1、初中数学讲义函数初步1常量与变量，函数：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终保持不变的量称为常量一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说其中 x 是自变量，y 是因变量，y 是 x 的函数. 如果当 x=a 时 y=b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值. 表示函数关系的等式就是函数的解析式.例如 圆的面积 S 与半径 r 之间存在相应的关系： S=r2， 是常量，S 随着r 的变化而变化，r 是自变量，S 是因变量，S 是 r 的函数，当 r=l 时，函数值S=；当 r=3 时，
2、函数值 S=9，这里等式 S=r2 为函数解析式函数自变量的取值范围，初中阶段主要包括：(1)整式：一般为全体实数(2)根式：根指数为偶数时被开方数为非负数(3)分式：分母不为零(4)实际问题：符合实际意义例如 函数 y =2x2 -1、y= 、y= 自变量取值范围分别为：全体实1x23数、x-1、x2. 【例 1】(1)判断下列所指的量之间是否是函数关系，若是，写出函数关系式，请指出其中的自变量三角形的面积 S(cm2)与长为 5(cm)的边上的高 h(cm)之间某人坐公交车从甲站去往乙站，已知全程中各站票价均为 0.4 元，票价y 元与经过的车站数 x 之间某种活期储蓄的月利率为 0.06
3、%，若存入本金 100 元，本息和 y 元与所存月数 x 之间(2)下图分别给出了变量 y 与 x 之间的对应关系，y 是 x 的函数的图象是( )【例 2】判断下列式子中 y 是否是 x 的函数，若是，请指出自变量 x 的取值范围：;53)1(xy;12)(;)3(2y|;3|)4(y;2| ;6xy;7x;8x【例 3】(1) 三角形的周长是 ycm，三边长分别为 4cm，6cm，xcm ，则以 x 为自变量表示 y 的函数关系式为 ，自变量 x 的取值范围是_；矩形周长为 30，则面积 y 与一条边长 x 之间的函数关系式为 ，其中 x的取值范围是_(2 )一个小球由静止开始从一个斜坡向
4、下滚动，其速度每秒增加 2 米，则小球的速度 v 随时间 t 变化的函数关系式为_；第 2.5 秒时小球的速度为 .(3) 从甲地向乙地打长途电话，不超过 3 分钟，收费 2.4 元，超过 3 分钟的部分，每分钟一元，以后每超一分钟加收一元，则付话费 y 元与通话时间 x 分钟（x3且 x 是整数）之间的函数关系式为 ；若通话时间是 2 分钟，则收费 元；若 y=4.4，则 t =_【解析】 (1) y=l0+x, 20 时，函数和函数中，y 是随着 x 的增大而增大，还是随着 x 的增大而减小？当 x0 时呢？【例 5】 (1)小红的爷爷饭后出去散步，从家中走 20 分钟到一个离家 900
5、米的街心花园，与朋友聊天 10 分钟后，用 15 分钟返回家里图中表示小红的爷爷离家的时间与外出的距离之间的关系是 ( )(2)小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“ 儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”如果用纵轴 y 表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴 x 表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是( )(3)如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石予放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水在这则乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时并设时间为 x，瓶中水
6、位的高度为 y，下列图象中最符合故事情景的是( )【例 6】下面的图象反映的过程是：李明从家跑去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步回家，其中 x 表示时间，y 表示李明离家的距离，请根据以上图象信息回答下列问题：(1)体育场离家多远？李明从家到体育场用了多长时间？(2)体育场离文具店有多远？(3)李明在文具店停留了多久？(4)李明从文具店回家的平均速度是多少？【解析】(1)2.5 千米，15 分钟： (2)1 千米： (3) 20 分钟：(4) 1.5+(95 -65)= 0.05（千米分）容易做错的题l 函数 中，自变量 x 的取值范围是( )xy32且.A.B3.C2.
7、xD32 已知函数 当 时，相对应的函数值 ；当 时，,1251ymx2相对应的函数值 ；反过来，当 y=7 时，自变量 x=_2y3 某天，小明走路去学校，开始他以较慢的速度匀速前进，然后他越走越快走了一段时间，最后他以较快的速度匀速前进到达学校小明走路的速度 V（米分钟）是时间 t（分钟）的函数，能正确反映这一函数关系的大致图象是 ( )课外练习题(1)在函数 中，自变量 x 的取值范围是( )31xy.A0.B3.C.xD(2)在函数 中，自变量 x 的取值范围是 7(3)下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是( )2. 某商店售货时，在进价的基础上加一定的利润，其数量与售价如下表：数
8、量x (kg) 1 2 3 4 5售价y元） 8+0.4 16+0.8 24+1.2 32+ 1.6 40+ 2.0(1)请写出 y 与 x 的函数关系式，并指出常量和变量；(2)求出当数量为 6.5kg、8kg 时的售价分别是多少？3. (1)等腰三角形顶角 y 与底角 x 之间的函数关系式是_，自变量 x 的取值范围是 (2)汽车油箱中原有油 100 升，汽车每行驶 50 千米耗油 10 升，油箱剩余油量y（升）与汽车行驶路程 x（千米）之间的关系为 ，自变量 x 的取值范围是_，当函数值 y=50 时，自变量 x= (3)在同一平面内，l 条直线可以把平面分成 2 个部分，2 条直线最多
9、可以把平面分成 4 个部分，则 3 条直线最多可以把平面分成 个部分若 n 条直线最多可以把平面分成 P 个部分，则 P 与 n 之间的关系式为 _ .4. (1)某洗衣机在洗衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水） ，在这三个过程中洗衣机内水量 y（升）与时间 x（分）之间的函数关系对应的图象大致为( )(2)如图：是张老师出门散步时离家的距离 y 与时间 x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是( )【演练 5(1)一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地已知轮船在静水中的速度为 15 km/h，水流速度为 5 kmh轮船先从甲地
10、顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地，设轮船从甲地出发后所用时间为 r(h)，航行的路程为 s(km)，则 s 与 f 的函数图象大致是( )(2)甲、乙两人准备在一段长为 1200m 的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s 和 6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面 lOOm 处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离 y(m)与时间 f(s)的函数图象是( )(1)星期天，小王去朋友家借书，下图是他离家的距离 y（千米）与时间 x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是( )A小王去时的速度大于回家的速度
11、B小王在朋友家停留了 10 分钟C小王去时所花的时间少于回家所花的时间D小王去时走上坡路，回家时走下坡路(2)如图甲、乙二人沿相同的路线由爿到曰匀速行进，爿、B 两地间的路程为 20km.他们行进的路程 s(km)与甲出发后的时间 f(h)之间的函数图象如图所示，根据图象信息可知甲的速度是_km h，乙的速度是km/h，乙比甲晚出发_小时一辆汽车和一辆摩托车分别从彳，B 两地去同一城市，它们离么地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论错误的是( )A摩托车比汽车晚到 lh B.A，B 两地的路程为 20 kmC摩托车的速度为 45km/h D汽车的速度为 60 km/h如图所示，该曲线是某一函数的完整图象，请根据图象求：(1)自变量 x 的取值范围是 一(2)函数 y 的对应值范围是 一(3)当 x=O 时，函数 y 的值是 一(4)当 y= -2 时，x 的值是 (5)当 x=_时，y 的值最大，当 x= 时，Y 的值最小(6)当 X 的值 _时，Y 随 X 的增大而增大
