1、返回 后页 前页 2 数集 确界原理 一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界 确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点 . 返回返回 后页 前页 记号与术语 ( ; ) | | | :U a x x a a 点 的 邻 域( ; ) | 0 | | :U a x x a a 点 的 空 心 邻 域( ; ) | 0 :U a x x a a 点 的 右 邻 域( ; ) | 0 :U a x a x a 点 的 左 邻 域( ; ) | | | :U M x x M M 的 邻 域( ; ) | :U M x x M M 的 邻 域( ; ) | :U M
2、 x x M M 的 邻 域m a x :SS数 集 的 最 大 值m i n :SS数集 的最小值返回 后页 前页 一、有界集 定义 1 R , .SS设 ( 1 ) R , , ,M x S x M M若 使 得 则 称 为 ,.SS的 一 个 上 界 称 为 有 上 界 的 数 集( 2 ) R , , ,L x S x L L若 使 得 则 称 为 ,.SS的一个下界 称 为有下界的数集.S则 称 为 有 界 集( 3 ) ,S若 既有上界又有下界: 0 , , | | .M x S x M 其 充 要 条 件 为 使 有返回 后页 前页 ( 1 ) , ,SS 若 不是有上界的数集
3、则称 无上界 即00R , , .M x S x M 使 得( 2 ) , , 若 不是有下界的数集 则称 无下界 即00R , , .L x S x L 使 得( 3 ) , ,SS 若 不是有界的数集 则称 无界集 即000 , , | | .M x S x M 使 得返回 后页 前页 10R , 1, 2 ; 1 ,M M x M M 若 取 若 10 2 1 ,Mx M M 取 因此 S 无上界 . 证 ,2 LxSx n 则 故 S 有下界 . 取 L = 1, 2 | N , .nSn 证明数集 无上界 有下界例 1 例 2 2+31 N.2nSnn证 明 数 集 有 界证 22+
4、 3 3 31 1 1 1N , 1 ,222 2 2nnnn n n .S因 此 有 界返回 后页 前页 二、确界 :R. R, 满足若设 SS定义 2 .s u p, SS 记为的上确界是则称;,)i( xSx ,( i i ) 0 Sx 0 ,x 使 得若数集 S 有上界 , 则必有无穷多个上界 , 而其 中最小的一个具有重要的作用 . 最小的上界称为 上确界 . 同样 , 若 S 有下界 , 则最大的下界称为下 确界 . 返回 后页 前页 0x x点击上图动画演示 注 2 ( i i )显 然 , 条 件 亦 可 换 成 :00 ,.x S x 0,注 1 条件 (i) 说明 是 的一
5、个上界 , 条件 (ii)说明 S比 小的数都不是 的上界 ,从而 是最小的上 S 界 ,即上确界是最小的上界 . 返回 后页 前页 定义 3 R , . R :SS 设 若 满 足 ( i ) , ;x S x 00( ii) , , ;x S x .i n f, SS 记为的下确界是则称00 ,.x S x 0,( ii) ,下 确 界 定 义 中 的 亦 可 换 成注 2 注 1 由定义 ,下确界是最大的下界 . 返回 后页 前页 证 先证 sup S=1. ;111,i)( nxSx.,2110 00 xSx，则取若( ii) 1 . 设例 2 11 , 1 , 2 , ,S x x nn 设 求 证.0i n f1s u p SS ，.1s u p S因此，00 , 1 0 , , ,n 若 则 令 由 阿 基 米 德 性000011 . 1 , 1 .x S xnn 使 得 令 则返回 后页 前页 .0i n f S因此.0i n f S再证00( ii ) 0 , 0 , .x S x ;011,)i( nxSx以下确界原理也可作公理 ,不予证明 . 虽然我们定义了上确界 , 但并没有证明上确界的 存在性 , 这是由于上界集是无限集 , 而无限数集 不一定有最小值 , 例如 (0, ) 无最小值 .
