1、第八讲 不等式的应用不等式与各个数学分支都有密切的联系，利用“大于”、“小于”关系，以及不等式一系列的基本性质能够解决许多有趣的问题，本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用例 1 已知 x0，-1y0，将 x，xy，xy2 按由小到大的顺序排列分析 用作差法比较大小，即若 a-b0，则 ab；若 a-b0，则ab解 因为 x-xy=x(1-y)，并且 x0，-1y0，所以 x(1-y)0，则xxy因为 xy2-xy=xy(y-1)0，所以 xy2xy因为 x-xy2=x(1+y)(1-y)0，所以 xxy2综上有 xxy2xy例 2 若试比较 A，B 的大小显然，2xy，y0，所以 2x-y0，
2、所以 A-B0，AB例 3 若正数 a，b，c 满足不等式组试确定 a，b，c 的大小关系解+c 得+a 得+b 得由，得所以 ca同理，由，得 bC所以 a，b，c 的大小关系为 bca例 4 当 k 取何值时，关于 x 的方程3(x+1)=5-kx分别有(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于 1 的解解 将原方程变形为(3+k)x=2(1)当 3+k0，即 k-3 时，方程有正数解(2)当 3+k0，即 k-3 时，方程有负数解(3)当方程解不大于 1 时，有所以 1+k，3+k 应同号，即得解为 k-1 或 k-3注意 由于不等式是大于或等于零，所以分子 1+k 可以等于零，而分母是不
3、能等于零的。例 5 已知求x-1- x+3的最大值和最小值x-1- x+3达到最大值 4结合 x-3 时的情形，得到：在已说明 对含有绝对值符号的问题，无法统一处理一般情况下，是将实数轴分成几个区间，分别进行讨论，即可脱去绝对值符号例 6 已知 x，y，z 为非负实数，且满足x+y+z=30，3x+y-z=50求 u=5x+4y+2z 的最大值和最小值解 将已知的两个等式联立成方程组所以+得4x+2y=80，y=40-2x将 y=40-2x 代入可解得z=x-10因为 y，z 均为非负实数，所以解得 10x20于是u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10)=-x+140当 x
4、 值增大时，u 的值减小；当 x 值减小时，u 的值增大故当x=10 时，u 有最大值 130；当 x=20 时，u 有最小值 120例 7 设 a，b，c，d 均为整数，且关于 x 的四个方程(a-2b)x=1，(b-3c)x=1，(c-4d)x=1，x+100=d的根都是正数，试求 a 可能取得的最小值是多少？解 由已知(a-2b)x=1，且根 x0，所以 a-2b0，又因为 a，b 均为整数，所以 a-2b 也为整数，所以a-2b1，即 a2b+1同理可得，b3c+1，c4d+1，d101所以a2b+12(3c+1)+1=6c+36(4d+1)+3=24d+924101+9=2433，故
5、 a 可能取得的最小值为 2433求 pq 的值解 由已知所以 21q30p22q因为 p，q 都为自然数，所以当 q 分别等于 1，2，3，4，5，6 时，无适当的 p 值使 21q30p22q 成立当 q7 时，14730p154，取p=5 可使该不等式成立所以 q 最小为 7，此时 p=5于是 pq=57=35例 9 已知：bc，1ab+ca+1，求证： ba分析与证明 要学会充分利用不等式的基本性质，按照一定的逻辑顺序来展开推理论证因为 bc，所以 2bb+c，所以由 b+ca+1 得 2ba+1，所以由1a 得 1+a2a，所以2b1+a2a，即 ba 成立分析与解 由题设可知 x1
6、，y2，z3，所以又 x3 时，也不成立，故 x 只能为 2当 x=2 时，令 y=3，则 z=6当 x=2，y4 时，不成立故本题只有一组解，即 x=2，y=3，z=6例 11 某地区举办初中数学联赛，有 A，B，C，D 四所中学参加，选手中， A， B 两校共 16 名；B，C 两校共 20 名； C， D 两校共 34 名，并且各校选手人数的多少是按 A，B，C，D 中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数解 设 A，B，C，D 四校的选手人数分别为 x，y，z，u据题意有由，可知，x+yy+z，所以 xz又由于人数的多少是按A，B，C，D 四校的顺序选派的，所以有 xyzu由与 xy 得
7、 16-y=xy，所以 y8由与 yz 得 20-y=zy，所以 y10于是 8y10，所以 y=9(因为人数是整数)将 y=9 代入，可知 x=7，z=11，再由有 u=23故 A 校 7 人，B 校 9 人，C 校 11 人，D 校 23 人注意到 x 只能取 1，2，3，4，9 这九个数字，所以 x=2，所以所以 y=1，z=4所以 x=2，y=1，z=4练习八1如果 abc，并且 xyz，那么在四个代数式(1) ax+by+cz；(2)ax+bz+cy；(3) ay+bx+cz；(4) az+bx+cy中哪一个的值最大？2不等式 10(x+4)+x62 的正整数解是方程2(a+x)-3x=a+13已知 y=x+2+x-1-3x-6，求 y 的最大值4已知 x，y，z 都为自然数，且 xy，当 x+y=1998，z-x=2000 时，求 x+y+z 的最大值5若 x+y+z0，xy+yz+zx0，xyz0，试证：x0，y0，z0能值之和是多少？
