1、1第 3 章 刚体力学一般情况下,一个物体的运动是很复杂的,它不仅包括平动、转动,有时还有振动.在质点力学的讨论中,只研究了物体运动中最常见的一种平动,其它的运动被作为暂时的、次要的东西忽略了,结果物体被简化为质点.在质点的平动问题解决以后,平动退居次要地位,质点也从没有形状大小的几何点变为有形状大小的物体.在实践中我们都知道,物体在力的作用下形状和大小要发生变化.例如:一块棉花,原来形状设为正方形,现在用双手捏可以将它捏成圆形、长方形或其它形状,也可以把它压得很小,放开使它的体积又较大,总之在力的作用下使它的形状和大小发生了变化.但是在有些问题中,这种变化很不明显,我们眼睛几乎发现不了.例如
2、:一张桌子 ,人们经常爬在上边写字,但在短时间,我们并没有发现它的形状和大小有明显的变化.这时就可以将它的微小形变忽略掉,又将此物体简化为一种理想的模型 刚体 .所谓刚体,就是在外力作用下,形状和大小都不改变的物体.也就是说,刚体内各质点之间的距离保持不变,刚体的各部分之间没有相对运动.本章主要研究刚体的基本运动规律.3.1 刚体的运动 )(、 、 一、刚体的平动和转动平动 刚体在运动过程中,如果各个时刻刚体中任意一条直线始终保持彼此平行,这种运动称为刚体的平动(也称为平行移动).刚体平动过程中,其上各点运动轨迹的形状相同,且彼此平行;每一瞬时各点的速度、加速度相等.因此可用刚体上任意一点的运
3、动来描述平动刚体的运动.对上述结论可作如下解释,如图 3.1 所示,由刚体的定义及刚体的平动的定义知,矢量 BA 为常矢量.由于 ，说明 A、B 两点的轨迹彼此rBA平行.而 A、B 两点是任意选定的,所以在刚体的平动中,其上各点的轨迹形状相同且彼此平行,将两边对时间 t 求一阶导数得rBA(3.1)BABdtr、(3.1)式对时间 t 再求一次导数得(3.2)BABAa、2式(3.1)、(3.2) 说明任一瞬时平动刚体上各点的速度,加速度均相等.转动 如果刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动就称这一运动为刚体转动,此直线称为转轴.转轴固定于参考系(即转轴的位置和方向相对于参考系是固定的)的情况
4、称为定轴转动.例如门窗、钟表指针、砂轮、电机轴子等的转动都属于定轴转动.若转轴上有一点静止于参考系,而转轴的方向在变化,这种转动称为定点转动.例如气象雷达天线的转动,玩具陀螺的转动就属于定点转动.刚体的定轴转动是转动中基本而普遍的情况,也是本章的重点内容,对于定点转动,只简单介绍陀螺的运动.二、刚体的定轴转动描述刚体的运动,首先要确定刚体的位置.在定轴转动的情况下,转轴已固定,取垂直于转轴的平面为转动平面,如图 3.2 所示,在此转动平面内取一坐标轴 ox,这样就可以对刚体转动作定量描述.1 刚体角坐标和角位移在转动平面内任选一点 A,设 A 的位置矢量为 r ,因其大小不变,故其位置可用自
5、x 轴转至 的角 表O示，此 称为定轴转动刚体的角坐标.规定自 x 轴逆时针转向 时 为正,刚体定轴转动可用函数OA(3.3)(t描述,此即刚体绕定轴转动的运动学方程 .绕定轴转动的刚体在 时间内角坐标的增量 称为该时间内的角位移.面对 zt轴观察,若 0,刚体逆时针转动;若 0,刚体瞬时针转动.在国际单位制中,角坐标和角位移单位为弧度（rad） .2 角速度设 t 时刻刚体的角坐标为 ,t+ 时刻刚体的角坐标为 ,则定轴转动刚体在 时tt间内的平均角速度和 0 的瞬时角速度t(3.4) 、00dtttt)(上式说明定轴转动刚体的角速度等于其角坐标对时间 t 的一阶导数.而且刚体上各点的角速度
6、都相同.因此角速度是描述整个刚体转动快慢的物理量.为正,表示刚体沿逆时针方向转动; 为负,表示刚体沿顺时针方向转动,角速度的单位为弧度秒.在工程中,把每分钟转动的圈数称为转速,用 n 表示,单位为转分,则与 n 的关系3为 n1062.3 角加速度设 t 时刻刚体的角速度为, t+ 时刻刚体的角速度为 ,则定轴转动的刚体在t时间内的平均角加速度和 0 的瞬时角加速度为t(3.5) 、dttt0上式说明定轴转动刚体的角加速度等于其角速度对时间的一阶导数,亦等于角坐标对时间的二阶导数.当与同号时,刚体作加速转动,与异号时,刚体作减速转动.角加速度的单位为弧度秒（rad/s）.角速度和角加速度在描述
7、刚体定轴转动中所起的作用与质点运动中速度和加速度的作用相似.因此常把它们对应起来看待,速度与角速度相对应,加速度与角加速度相对应.与质点运动学相似,对于定轴转动的刚体,若已知运动方程 ,容易求出角速)(t度和角加速度;若已知角加速度和初始条件,亦很容易求出角速度和运动方程 .对于匀速定轴转动有 t0、对于匀变速定轴转动,则有(3.6)(, 0202001tt式中 为初始时刻的角坐标和角速度.0、4 定轴转动的刚体上某点的速度和加速度定轴转动刚体上的各点都在绕轴上的一点作圆周运动,具有相同的角速度,设某点 M 到转轴的距离为 R,则由圆周运动的规律得该点的速率为(3.7)R上式说明定轴转动的刚体
8、上任意一点的速度大小等于转动半径 R 与刚体角速度的乘积,速度的方向指向该点转动的方向.M 点的加速度分别用切向加速度和法向加速度表示,由其定义得：(3.8)22 RaRdttan)(,4由(3.7)、(3.8)式可知,若已知角量（ 、）,就可以求出刚体上任意一点作圆周运动的线量（ ）,可见,角量充分地描述了刚体绕定轴的转动状态.na、例题 3.1 某发动机转子在启动过程中的转动方程为 ,式中 以弧度计, t 以321t秒计,转子的半径为 R=0.5m. 试求转子的外缘上 M 点在 t=2s 时的速度和切向、法向加速度.解：根据角速度和角加速度定义得222 srad63srad63 /,/ s
9、tst tdt据线量与角量的关系得 M 点的速度和加速度在切向、法向的投影为m506R/. 2222 sm18650s3 /.,Raan与 同号,说明 M 点作加速运动.作业（P79）：3.553.2 刚体动力学一、刚体的转动动能刚体绕定轴转动时,构成刚体的所有质点的动能和,称为刚体的转动动能.设某时刻刚体绕 轴转动的角速度为,刚体中任一质元的质量为,离 轴的垂直距离为 ,则其线速率为 .该质元的动能为221iii rmE将此式对所有质元求和即得整个刚体的动能(3.9a)221)(iiik r、 ZrmJiiz2(3.9b)21zkE、二、刚体的转动惯量转动惯量 由前面讨论可知,刚体的转动惯量
10、(3.10)iizrmJ2也就是说,转动惯量等于刚体中每个质元的质量与这一质元到转轴的垂直距离的平方的乘积的和,而与质元的运动速度无关.与平动动能比较可知,转动惯量相当于平动时的质量.是物体在转动中惯性大小的量度.如果刚体的质量是连续分布的,需将(3.10)式的求和变为积分(3.11) VdrdmrJ22、转动惯量的单位在国际单位中为千克米 2（kgm 2） .由转动惯量的定义式可知,刚体的转动惯量与刚体的质量、质量分布、转轴的位置有关.因此,在谈及转动惯量时,必须明确哪一刚体对哪一转轴的转动惯量.平行轴定理 刚体对任意轴的转动惯量 J,等于它对通过刚体质心且与该轴平行的轴的转动惯量 Jc,加
11、上刚体的质量与两轴距离 d 的平方的乘积.即(3.12)2md这一关系称为平行轴定理.正交轴定理 薄板状刚体的质量均匀分布时,它对于板面内的两条正交轴的转动惯量之和,等于过这两轴的交点且垂直于板面的轴的转动惯量.6现对正交轴定理简单给出证明.取板平面为坐标面,坐标轴即为三条正交轴,如图 3.3 所示. )(22iiiz yxmrJ(3.13)xyii Jx例 3.2 试求质量为 m、长为 l 的匀质细棒对通过中心且与棒垂直的轴的转动惯量.解： 2221mldxxJl/若将轴移到左端,利用平行轴定理则得222234llll)/(例 3.3 试求质量为 m、半径为 R 的匀质圆盘对过它边缘上一点且
12、垂直于盘面的轴的转动惯量.解该圆盘对过中心且垂直于盘面的轴的转动惯量为220402 1mRrdrJR|根据平行轴定理有 2231J三、刚体的重力势能构成刚体的所有质点与地球组成的物体组的重力势能之和,称为刚体的重力势能.设第 i 个质元的质量为 ，其 z 坐标为 zi,设 XOY 平面为参照水平面,则 zi 即该质元im的高度,它和地球组成的物体组的重力势能为 ,刚体的重力势能为igm(3.14)ZzgzEczZiiP ic /)(上式表明:在计算刚体的重力势能时,刚体的质量可看作集中于刚体的质心 .因此,只要确定了刚体的质心位置,其重力势能就确定了,而与刚体的方位无关.四、力矩与转动定律力矩
13、 与上章讨论质点角动量中力矩一样，刚体的力矩(3.15)FrM前已介绍在外力矩的作用下，刚体获得加速度。转动定律 讨论质点运动时,根据牛顿第二定律知,当质点所受的合外力大于零时,质点将获得加速运动;对于刚体,由前面讨论可知,在外力矩的作用下获得角加速度 ,那7么外力矩与角加速度之间服从怎样的规律？下面先以一质点为研究对象进行讨论.设有质量为 m 的质点与刚性轻杆相连,杆与转轴相连且垂直 ,现在对此质点作用一个大小为 的切向力,如图 3.6F所示,则质点在此力作用下作圆周运动.根据牛顿第二定律及力对 o 轴力矩的定义有JmrFMa2对于任意的刚体,可认为是由无穷个质点组成.设第 i 个质点的质量
14、为 ,它到转轴的垂直距离为 .则第 i 个质点所受的合外力矩为iir)(2iir对于作定轴转动的刚体,它的力矩只有两个方向,所以可求代数和(3.17a)JrmMii )(2由于角加速度是矢量,转动惯量 J 是标量,所以力矩的方向与角加速度方向相同 ,因此其矢量式为(3.17b)上式表明,作定轴转动的刚体所受的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积.此即为刚体定轴转动的转动定律 .刚体的转动定律在刚体转动中很重要.把转动定律 与牛顿第二定律 F=maJM比较可知,合外力矩 M 与合外力 F 对应;刚体的转动惯量 J 与质点的质量 m 对应.因此,转动定律
15、可以看成是刚体定轴转动时的牛顿定律,它反映了力矩对定轴转动刚体的瞬时作用规律,它是刚体动力学的基本规律.五、力矩的功与动能定理力矩的功 在质点运动中,当外力作用于一质点上使它发生位移时,外力在作功.在刚体绕定轴转动的情况下,外力矩使刚体中的每一质元都作圆周运动,转过一定的角位移,我们就说外力矩对刚体作了功.如图 3.7 所示,刚体绕 oz 轴转动 .设外力 Fi 作用于 A 点处.经 dt 时间后,A 沿半径为 ri 的圆周移动了微小的圆弧 dsi,相应的角位移为 ,则有外力 Fi 所作的元功为drmoF8 dMdrFdsrFdAiiiiiii sn上式表明:外力的元功等于力矩与角位移的乘积.
16、因此 ,对于定轴转动的刚体,外力的功与力矩有关.当刚体在外力矩作用下,从角位置 转到角位置 时,力矩对刚体所作的总功为0(3.18)0MdA由此可见,当刚体转动时,外力矩所作的总功等于外力对转轴的合力矩对角位移的积分.式(3.18) 是力矩对刚体作功的一般表达式.说明：1）力矩所作的功并不是新的概念,本质上仍然是力的功,只是在刚体转动的特殊情况下可表示为力矩对角位移的积分而已。2）当力矩为常量时,力矩的功为 )(00MdA3）对于内力矩的功也应有同样的形式,但由于刚体对转轴的合内力矩为零,内力矩的总功也为零.因此只考虑刚体所受的合外力矩的功.力矩的功率 与讨论质点作功类似,力矩的功率为:单位时
17、间内力矩所作的功,用 P表示.设刚体在恒力矩作用下绕定轴转动,在 dt 时间内转过角位移为 ,则根据功率的d定义式有(3.19)MdtAP即力矩的瞬时功率等于力矩与角速度的乘积.当力矩与角速度同向时,力矩的功和功率为正值;当力矩与角速度方向相反时,力矩的功和功率为负值 ,称此力矩为阻力矩.动能定理 对质点来说,外力的功等于质点动能的增量.这是质点的动能定理.那么外力矩的功与刚体的转动动能有什么关系?这就是绕定轴转动的刚体的动能定理所要讨论的内容.对于定轴转动的刚体,在沿轴向的外力矩(对转轴的外力矩)作用下,就要产生角加速度,从而引起角速度大小的变化,使刚体的转动动能发生改变.由转动定律dJtJ
18、M(3.20)2022 110 JMAd)(上式前半部分为刚体动能定理的微分表达式.此式表明,合外力矩对定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量.此式称为刚体定轴转动的动能定理.它是力矩对空间9的积累效应的结果,反映了外力矩对定轴转动刚体做功这一过程量与转动动能这一状态量之间的关系,从而为某些问题的求解带来了方便.但要注意,此式只对定轴转动的刚体适用,非刚体不再适用,因为非刚体内力矩的功不一定为零.例题 3.4 一根质量为 m,长为 l 的匀质棒 AB,如图 3.8 所示,棒可绕一水平的光滑转轴 O 在竖直平面内转动,O 轴离 A 端的距离为 l/3,今使棒从静止开始由水平位置绕O 轴转动
19、,求:(1) 棒在水平位置 (启动时) 的角速度和角加速度.(2) 棒转到竖直位置时的角速度和角加速度.(3) 棒在竖直位置时,棒的两端和中点的速度和加速度.解 先确定细棒 AB 对 O 轴的转动惯量 J0,由于O 轴与质心轴 C 的距离为 ,由平行632/lld轴定理得22220 911mlllmJc)(再对细棒进行受力分析:重力,作用在棒中心(重心),方向竖直向下,重力的力矩是变力矩,大小等于 mglcos/6;轴与棒之间没有摩擦力,轴对棒作用的支撑力垂直于棒与轴的接触面而且通过 O 点,在棒的转动过程中,这力的方向和大小将是随时间改变的 ,但对轴的力矩等于零.(1) 当棒在水平位置(刚启动 )时,角速度 .此时 ,由转动定律求得此时的0角加速度为lgmlJM23960/(2) 当棒从 转到 +d 时,重力矩所作的元功为dgldAcos61棒从水平位置转到任意位置的过程中,合外力矩所作总功为sincsmgllM6100由定轴转动刚体的动能定理有2016Jmglsin由此可得 lgsin3010在竖直位置时 lg302,/(3) 在竖直位置（ ）下时,棒的 A、B 点和中点 C 的速度,加速度分别为23362/, )(/)(/gagralllcBABc、
