则与物质波的概率解释一起奠定了量子力学的基础。为此，他于1932年获得诺贝尔物理学奖金。,不确定关系,一、不确定关系及其物理意义,1927年，海森堡首先推导出不确
15、定关系：,3.2 不确定关系,x表示粒子在x方向上的位置的不确定范围，px表示在x方向上动量的不确定范围，其乘积不得小于一个常数。,若一个粒子的能量状态是完全确定的，即E=0 ，则粒子停留在该态的时间为无限长， t= 。,二、实验验证,电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出),电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为 ，经过狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置：,x方向上，粒子坐标的不确定度为x,又,粒子动量的不确定度为,狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子的坐标，又能避免动量发
16、生变化。,如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有确定的值。,三、不确定关系的应用举例例1：不确定关系只适用于微观粒子,设电子与 的子弹均沿x方向运动， ，精确度为 ，求测定x坐标所能达到的最大准确度。,电子：子弹：,不确定关系对宏观物体引起的动量不确定性小得完全可以被忽略，它无法被目前任何精确的实验方法所觉察。,例2、束缚粒子的最小平均动能,设粒子被束缚在的r=x范围内，则有,px的定义,对于束缚在某一空间的粒子，其运动方向应均分，,不考虑相对论效应，则粒子的最小平均动能,由此可见，Ek不能为0。假如Ek=0，x=r,粒子怎能被束缚住 。
17、该结论与束缚形式无关。,例3、电子不能落入核内（原子不能塌陷）,Bohr的原子理论不能解释：作加速运动的电子，为什么不辐射能量而落入核内，不确定关系对此作了回答。随着电子离核越来越近，r越来越小。它从原子线度（10-10m)过渡到原子核线度 (10-15m)，由不确定关系知，电子的动量越来越不确定。由 知，电子的平均动能越来越大， 从 ，平均动能从约 ，电子从哪里能得到这样多的能量？没有任何这样的能量来源。,（对库仑势能 ，r=0.1nm 时， r=1fm 时， ，减少的势能无法满足动能的增加。）因此，电子不能靠近原子核，更不要说落入核内了。原子核内只能有质子和中子，而不能有电子。,例4、谱线
18、的自然宽度,在光谱线系中，如果某谱线对应的两能级都有确定的值，那么在它们之间跃迁就会发出波长一定 (=0)的谱线。但是，电子要从某一个能级向下跃迁，电子在这条能级上必有一定寿命 t，即t不能无限长。由 知，谱线不可能是几何线，而有一个与对应的宽度，即谱线的自然宽度。,实验证实了谱线自然宽度的存在。,设 ，则,就是与该激发态相应的谱线的自然宽度，它是由能级的自然寿命决定的 。,原子中某激发态的平均寿命为,普朗克能量子假说,不确定关系,谱线的自然宽度,它能解释谱线的自然宽度。,设光子波长300nm，若测长精度/=10-6，求光子位置的不确定量。,解:,例5.波列的长度,四、互补原理（Niels B
19、ohr. 1927.9）(并协原理）,德布罗意波和Heisenberg 不确定关系，从数学上表达了波粒二象性，Bohr的互补原理从哲学的角度概括了波粒二象性，互补原理和不确定关系是哥本哈根解释的两大支柱。,玻尔的互补原理首先来自于对波粒二象性的看法。Bohr认为，既然光和粒子都具有波粒二象性，而波动性和粒子性又决不会在同一测量中同时出现，那么，波和粒子这两种（经典的）概念在描述微观现象时就是互斥的；另一方面既然波和粒子这两种形象不能同时存在，它们就不会在同一实验中直接冲突。但这两种概念在描述微观现象、解释实验时又都是不可缺少的，企图扔掉哪一个都不行，在这种意义上它们就是“互补的”或“并协的”。
20、,对互补原理比较概括的叙述是：一些经典概念的应用不可避免地将排除另一些经典概念的应用，而这“另一些概念”在另一些条件下又是描述现象所不可缺少的；必须而且只需将所有这些既互斥、又互补的概念汇集在一起，才能而且定能形成现象的祥尽无遗的描述。 玻尔为了阐明他提出的互补原理，经常举一些简单易懂的例子：银币有正、反两面，在任何一刻我们只能看到其中一面，不能同时看到两个面，而只有当银币的正、反两面都被看到后，才能说我们对这个银币有了较完整的认识。玻尔互补原理所含的某种思想，我国古代哲学家公孙龙在2000多年前就曾经提出过。他在离坚白命题中作了如下叙述：“视不得其所坚，而得其所白者，无坚也。抚不得其所白，而
21、得其所坚者，无白也”。,不论是不确定关系，还是互补原理，必然导致“微观理论是统计性的”观念，它与经典物理的“决定性”观念截然不同。,3.3 波函数及其物理意义,一、波函数 概率密度,1、平面简谐波的波函数,一个频率为n ，波长为l 、沿x方向传播的单色平面波的波函数为,复数形式,2、自由粒子的波函数,一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率和波长：,波函数可以写成,3、波函数的统计解释,某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比。,概率密度,波函数(x,y,z,t)的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体
22、积内发现粒子的概率，即| 2 代表概率密度。,波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。,* 玻恩对波函数的统计诠释,哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点,玻恩假定,描述粒子在空间的概率分布的“概率振幅”,概率密度,例1：光子自由平面波波函数,在空间各点发现光子的概率相同,用波方程来描写实物粒子，根据德布罗意关系：,自由粒子的波函数，描写动量为 、能量为E的自由粒子。,经典力学 位置和速度 量子力学 波函数波函数体现了波粒二象性，其中的E和 是描写粒子性的物理量，却处在一个描写波的函数中。,二
23、、波函数的统计解释,电子衍射的强度分布图,用粒子的观点，极大值处意味着到达的电子多，极小值处意味着到达的电子少。,从波的观点来看，极大值处表示波的强度大，极小值处表示波的强度小。,玻恩的观点就能将粒子和波的概念统一起来。波函数代表发现粒子的几率,干涉图像的出现体现了微观粒子的共同特性，而且它并不是由微观粒子相互作用产生的而是个别微观粒子属性的集体贡献,表示t时刻、（x、y、z）处、单位体积内发现粒子的几率。,即波的强度表示t时刻、（x、y、z）处发现电子的几率密度。如果 大，则电子出现几率大，因而电子出现的目也多，此处为衍射极大值处；反之，如果 小，则电子出现几率小，电子出现的数目也少，此处为
24、衍射极小值处。,t时刻、xx+dx、yy+dy、zz+dz、的体元 内发现粒子的几率：,表示t时刻、（x、y、z）处发现粒子的几率密度。,1.波恩的波函数几率解释是量子力学基本原理之一,2.经典波振幅是可测量，而波函数是不可测量，可测是几率,3.单缝、双缝干涉实验在1961年前是假想实验,讨 论,2归一化条件由于粒子总在空间某处出现，故在整个空 间出现的总几率应当为1：,三、波函数的标准条件及归一化,1波函数必须单值、有限、连续。 单值：在任何一点，几率只能有一个值。 有限：几率不能无限大。 连续：几率一般不发生突变。,STM 观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crom
25、mie-1993,对x、y、z分别求二次偏导：,3.4 薛定谔波动方程,一、薛定谔方程的建立,1自由粒子的薛定谔方程,对t求一次偏导：,自由粒子的薛定谔方程。,三者相加：,拉普拉斯算符：,自由粒子:,则有： 处在以势能表征的力场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程,2一般粒子的薛定谔方程,一般粒子常受到力场的约束，用 表示力场，则粒子在力场中受到的力为： ，假设处于这种力场中的微观粒子的波函数为 ，假设 仍满足方程： 但此时,E为一常数,二、定态薛定谔方程能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的力场不随时间改变，即势能 中不显含时间t，将其代入方程：,波函数分离变量：,解出：
26、,定态波函数,1定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量,2定态中粒子的几率密度不随时间变化,3 定态薛定谔方程,如果 、 是方程的解，那么它们的的线性组合 也是方程的解， 为 任意常数。即如果 、 是体系可能的状态，那么它们的的线性组合 也是体系一个可能的状态,4态迭加原理,3具体的势场 决定粒子状态变化的情况，如果给出势能函数 的具体形式，只要我们知道了微观粒,三、薛定谔方程的讨论,1薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态 在势场 中随时间变化 的规律。,2薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基本的假设中推导出来。它的正确性只有通过与实验结果相一致来得到证明。,子初始时刻的状态 。原则上说
27、，只要通过薛定谔方程，就可以求出任意时刻的状态 。,5在薛定谔方程的建立中，应用了 ，所,4薛定谔方程中有虚数单位i，所以 一般是复数形式。 表示概率波， 是表示粒子在时刻t、在空间某处出现的概率。因而薛定谔方程所描述的状态随时间变化的规律，是一种统计规律。,以是非相对论的结果；同时方程不适合一切 m=0 的粒子，这是方程的局限性。,例1：一个粒子在如图所示的势场中运动，它的势能为 这种势场称为一维无限深势阱。在一维无限深势阱中粒子如何运动？它的波函数如何？能量如何？,解：由于粒子做一维运动，所以有,方程的解为定态解,因此一维定态薛定谔方程为,1方程的通解,令,2常数的确定及能量量子化,波函数
28、的归一化：, 能量是量子化的,3讨论,(1)能量不能任意取值，束缚在一维无限深势阱中的粒子的能量是量子的。这是由薛定谔方程加上标准条件自然地导出的，不用再做量子化的假定。,(2)波函数的物理意义处在不同能级的粒子，在势阱中的几率分布不同。,(3)实际意义：金属内的自由电子，可看成在势阱中运动的粒子。,令,方程的解为：,根据波函数的连续条件和归一化条件可以确定常数，结果如图：,可见，虽然， 粒子仍可以穿过II区进入III区，这种贯穿势垒的效应称为隧道效应。粒子从I区到III区的几率为,扫描隧道显微镜(Scanning Tunneling MicroscopySTM),STM原理 . 0.1nm,
29、 0.01nm,1986年，宾尼博士和罗雷尔与发明电子显微镜的鲁斯卡获诺贝尔物理学奖。,3.5 氢原子的量子力学处理,一、氢原子的薛定谔方程,电子在原子核的库仑场中运动：,定态薛定谔方程：,氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：,氢原子在球坐标下的定态薛定谔方程：,二、分离变量,1,代入方程，并用 乘以两边：,是一个与 无关的常数。,径向方程：,角方程：,2,代入方程，并用 乘以两边：,是一个与 无关的常数。,三、 三方程的解,1 方程的解,方程的解为：,波函数单值：,波函数归一化：,2 方程的解,关联勒让德方程。求解过程中发现，为了得到符合波函数标准条件的解，必须对 和 加以限制：,方程
30、的解为关联勒让德多项式：,3 方程的解,关联拉盖尔方程，方程的解为关联拉盖尔多项式,玻尔半径,只要给出了 、 的一对具体的数值，就可以得到一个満足标准条件的解。,四、H原子的波函数,对应一组量子数 ，就能给出 波函数的一个具体形式，因此 确定了原子的状态。,当E0 时，E 取任何值都能使R满足标准条件的解。所以正值的能量是连续的，相当于自由电子与H+离子结合为原子时释放的能量。,3.6 量子力学对氢原子运动状态的描绘,一、量子数 的物理意义,1主量子数 n 与能量量子化,当 E0 时， n=1,2,3,能量是量子化的，自然得出。,2角量子数 和角动量量子化 角动量是量子化的，自然得出。 旧量子
31、论： 当角动量很大时， ， ，二者一致， 所以玻尔理论给出了近似的结果。,3磁量子数 ml和空间量子化 个 角动量在外场方向的分量也是量子化的，即空间取 向量子化，自然得出。,轨道角动量在空间某方向上的分量个数还是奇数个，仍然解释不了施特恩-革拉赫试验中为什么是2个（偶数个）分量,由于薛定谔方程是非相对论的，没有导出自旋量子数 和自旋磁量子数 。,因此，在 附近、 内找到电子的几率为： 在球坐标中 ，,二、电子的几率分布,：代表几率随角度的分布； ：代表几率随角度的分布； ：代表几率随矢径的分布；,归一化：,， 之间的圆锥体的立体角 由 的值决定，对给定的 ，它有确定的值。 对不同的 、 ，
32、不同。,1几率随角的分布,- 几率密度的分布绕Z轴旋转对称,2角向分布几率,对于不同的 ， 不同，如图所示。,3电子的径向分布概率,在附近 、 内找到电子的几率为：,-在离核 处的球形壳层内发现电子的几率,在 处有极大值。,在 处有极大值。,用小黑点的密或稀形象地表示空间各处概率密度 的相对大小，概率大的地方黑点浓密，概率小的地方黑点稀疏，称它们为“电子云”,电子在原子核外很小的空间内作高速运动，其运动规律跟一般物体不同，它们没有确定的轨道。因此，我们不能同时准确地测定电子在某一时刻所处的位置和运动的速度，也不能描画出它的运动轨迹。因此，人们常用一,三、电子云,种能够表示电子在一定时间内在核外
33、空间各处出现机会的模型来描述电子在核外的运动。在这个模型里，某个点附近的密度表示电子在该处出现机会的大小。密度大的地方，表明电子在核外空间单位体积内出现的机会多；密度小的地方，表明电子在核外空间单位体积内出现的机会少。由于这个模型很像在原子核外有一层疏密不等的“云”，所以，人们形象地把它叫做“电子云”。,在通常状况下氢原子电子云示意图,小 结,1.量子力学的两个重要概念：量子化概念及波粒两 象性概念,2.量子力学的一个重要关系式：不确定关系,3.量子力学的一个基本原理：态叠加原理,4.量子力学的两个基本假设：波函数的统计解释及薛 定谔方程,5.量子力学的关键常量：普朗克常量,6.本章介绍的三个重要实验： 电子对晶体的衍射、单缝衍射及双缝干涉,
