1、 中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案第 32 讲 不等式解法及应用一课标要求：1不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；2一元二次不等式经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。3 二元一次不等式组与简单线性规划问题从实际情境中抽象出二元一次不等式组
2、；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。二命题走向分析近几年的高考试题，本将主要考察不等式的解法，综合题多以与其他章节（如函数、数列等）交汇。从题型上来看，多以比较大小，解简单不等式以及线性规划等，解答题主要考察含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用。预测 2013 年高考的命题趋势：1结合指数、对数、三角函数的考察函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答题形式出现；2以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考察考生阅读以及分析、解决问题的能力；3在函数、不等式、数
3、列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题，特别注意与函数、导数综合命题这一变化趋势；4对含参数的不等式，要加强分类讨论思想的复习，学会分析引起分类讨论的原因，合理分类，不重不漏。三要点精讲1不等式的解法中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网解 不 等 式 是 求 定 义 域 、 值 域 、 参 数 的 取 值 范 围 时 的 重 要 手 段 ， 与 “等 式 变形 ”并 列 的 “不 等 式 的 变 形 ”， 是 研 究 数 学 的 基 本 手 段 之 一 。高考试题中，对解不
4、等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。（1）同解不等式（(1) 与 同解；fxg()fxFgx()()（2） 与 同解， 与mf0， mmfgx0， ()同解；fxg()()（3） 与 同解）；f()0fxgx()()02一元一次不等式解 一 元 一 次 不 等 式 （ 组 ） 及 一 元 二 次 不 等 式 （ 组 ） 是 解 其 他 各 类 不 等 式 的 基 础 ，必 须 熟 练 掌 握 ， 灵 活 应 用 。情况分别解之。axba分 ()()10233一元二次不等式或 分 及 情况分别axbca20()xbca20()0a解之，还要注意 的三种情况，即 或 或 ，最好联系二
5、次函c24数的图象。4 分 式 不 等 式分 式 不 等 式 的 等 价 变 形 ： 0 f(x)g(x)0， 0)(gf)(f。0)(xgf5简单的绝对值不等式绝 对 值 不 等 式 适 用 范 围 较 广 ， 向 量 、 复 数 的 模 、 距 离 、 极 限 的 定 义 等 都 涉 及 到绝 对 值 不 等 式 。 高 考 试 题 中 ， 对 绝 对 值 不 等 式 从 多 方 面 考 查 。解 绝 对 值 不 等 式 的 常 用 方 法 ：讨 论 法 ： 讨 论 绝 对 值 中 的 式 于 大 于 零 还 是 小 于 零 ， 然 后 去 掉 绝 对 值 符 号 ， 转化 为 一 般 不
6、 等 式 ；中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网等 价 变 形 ：解 绝 对 值 不 等 式 常 用 以 下 等 价 变 形 ：|x|0)，|x|a x2a2 xa 或 x0)。一 般 地 有 ：|f(x)|g(x) f(x)g (x)或 f(x)0 的解集为（ ）31xA.x|x3C.x|x3 D.x|10，0xx3.故原不等式的解集为x| x3。点评：简单的分式不等式的解法是高中数学中常用到的求范围问题工具，分式不等式的解题思路是：分式化整式（注意分母不为零） 。题型 2
7、：简单的绝对值、涉及指数、对数和三角的不等式的求解问题例 3（1）不等式（1x）（1x）0 的解集是（ ）Ax0x1 B.x x0 且 x1 Cx 1 x1 D.xx1 且 x1中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网（2）不等式组 的解集是（ ）|2|30xxA.x0x2 B.x 0x2.5 C.x 0x D.x0 x36解析：（1）答案：D；解法一： x0 时，原不等式化为：（1x）（1x）0，（ x1）（x 1）0， 0x1。x0 时，原不等式化为：（1x）（1x）0 （1
8、x） 20，x1，x0 且 x1 。综上，不等式的解集为 x1 且 x1。解法二：原不等式化为： 或 0|0|x解得 1x1，|解得 即 x1，|原不等式的解集为 x1 且 x1。点评：该题体现了对讨论不等式与不等式组的转化及去绝对值的基本方法的要求。（2）答案：C解法一：当 x2 时，原不等式化为 ，23x去分母得（x+2）（3x ）（x +3）（x 2），即x 2x6x 2x6，2x 2120， 。6注意 x2，得 2x ；中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网当 0x2
9、时，原不等式化为 ，去分母得x 2x6x 2x 6。23即 2x0 注意 0x 2，得 0x 2。综上得 0x ，所以选 C。6解法二：特殊值法.取 x=2，适合不等式，排除 A；取 x=2.5，不适合不等式，排除 D；再取 x= ，不适合不等式，所以排除 B；选 C。点评：此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力。例 4 （1）不等式（ ） 3 2x 的解集是_。182x（2）在（0，2）内，使 sinxcosx 成立的 x 取值范围为（ ）A.（ ， ）（ ， ） B.（ ，）4454C.（ ， ） D.（ ，）（ ， ）523（3）设 f(x)= 则不等式 f(x)2 的解集为（ ）
10、,2)1(log,2xtt(A)（1，2） （3，+ ） (B)（ ，+ ）10(C)（1，2） （ ，+） (D)（1，2 ）10解析：（1）答案：x|2x4将不等式变形得 xx2832则x 282x ，从而 x2 2x80，（x2）（x4） 0，2x4，所以不等式的解集是x |2x4评述：此题考查指数不等式的解法；（2）答案：C解法一：作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标 和4中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网，由图 46 可得 C 答案。5图
11、 46 图 47解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选 C.（如图47） 。（3）C；点评：特殊不等式的求解，转化是一方面，借助于函数的性质和图象也是解决问题的有效手段。题型 3：含参数的不等式的求解问题例 5 （1）设不等式 x22ax+a+20 的解集为 M，如果 M 1，4 ，求实数 a 的取值范围？（2）解关于 x 的不等式 1(a1)。2)1(x分析：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗。解析：（1）M 1，4有两种情况：其一是 M= ，此时 0；其二是 M ，此时 =
12、0 或 0，分三种情况计算 a 的取值范围。设 f(x)=x2 2ax+ a+2，有 =(2a) 2(4 a+2)=4(a2a2)当 0 时， 1a2，M= 1，4 ；当 =0 时，a= 1 或 2；当 a=1 时 M=1 1，4 ；当 a=2 时，m =2 1，4 。当 0 时，a 1 或 a2。设方程 f(x)=0 的两根 x1，x 2，且 x1x 2，那么 M=x 1， x2 ，M 1，4 1x1x 24 ，0,4)()1(且且aff中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网
13、即 ，解得 2a ，10783a或 718M 1，4时，a 的取值范围是 (1， )。（2）原不等式可化为： 0，2)(xaa当 a 1 时，原不等式与 (x )(x2)0 同解。1由于 ，原不等式的解为(， )(2，+)。 12a当 a 1 时，原不等式与 (x )(x2) 0 同解。由于 ，2若 a0， ，解集为( ，2) ；12a12a若 a=0 时， ，解集为 ；若 0a1， ，解集为(2， )。112a综上所述：当 a1 时解集为(， )(2，+) ；当 0a1 时，解集为(2 ，)；当 a=0 时，解集为 ；当 a0 时，解集为( ，2)。12 2点评：考查二次不等式的解与系数的关
14、系及集合与集合之间的关系。本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想。 M=是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于 a 的不等式要全面、合理，易出错。例 6 （1）设 a 0,n 1,函数 f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.则不等式 logn(x2-5x+7) 0 的解集为_ _；（2）设 ，函数 有最小值，则不等式0,2()log(3)af的解集为 。log(1)ax解析：（1）由于函数有最大值，则 。所以原不等式可转化为10中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精
15、品学科资料中学学科网学海泛舟系列资料 WWW.ZXXK:COM 版权所有 中学学科网，又因为 恒成立，由17502x 043)25(752 xx解得 ；3（2）由于函数有最小值，故 。原不等式化为 ，即 。1a1x1x点评：含参数指数、对数不等式的处理原则是转化为一般的不等式，兼顾到底数的分类标准为 两种情况，这也是分类的标准。10,a题型 4：线性规划问题例 7（1）如果实数 满足条件 ， 那么 的最大值为（ xy、 01yx2xy）A B C D2123（2）设变量 、 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ xy63xyyxz2）A B C D2349解析：（1）当直线 过点(0，-1) 时， 最大，故选 B；2xytt（2）B点评：近年来线性规划的一些基本运算问题成为出题的热点，该部分知识大多都属于基础题目，属于中低档题目。例 8（1）某厂生产甲产品每千克需用原料 和原料 分别为 ，生产乙产品每AB1,ab千克需用原料 和原料 分别为 千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为 元，AB2,ab 12,d月初一次性够进本月用原料 各 千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千1c克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 千克，x千克，月利润总额为 元，那么，用于求使总利润 最大的数学模型中，约yz 12zdxy束条件为（ ）
