1、数学分析课程教学大纲课程名称：数学分析/ Mathematical Analysis学时/学分：270 学时/16.5 学分 （其中课内学时 270学时，实验上机 0学时）先修课程：初等数学适用专业：信息与计算科学开课院（系、部、室）：数学与计算机科学学院一、课程的性质与任务 数学分析是信息与计算科学专业的一门重要的基础课。学好本课程为进一步学习微分方程、复变函数、数值计算方法以及概率论等后继课程必将打下坚实的基础。通过本课程的学习有助于学生树立辩证唯物主义思想和观点，有助于培养学生严密的逻辑思维能力和较强的抽象思维能力。本课程以极限为工具，研究函数的微分和积分的一门学科，其主要内容包括极限论
2、、一元微积分理论、多元微积分和级数等四大部分。理论学时共 270学时，分三学期完成：数学分析 I*90 学时；数学分析 II*90 学时；数学分析 III*90学时。其任务是通过本课程的学习，使学生达到：1、对极限思想和极限方法有深刻的认识，从而树立辩证唯物主义观点。2、掌握数学分析的基本知识和基本理论，能熟练地进行基本运算（如求极限、导数、微分和积分等） ，并具有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以及分析论证能力。3、能应用微积分方法解决一定的实际问题。二、 数学分析 I*课程的教学内容、基本要求与学时分配（总学时 90）（一）函数 7 学时1、掌握函数、反函数、复合函数、单调函数、有界函数
3、、奇偶函数与周期函数等概念。2、会求函数的定义域。3、了解函数的各种表示法，掌握分析（或解析）表示法特别对分段表示的函数要很好地理解。4、熟悉基本初等函数，初等函数。重点：函数、反函数、复合函数、单调函数、有界函数、奇偶函数与周期函数等概念。难点：反函数、复合函数的概念。（二）极限 29学时1、掌握数列极限、函数极限、无穷小量、无穷大量及确界概念，对极限的否定形式要有所了解。2、会用“-N” ， “-” ， “-A”方法处理极限问题。3、对下述性质与定理要求能准确地叙述并会证明。如：唯一性、有界性、保号性、柯西收敛定理和海涅定理等。4、会运用四则运算、两边夹定理、单调有界数列极限存在定理及两个
4、重要极限熟练地求极限。5、理解无穷小量、无穷大量的概念，并会用无穷小量、无穷大量的性质处理极限问题。重点：极限的相关概念及其相关理论。难点：极限的概念，柯西收敛定理和海涅定理。（三）连续函数 8学时1、理解一点连续、单侧连续与区间上连续的定义；理解间断点及其分类概念。理解保号性，有界性，四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性。2、会准确叙述并会证明闭区间上连续函数的介值性，有界性，最值定理；一致连续定理（一致连续性定理的证明可不作要求） ，并进行相关证明。3、了解初等函数的连续性。重点：函数连续的概念及其相关性质。难点：一点处连续、左右连续的概念和性质。（四）实数的连续性 9 学时1、准确
5、地叙述并会证明实数系的几个基本定理区间套定理，确界概念，确界存在定理，单调有界数列极限存在定理，聚点原理，收敛准则，有限覆盖定理。2、会用上述定理处理某些证明问题。重点：用实数的连续性的几个定理处理有关证明问题。难点：实数的连续性几个定理的证明及其等价性。（五）导数与微分 14学时1、掌握导数（包括单侧导数与导函数）的概念，熟悉它的几何意义，掌握可导与连续的关系。2、能熟练地应用导数定义与四则运算，复合函数的导数，反函数的导数，基本公式表，隐函数求导法，参数方程求导法求函数的导数。3、会求一些函数的高阶导数。4、理解微分的定义，微分的几何意义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式的不变法，
6、会用微分进行近似计算。重点：导数（包括单侧导数与导函数）微分的概念，导数微分的计算。难点：导数（包括单侧导数函数）微分的概念（六）微分中值定理及泰勒公式，导数的应用 23学时1、能正确叙述并证明费尔马引理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。2、会用中值定理证明一些恒等式与不等式。3、会求一些简单函数的泰勒展开式。4、能熟练地应用洛毕大法则求不定型的极限。其它形式的不定型转化成以上两种形式的不定型。),(“0“型 不 证型型 与 5、函数单调性判别法。理解函数单调的充要条件，函数严格单调的充要条件，应用函数的单调性证明不等式。6、理解极值概念，极值判别法，最大值与最小值概念，能熟练地
7、求函数的极值和最大（小）值。7、理解函数的凹凸性，拐点，渐近线等概念，会用有关的知识讨论函数的凹凸性及拐点，能应用导数较正确地作出函数的图像。重点：中值定理的相关应用。难点：中值定理的证明。三、 数学分析 II*课程的教学内容、基本要求与学时分配（总学时 90）（一）不定积分 18学时1、掌握原函数与不定积分的概念，熟记基本积分表，理解线性运算法则。2、熟练地掌握换元积分法与分部积分法。3、掌握有理函数积分法，三角函数有理式的积分。4、掌握简单无理函数的积分。重点：不定积分计算难点：原函数与不定积分的概念，无理函数的积分。（二）定积分 18 学时1、掌握定积分概念。2、可积的必要条件，理解大和
8、与小和及其性质，可积的充要条件。3、理解可积的充要条件，并能应用它判断或证明函数的可积性（包括可积函数类） 。4、定积分的性质。熟悉定积分的线性，有限可加性，单调性，绝对可积性，积分中值定理。5、理解可变上限的定积分的性质并能熟练的处理相关问题。6、能熟练地应用牛顿莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分法计算定积分。7、了解定积分的近似计算方法。重点：可积理论，定积分的性质与计算。难点：大小和的性质，可积准则。（三）定积分的应用 12学时1、会用微元法解决几何、物理中的一些问题。2、定积分在几何上的应用。掌握平面图形的面积，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的侧面积，曲线的弧长与曲率。3、定积分在
9、物理上的应用。4、会求压力、功、静力矩、重心。重点：几何与物理上的应用。难点：微元法思想。（四）级数 42 学时（1）数项级数1、掌握无穷级数的收敛、发散、和、绝对收敛及条件收敛等概念。2、掌握收敛级数的性质（包括绝对收敛与条件收敛的性质） 。3、熟练掌握正项级数的敛散性判别法。4、掌握交错级数的莱布尼兹判别法，理解任意项级数的狄利克雷、阿贝耳判别法。5、了解级数的重排性质（黎曼定理不证明） 。重点：级数收敛的性质，正项级数收敛判别法。难点：级数收敛的定义，绝对收敛及条件收敛等概念及其判别。（2）函数项级数1、理解收敛域、极限函数、和函数和一致收敛等概念。2、熟练掌握优级数判别法；理解狄利克雷
10、判别法、阿贝耳判别法。3、理解函数列的极限函数的连续性、可积性、可微性、函数项级数的和函数的连续性、可积性（逐项积分）与可微性（逐项微分） 。会用性质处理一些相关问题。重点：函数项级数一致收敛的性质、和函数的分析性质。难点：函数项级数一致收敛的概念。（3）幂级数1、理解幂级数、函数的泰勒级数的概念，了解函数可展成泰勒级数的条件。2、掌握幂级数的内闭一致收敛性，和函数的连续性，可积性（逐项积分）与可微性（逐项微分） 。3、熟练掌握幂级数的收敛半径与收敛域的求法。4、能用幂级数做某些近似计算。重点：幂级数收敛的性质，和函数的性质和计算。难点：和函数的计算。（4）傅里叶哀级数1、掌握三角函数系的正交
11、性与函数的傅里叶级数的概念。2、能正确叙述傅里叶级数收敛性判别法。3、能将一些函数展成傅里叶级数。重点：傅里叶级数收敛定理及函数的傅里叶级数的展开。难点：傅里叶级数收敛定理的证明（可不做要求） 。四、 数学分析 III*课程的教学内容、基本要求与学时分配（总学时 90学时）（一）多元函数及其连续性 10学时1、掌握平面点集的一些基本概念，多元函数的极限，累次极限以及连续性等概念。2、了解闭区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理以及多元连续函数的性质。重点：多元函数的极限、累次极限以及连续性等概念，多元函数的性质难点：平面点集的概念，多元函数极限的概念。（二）多元函数微分学 15 学时1、掌握偏导数
12、、全微分、方向导数、高阶偏导数等概念。2、掌握全微分、偏导数、连续三者之间的关系。3、会求函数的偏导数、全微分、方向导数。4、了解多元函数的泰勒公式。5、理解极值和最值的概念，掌握极值的必要条件，充分条件，会求多员函数的极值和某些函数的最大（小）值。重点：偏导数、全微分的概念和计算，极值和最值的判别和计算。难点：全微分的概念，泰勒公式。（三）隐函数 14 学时1、了解隐函数、函数行列式、条件极值的概念。2、能用隐函数存在定理判别隐函数的存在性，会求隐函数的导数或偏导数。3、理解条件极值的概念及 Lagranges乘数法。会求多元函数的条件极值。4、会求曲线的切线方程和法平面方程，曲面的切平面方
13、程和法线方程。重点：隐函数的概念和存在定理的应用。难点：隐函数存在定理的证明。（四）反常积分与含有参变量的积分 15学时1、掌握反常积分（无穷积分、瑕积分）收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念。2、能用收敛性判别法判断一些广义积分的敛散性。3、理解含有参变量积分的概念和分析性质，了解 -函数、 -函数的性质。4、能用收敛性判别法判断一些广义含参积分的敛散性。重点：反常积分与含参积分收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的性质与判别.难点：含参积分的分析性质的证明。（五）重积分 18学时1、理解二重积分与三重积分的概念。2、理解二重积分与三重积分的性质。3、掌握直角坐标系及极坐标系下二重积分的计算方法，
14、能将三重积分化为累次积分，并利用柱面坐标、球面坐标计算三重积分。4、会求一些图形的面积、体积以及一些物体的质量和重心。重点：二重积分与三重积分的计算。难点：二重积分与三重积分换元积分法。（六）曲线积分与曲面积分 18学时1、理解第一型曲线积分及第二型曲线积分的定义、性质，掌握第一型、第二型曲线积分的计算方法，了解第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系；掌握格林公式。2、理解第一型曲面积分的定义、性质；第二型曲面积分的定义、性质，掌握第一型、第二型曲面积分的计算方法，了解第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系；理解奥高公式,了解斯托克斯公式。3、了解场论初步。重点：第一、第二曲线积分与曲面积分的计算，格林公式与高斯公式。难点：第一、第二曲线积分与曲面积分的概念，斯托克斯公式。五、推荐教材和主要参考书：1、推荐教材：（1）刘玉琏 等编著，数学分析讲义（上、下册） ，北京：高等教育出版，第四版，2003.7。2、推荐参考书：（1）谢惠民等，数学分析讲义（上、下册） ，北京： 高等教育出版。（2）陈纪修等著，数学分析（上、下册，北京： 高等教育出版。（3）华东师范大学数学系 著，数学分析 （上、下册） ，北京：高等教育出版。（4）裴礼文 著，数学分析典型问题与方法，北京：高等教育出版社出版。大纲制订者：刘学飞大纲审定者：陈小春
