1、第二章 分子动理学理论的平衡态理论教学目的与要求：掌握速率分布概率密度（速率分布函数）的意义，掌握麦克斯韦速率分布；理解速度空间、麦克斯韦速度分布，了解从麦克斯韦速度分布导出麦克斯韦速率分布；了解气体分子碰壁数的应用；了解等温大气压强公式与玻耳兹曼分布；掌握能量均分定理。教学方法：课堂讲授与讨论相结合。适当进行课堂习题练习与思考题的讨论，培养学生的思维能力。教学重点：速率分布概率密度（速率分布函数） 、麦克斯韦速率分布与能量均分定理。教学时数：16 学时主要教学内容：第一节 概率论的基本知识一、伽尔顿板实验A、在一定的宏观条件下，大量偶然事件，在整体上表现出确定的规律-统计规律B、统计规律永远
2、伴随着涨落现象 二、等概率性与概率的基本知识1、随机事件：在一定条件下，某一事件可能发生也可能不发生。 2、概率的定义：在相同的条件下重复同一实验，在总次数 N 足够多的情况下（即 N） ，计算所出现某一事件的次数 NL，则这一事件出现的百分比就是该事件出现的概率。 3、等概率性在没有理由说明哪一事件出现的概率更大些（或更小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。 统计物理的基本假定： （等概率原理）如果对于系统的各个可能的状态没有更多的知识，就可暂时假定一切状态出现的概率相等。4、概率的基本性质： 1nrP(1) 归一化：(2) 概率相加法则：n 个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率
3、之和。 (3) 概率相乘法则：同时或依次发生的，互不相关（或相互统计独立）的事件发生的概率。三、平均值及其运算法则1、平均值 说明：应用方便，但只适用于 N 非常大的所有事件。2、涨落（散度、散差） （相对方均根偏差） 物理意义：表示随机变量在平均值附近散开分布的程度 第二节 麦克斯韦速率分布一、速率分布概率密度（速率分布函数）1、按位置分布的概率密度射击点在靶上的分布 （图 2.2）黑点沿 x 方向分布的概率密度：表示黑点沿 x 方向的相对密集程度。（注意：对所有的黑点求平均）黑点沿 y 方向分布的概率密度：表示黑点沿 y 方向的相对密集程度。黑点沿平面位置分布的概率密度：表示黑点在某一区域
4、内的相对密集程度。 2、速率分布函数 （概率分布函数的一种）uuiii21时 ：当 NiiPP21uurms)()()(2/12/1Ndxfx)(范 围 内 的 概 率到位 置 处 于 2121)(dxf（ 归 一 化 条 件 ）xfx)(Ndyfy)(yfxxfyx,),(Ndvf只与速率 v 有关,或说,只是 v 的函数含义： 速率在 附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比。或一个分子的速率在速率 附近单位速率区间的概率-概率密度。 速率分布函数的归一化条件曲线下面积恒为 13、概率分布函数的普遍意义 分子按能量的概率分布函数： 物理意义： 能量在 附近（-+d）单位能量间隔内的分子
5、数占总分子数的百分比 分子按速度的概率分布函数： 物理意义： 速度在 附近单位速度间隔内的分子数占总分子数的百分比。分子按空间位置和速度的概率分布函数物理意义：位置在 附近（ x-x+dx,y-y+dy,z-z+dz）单位长度间隔内, 速度在 附近单位速度间隔内的分子数占总分子数的百分比。 二、麦克斯韦速率分布 1、麦克斯韦速率分布 无外场作用，平衡态下，理想气体分子按速率分布： f(v)：麦克斯韦速率分布概率密度。物理意义：速率在 附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比。 注意：（ 归 一 化 条 件 ）1)(dxfoNdf)(o Ndf)()(fdNzyxdzyxrr dNdzrf
6、,),(r dekTmdf kT223)(4)( （1）仅是分子质量及气体温度的函数（2）麦克斯韦速率分布规律是统计规律，只适用于大量分子组成的集体。也有涨落，非常小。 2、麦克斯韦速率分布曲线： 3、三种速率 （1）最概然速率 物理意义：分子以速率 p 出现的几率最大。或：若把整个速率范围分成许多相等的小区间，则 p 所在区间内的分子数占分子总数的百分比最大。（2）平均速率 （3）方均根速率 （4）三种速率的比较 适用条件：理想气体分子大小: 它们都 应用: p - 用于讨论速率分布- 用于讨论分子碰撞-用于计算分子的平均平动动能 f ()To p 1 2dPO)(f pMRTmkTp41.
7、2MRTmkTdf 60.18)(0 f3)(02RTkTrms 73.1rmsPMTrms )(vfOPv2v例题：三、麦克斯韦速率分布律的实验证明 1、朗缪尔实验装置 2、实验原理改变 ，从分子束中选择出不同速率的分子，测定其强度。凹槽有一定宽度，实际上选出的是某一速率范围 内的分子数。 金属蒸气的分子速率分布与分子束中的分子速率分布并非一回事 第三节 麦克斯韦速度分布一、速度空间1、直角坐标表示的速度空间 坐标轴：速度分量 vx 、v y 、v z从原点向代表点所引矢量：表示分子速度方向和大小。 2、代表点在速度空间中的分布 速度分布概率密度物理意义：A、表示速度空间中体积为 dvx d
8、vy dvz的小体积元中代表点的相对密集程度。B、在速度 附近（ ）单位速度间隔内的分zzyddd,子数占总分子数的百分比。 f(vx)dvx 物理意义：A、任一分子处在速度空间垂直于 vx 轴的无穷大平板中的概率。B、分子速度的 x 分量在 vxvx+dvx 的分子数占总分子数的百分比。 二、麦克斯韦速度分布2lHg金属蒸汽显示屏狭缝接抽气泵LdfF)()(zyxzyxvNdvf ),(),(vxvyvzovdvxdvydvz xxvfN)(无外场作用，平衡态下，理想气体分子速度分布：物理意义：A、任一分子处在速度空间中任一体积为 dvx dvy dvz的小立方体中的概率。B、速度在 附近的
9、分子数占总分子数的百分比。 三、从麦克斯韦速度分布导出速率分布第四节 气体分子碰壁数及其应用一、由麦克斯韦速度分布导出气体分子碰壁数及气体压强公式1.由麦克斯韦速度分布导出气体分子碰壁数速度在 ，斜柱体内的分子数目只有 vx0 的才打到墙壁2、由麦克斯韦速度分布导出气体压强公式 222031)()(vnmdvmgndgnNvPxxx xxx kTmzyxzyx dekdf 2)(232)(, xkTmx dedf x21)()(VxvyvzovdvxdvydvzovxvyvzvdvdAxv dt或 vdtdvngdNx)()(nkTndvgndxx 412)()(0 以上推导用到 1)()(
10、22 zzyy dvgdvg二、泻流及其应用的简单介绍泻流的速率分布率第五节 外力场中自由粒子的分布与玻耳兹曼分布一、等温大气压强公式1、等温大气压强公式大气是等温的，并处于平衡态。则大气压强随高度变化： 各量含义：P(z)：高度为 z 处的大气压强P(0)：海平面处的大气压强Mm：大气分子的摩尔质量说明：高度不超过 2Km 时，结果比较符合实际。 应用：高度计 高度每升高 10 米，大气压强约降 133Pa (1mmHg) 2、重力场中粒子按位置的分布 （分子数密度随高度按指数规律减小） 玻尔兹曼对粒子按能量的分布进行了推广。 二、玻耳兹曼分布在温度为 T 的平衡态下，任何系统的微观粒子按状
11、态的分布，即在某一状态区间的粒子数与该状态区间的一个粒子的能量 有关，且与 成正比。 RTgzMkTmgzmePePz)0()0(RTgzMkTmgzmenenz)0()0( kTzyx Kf 23,kTkmghPenz)0(kTekTn2121kTmveN23)(说明：A、玻尔兹曼分布仅是一种描述粒子处于不同能量的（单个）状态上有不同概率的一种分布。B、玻尔兹曼分布律是统计物理中适用于任何系统的基本定律。 （平衡态）(在 越大的状态区间内的分子数越少)如：重力场中，分子位置分布下密上疏，不再均匀。 在量子理论中，处于基态的原子最多，处于激发态的极少。第六节 能量均分定理一、理想气体热容1、热
12、容： 物体升高或降低单位温度所吸收或放出的热量。摩尔热容： 1mol物体升高或降低单位温度所吸收或放出的热量。比热（容）： 1Kg物体升高或降低单位温度所吸收或放出的不仅与物体性质有关，也与具体过程有关 定体热容 CV、 定压热容 CP、摩尔定体热容 CV,m、摩尔定压热容 CP,m 、定体比热容 cV 、 定压比热容 cP 2、理想气体内能与热容单原子理想气体内能： 单原子理想气体摩尔定体热容： 二、自由度与自由度数1、机械运动的基本运动形式dTQC)(1mdTccm,cm, RTkNUAm23CV,质点一般运动: 看成基本运动（平动 转动 振动）形式的叠加如 自行车轮子的运动(刚体)(随
13、C 平动) 加上过 C 轴的转动 2、自由度与自由度数 自由度： 描述物体空间位置所需要的独立坐标。自由度数：确定物体空间位置所需要的独立坐标的数目。 (t：平动自由度； r：转动自由度；s：振动自由度)质点t 3 r = 0 s = 0 三维空间，t = 3若受到限制，自由度降低 平面上 t = 2直线上 t = 1刚体 (如：手榴弹，陀螺) t + r 6 s = 0 定质心位置 需 3 个平动自由度 每一点绕过 c 点的轴转动 共有 3 个转动自由度 先定转轴 2 个自由度，再定每个质量元在垂直轴的平面内绕轴旋的角度 1 个自由度。非刚体 （由 N 个独立的粒子组成的质点系：包括气体、液
14、体） t + r + s 3N一般说来，这 3N 个自由度中，有三个平动、三个转动及 3N-6 个振动自由度 3、气体分子的自由度 单原子分子可看作质点，自由度数为 t= 3 N 个原子组成的多原子分子可看作质点系（非刚体） ，自由度数最多为 3N 个。CP Pc刚性双原子分子以及其它刚性的线型分子，一般都有 3 个平动自由度和 2 个转动自由度，其自由度数为 5。 三、能量均分定理1、能量均分定理： 在温度为 T 的平衡态下，物质(气、液、固)分子热运动动能平均分配到每一个分子的每一个自由度上，每一个分子的每一个自由度的平均动能都是 注意：能量均分定理仅限于均分平均动能振动能量的计算：简谐振
15、动，平均动能与平均势能相等，每一振动自由度均分 kT 的能量。若某种分子有 t 个平动自由度，r 个转动自由度，s 个振动自由度，则每一分子的总的平均能量为式中各种振动、转动自由度都应是确实对能量均分定理作全部贡献的自由度，因为自由度会发生冻结。 2、能量按自由度均分的微观解释： A、对于气体，由于分子间频繁的无规则碰撞，能量从一个分子转移到另一个分子，从这一个自由度转移到另一个自由度，从这种形式的自由度（如：平动）转移到另一种形式的自由度（如：转动） 。B、液体和固体，能量均分是通过分子间很强的相互作用来实现的。 3、常温下理想气体的内能的计算 常温下理想气体振动自由度冻结，分子可看作刚性的。 常温下 mol单原子分子理想气体：常温下 mol双原子分子理想气体：常温下 mol 多原子分子理想气体：kT21kTsrt21)(RTrtktNUAm2k325RTk
