1、创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼 1证明（三）主要知识点：一、三角形按角分三角形按边分二、四边形1. 知识结构如下图（1）弄清定义及四边形之间关系图 1：（2）四边形之间关系图 2：2、几种特殊的四边形的性质和判定：两组对边分别平行四边形平行四边形矩形菱形正方形梯形只有一组对边平行一个角是直角一组邻边相等两腰相等有一个角是直角等腰梯形直角梯形一个角是直角一组邻边相等平行四边形矩形 菱形正方形等腰梯形 直角梯形梯形四边形直角三角形钝角三角形三条边都不相等的三角形等腰三角形等边三角形（正三角形）2 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼
2、性 质 判 定特殊四边形 边 角 对角线 边 角 对角线平行四边形对边平行且相等对角相等邻角互补对角线互相平分1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形5、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形矩形 对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等1、有一个角是直角的平行四边形是矩形2、三个角是直角的四边形是矩形3、对角线相等的平行四边形是矩形菱形 四边相等 对角相等邻角互补对角线互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角1、一组邻边相等的平行四边形是菱形2、四边相等的四边形是菱
3、形3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形 四边相等 四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。2、有一组邻边相等的矩形是正方形。3、有一个角是直角的菱形是正方形。4、对角线相等的菱形是正方形。5、对角线互相垂直的矩形是正方形。等腰梯形两底平行两腰相等同一底上的两个底角相等对角线相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形。2、在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。3、对角线相等的梯形是等腰梯形创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼 33、一些定理和推论：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三
4、边，且等于第三边的一半。推论：夹在两平行线间的平行线段相等。推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。4、一些思想方法：方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。化归思想方法：解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。梯形问题化为三角形、平行四边形来解决。分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成几个基本图形，从而使问题简单化。构造图形法：当直接证明题目有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。解证明题的基本方法：从已知条件出发探索解
5、题途径的综合法；从结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件的分析法；两头凑的方法，就是综合运用以上两种方法找到证明的思路（又叫分析综合法） 。转化思想：就是将复杂问题转化，分解为简单的问题，或将陌生的问题转化成熟悉的问题来处理的一种思想。5、注意：四边形中基本图形梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形)菱形的面积公式：S=两条对角线积的一半。典型例题分析例 1. 已知：如图，在 ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AGDB 交 CB 的延长线于 G (1) 求证：ADECBF； (2) 若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并
6、证明你的结论4 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼例题 2.已知：P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，PEDC，PF BC ，E、F 分别为垂足，求证：AP=EF.例题 3.如图：已知在正方形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O,点 E 是 BO 的中点，DG CE于点 G，交 OC 于点 F. 如果正方形 ABCD 边长为 10.求 EF 的长.例 4.如图，菱形 ABCD，E、F 分别为 BC、CD 上的点，且 B=EAF=60，若BAE=20，求CEF 的度数例 5. 如图所示，在 中，对角线 、 交于点 ， 平分 的外角，ABCDABDOEA
7、BC且 ；求证：EAO21 AB CDE OE FODC AC CC B G创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼 5例 6.如图所示, 为 的 边的垂直平分线上一点,且 的延PABC CPBAP,21长线分别交 、 于点 、 , ；求证：DEDBE例 7. 如图所示，在正方形 中，点 在 上，点 在 上， ，ABCDEAFCD45EBF于点 ；求证：EFBGG例 8.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC， BAD=90，AD+AB=14， （ABAD）BD=10， BD =DC，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且 CE+CF = 4.(1) 求 BC 的长；(
8、2) 设 EC 的长为 x，四边形 AEFD 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在(2)的条件下，如果四边形 AEFD 的面积等于 40，试求 EC 的长 .AB CEPGDAFEBDCAB CDEFG6 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼训练题一：一、 填空题1如图，E 为矩形 ABCD 的边 CD 上的一点，AB=AE=4，BC=2，则BEC 是 度.2如图，P 是边长为 2 的正方形 ABCD 的边 CD 上任意一点，且 PEDB，垂足为E，PF CA，垂足为 F，则 PE+PF 的长是 .3如图，等腰梯形 ABCD
9、中，ABDC，AD=BC ，对角线 ACBD 于O，DC=3，AB=8cm ，则梯形的高= cm .4如图，梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 ACBD，且 AC=5cm，BD=12cm ，则该梯形的中位线的长等于_ cm .5如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为 4 和 2，那么阴影部分的面积为_ .6等腰三角形的两边长为 6、8, 则这个等腰三角形的周长为_.7梯形上、下底的比是 a : b（ab）,它的中位线长为 m,中位线与对角线交于 M、N 两点,则 MN 的长为 _.8已知 在 ABC 中，m 为 BC 边上的中线的长，AB=8 ，AC=6 ，那么 m 的取值范围是_.9等
10、腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 15和 17两部分，那么此三角形的底边长是_二、选择题(前四题为单选,其余为多选 )1. 如图，O 为 ABCD 对角线 AC、BD 的交点，EF 经过点 O，且与边 AD、BC 分别交于点 E、F若 BFDE，则图中的全等三角形最多有（ ）A. 2 对 B. 3 对 C. 5 对 D. 6 对2. 已知：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，B45， C 120，AB8，则 CD 的长为 （ ）A. B. 3664C. D. 2823. 直角梯形 ABCD 中，AD BC，ABBC，E 是 CD 中点，且 AB=AD+BC，则ABE 是 （ ）A.
11、直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形4. 在 ABCD 中，AB6，AD8，B 是锐角，将ACD 沿对角线 AC 折叠，点 D 落在ABC 所在平面内的点 E 处若 AE 过 BC 的中点，则 ABCD 的面积等于 （ ）A BCD POE FA BCDOAB CDA BCED第 2 题图第 1 题图 第 3 题图 第 5 题图第 5 题图创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼 7A. 48 B. C. D. 610712245下列各组长度的线段中，可以组成三角形的是（ ）A6 , 2 , 7 B6 , 2 , 8 C5 , 6 ,
12、7 D6 , 2 , 106.如图，把直角三角形纸片，沿过顶点 B 的直线 BE 折叠，直角顶点 C 落在 AB 上。如果EBA 是等腰三角形，那么下列结论正确的是 （ ）A B.点 C 与 AB 中点重合 30C. 点 E 到 AB 的距离等于 CE 的长 D.AB= AE37.下列命题中，正确的是（ ）A.直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半B.等腰三角形的角平分线与高及中线互相重合C.两个成轴对称的图形一定全等D.圆既是轴对称图形又是中心对称图形8.如图，点 C 是 内一点，且 CA=CB.下面说法正确的是（ ）MONA.点 C 在 的角平分线上B.点 C 在线段 AB 的垂直平分线上
13、C.OC 是 AB 的垂直平分线D.OC 是 MON 的角平分线9.如图：已知在 中,AB=AC, ,直角 的顶点 P 是 BC 的中点,两边ABC90BACEFPE、PF 分别交 AB、AC 于点 E、F,当 在 内绕顶点 P 旋转时（点 E 不与PA、B 重合）,下列结论始终正确的是（ ）A.AE=CF B. 是等腰三角形 C.S = D.EF=APARPF四 边 形 ABCS21三、证明题1如图：在梯形 ABCD 中，AB/CD，中位线 EF=7,对角线 AC BD, =30 ,BDC求梯形的高 AH.CC MOA CB NCC EC BC FC AC HC DC BC AC EC C
14、AC FC EC PC BC CC 8 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼2如图：已知在平行四边形 ABCD 中, 于点 E,BE:EC=1:3,点 F、G、H 分别BCAE是 AB、AE、CD 的中点,EF=5,GH=21 求（1）AD 的长 （2）梯形 AECD 的面积3. 如图，矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 M 为 CD 上一动点（与点 C 不重合） ，将矩形沿某一直线对折，使点 B 与点 M 重合，折痕与 AD 交于点 E，与 BC 交于点 F.（1）写出图中全等的三角形（不包括虚线所在三角形） ；（2）设 CM=x，AE=y，求 y 与
15、x 之间的函数解析式，并写出 x 的取值范围；（3）是否存在点 M 的位置使BEM=90 0，若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由.训练题二1 如图 1，已知 BD 是平行四边形 ABCD 的对角线，点 E、F 在 BD 上，要使四边形 AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是_( 填上一个即可) 。2.如图 2：四边形 ABCD 是正方形， ABE 是等边三角形，点 E 在正方形外部，那么AED=_度。3 如图 3：在 Rt ABC 中， =90 ，BD 平分 ABC 交 AC 于 D，DE 是斜边 AB 的垂C直平分线，且 DE=1，则 AC=_.4.如图 4：在 ABC 中，有
16、一正方形 DECF，如果 AD=29，DB=19 ，那么 S +SADE=_ .BDF2AB CDEFMDC AC EC FC BC CC GC H C AC DC CC BC FC E C DC CC BC EC AC FC EC BC DC AC CC EC AC DC BC CC 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼 9(图 1) (图 2) (图 3) (图 4)5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ）A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形6. 已知菱形的边长为 6，一个内角为 60，则菱形较短的对角线是 （
17、）A. B. C. 3 D. 6335 已知：如图，在正方形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，E、F 分别在 OB、OC 上，且OE=OF. 求证：AE BF.6如图：已知正方形 ABCD 的边长为 5，E 是 BC 上一点， BE : EC=2 : 3,M、N 分别在CD、AB 上，以 M、N 为折痕，使点 A 与 AC 上的点 E 重合.求（1）BN 的长（2）SANE四 边 形单元评估试卷1下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是 （ ） 。A一组邻角互补，一组对角相等。 B一组对边平行，一组邻角相等。FEOAB CDCC EC MC BC AC DC NC 10 创造
18、适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼PO FEDCBAC一组对边相等，一组对角相等。 D一组对边相等，一组邻角相等。2顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是 （ ） 。A矩形 B菱形 C正方形 D平行四边形3下列说法错误的是 （ ） 。A有一组对边平行但不相等的四边形是梯形。 B有一个角是直角的梯形是直角梯形。C等腰梯形的两底角相等。 D直角梯形的两条对角线不相等。4如图 1 把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在 D、C 的位置。若EFB =65，则AED等于 （ ） 。50 55 60 655 ABCD 中，O 是对角线的交点，不能判定这个
19、平行四边形是正方形的是 （ ） 。ABAD=90，AB=AD BBAD=90，ACBDCACBD，AC=BD DAB=AC，BAD=BCD6.如图 2， ABCD 中，EF 过对角线的交点 O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形 BCEF 的周长为 （ ）A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.67.给出下列命题:四条边相等的四边形是正方形；两组邻边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；矩形、线段都是轴对称图形.其中错误命题的个数是 （ ）A.1 B.2 C.3 D.4如图 2 如图 38、平行四边形的两条对角线将此平行四边形分成全等三角形的对数是（ ） A 2 对 B 3 对 C 4 对 D 5 对9、 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 （ ）
