1、1二次函数的图象和性质摘要：数形结合，是解决函数问题极为重要的方法。 关键词：数形结合；二次函数；图像和性质 二次函数的图象位置是由系数 a、b、c 决定的.对二次函数图象与性质的考查一直是中考命题的传统题目，解决此类问题的方法是数形结合，这也是解决函数问题极为重要的方法。 一、图象的识别 【例 1】 （2006福州）已知实数 s、t 满足 s2+s-2006=0，t2+t-2006=0，那么，二次函数 y=x2+x-2006 的图象大致是（） 【分析】 依题意得 s、t 是方程 x2+x-2006=0 的两实根，由求根公式可得两根一正一负，故可能是 A、B.又 ， 抛物线对称轴在 y 轴的左
2、侧。解：B. 【小结】 这是一道结合一元二次方程考查二次函数图象和性质的试题.二次函数 yax2bxc 中，当 y0 时，即为一元二次方程，如果此方程有两不同实根，则二次函数图象与 x 轴有两个交点. 【例 2】 已知：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有 a、b、c 三个字 母的等式或不等式： =-1；ac+b+1=0；abc0；a-b+c0.正2确的序号是 . 【分析】 从图象中易知 a0，b0，正确；设C（0，c） ，则 OC=|c|， OA=OC=|c|， A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又 c0，ac+b+1=0，故正
3、确. 解：正确的序号为. 【小结】 我们研究二次函数 yax2bxc 图象的时候，首先要明白二次函数图象与 x、y 轴的交点坐标以及顶点坐标、对称轴与系数a、b、c 的关系. 【例 3】 （2006武汉）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=-1，与 x 轴的一个交点为（x1，0） ，且00；bc；3a+c0，其中正确结论两个数是（ ）. 【分析】 这是一道没给图象的题，由已知条件可以大致画出如下图所示的图象， 00 正确； =-1， b=2a， b-a=2a-a=a0. bac，故不正确；把 b=2a 代入a+b+c0 得 3a+c0， 正确；故答案为 2 个。 【小结
4、】 将“数”转达化为“形”是本题的难点，将等量与不等量有机的结合是解决本题的关键. 二、性质的应用 3【例 4】 （2006山东枣庄）已知关于 x 的二次函数 y=x2-mx+ 与 y=x2-mx- ， 这两个二次函数的图象中的一条与 x 轴交于 A、B 两个不同的点. （1）试判断哪个二次函数的图象经过 A、B 两点； （2）若 A 点坐标为（-1，0） ，试求 B 点坐标； （3）在（2）的条件下，对于经过 A、B 两点的二次函数，当 x 取何值时，y 的值随 x 值的增大而减小？ 【分析】 解第（1）问时用 b2-4ac 是否大于 0 即可判断；解（2）时把 A 点坐标代入第（1）问求出
5、的结果即可；解（3）时根据对称轴和开口方向可以判断. 解：（1）对于关于 x 的二次函数 y= ， =-m2-20， 此函数的图象与 x 轴有两个不同的交点，故图象经过 A、B 两点的二次函数为：y=x2-mx- （2）将 A（-1，0）代入 y=x2-mx- 得 1+m- =0，整理得 m2-2m=0， m=0 或 m=2. 当 m=0，y=x2-1， 令 y=0，x2-1=0，解得 x1=-1，x2=1， 此时 B 点的坐标是（1，0）. 当 m=2，y=x2-2x-3， 令 y=0，x2-2x-3=0，解得 x1=-1，x2=3， 此时 B 点的坐标是（3，0）. （3）当 m=0，y=x2-1，抛物线开口向上，对称轴为 x=0， 4 当 x0 时，y 随 x 的增大而减小. 当 m=2，y=x2-2x-3=（x-1）2-4，抛物线的开口向上，对称轴为x=1， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小. 【小结】 二次函数 yax2bxc 中，当 b2-4ac0 时，函数图象与 x 轴有两个交点；当 b2-4ac=0 时，函数图象与 x 轴有一个交点；当b2-4ac0 时，函数图象与 x 轴没有交点。 “本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以 PDF 格式阅读”
