1、14-11 一次函数与反比例函数的综合1、一次函数与反比例函数的图像和性质基本概念、图像与性质、一次函数与反比例函数在同一个坐标系中的情况一般地，如果 ykxb(k、b 是常数，k0) ，那么 y 叫做 x 的一次函数特别地，当 b0 时，一次函数 ykxb 就成为 ykx(k 是常数，k0) ，这时，y 叫做 x 的正比例函数由定义知：y 是 x 的一次函数它的解析式是 ykxb，其中 k、b 是常数，且 k0.一次函数解析式 ykxb(k 0)的结构特征：(1)k0；(2)x 的次数是 1；(3)常数项 b 可为任意实数正比例函数解析式 ykx(k 0)的结构特征：(1)k0；(2)x 的
2、次数是 1；(3)没有常数项或者说常数项为 0.1反比例函数：一般地，形如 xky(k 为常数，k0）的函数叫做反比例函数.其中 x是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数. 反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k 为常数，k0； K 的几何意义。 (2)自变量 x 的取值范围是 x0 的一切实数,且要使实际问题有意义。考查要点：函数图像的情况与字母系数存在着密切的联系。例 1下面图象中，关于 x 的一次函数 ymx ( m3)的图象不可能是( )例 2图中表示一次函数 与正比例函数 （ 、 是常数， ）图象的是ymxnymnx0mn（ ）例 3一次函数 y3x b 的图象与两坐标轴围成
3、的三角形面积是 24，求 b.课堂练习1、如图 6，两直线 和 在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）1k2ybxk2设 ba，将一次函数 y=bx+a 与 y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内， 则有一组a，b 的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ ）yxOAyxOByxOCyxOD3 已知 y=kx+b 的图像如图所示，则 y=2kx+b 的图像可能是关于一次函数与反比例函数在同一坐标系中的情况，题目的及全体思路：排除法、一致性。例 1.在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是（ ）kxy)0(y课堂作业1（凉州） 若 ，则正比例函数 与反比例函数 在同一坐标系中的大致图
4、0abyaxbyx象可能是（ ）2（2006 年深圳市）函数 y= （k0）的kx 图象如图所示，那么函 数y=kx-k的图象大致 是（ ）yxOCyxOAyxODyxOB二、函数应用题需考虑实际的背景及自变量的取值范围例 1、如图：是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的速度注水，下面能大致表示水的最大深度 h（水不注满游泳池）与时间 t 之间的关系的图象是( )例 2. 如图是某条公共汽车线路收支差额 y 与乘客量 的函数图象（实线部分，收支差额=x车票收入支出费用） 。由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：（1）不改变车票价格，减少支出费用；(2)不
5、改变支出费用，提高车票价格下面给出四个图象（如图所示）则A. 反映了建议（2） ，反映了建议（ 1） B. 反映了建议（1） ，反映了建议（ 2）C. 反映了建议（1） ，反映了建议（ 2） D. 反映了建议（2） ，反映了建议（ 1）例 3 例 4 为了预防“非典”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒, 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量 y(mg)与时间 x(min)成正比例.药物燃烧后,y 与 x 成反比例( 如图所示), 现测得药物 8min 燃毕, 此时室内空气中每立方米的含药量为 6mg,请根据题中所提供的信息,解答下列问题:(1)药物燃烧时,y 关于 x 的函数关系式为:
6、 _, 自变量 x 的取值范围是:_,药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为_.(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于 1.6mg 时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过多少分钟后,学生才能回到教室;(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于 3mg 且持续时间不低于 10min 时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?（2005 年四川省课改卷） 6O 8 x(min)y(mg)课堂练习1. (双柏县)已知甲、乙两地相距 （km） ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时s间 （h）与行驶速度 （km/h）的函数关系图象大致是（ ）tv2 （2010
7、 年浙江省东阳县）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s看作时间 t的函数，其图像可能是（ ）3、 （2010 年宁波市）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是 4 千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线 OA BC 和线段 OD 分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间 （分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：st（1）小聪在天一阁查阅资料的时间为_分钟，小聪返回学校的速度为_千米/分钟。（2）请你求出小明离开学校的路程 （千米）与所经过的时间 （分钟
8、）之间的函数关st系;（3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？(A) (B) (C) (D)t/hv/(km/h)Ot/hv/(km/h)Ot/hv/(km/h)Ot/hv/(km/h)OA B C Ds（千米）t（分钟）A B DC30 4515O24小聪小明第 1 题三、反比例函数与一次函数综合应用1）面积问题例 1.如图 4，反比例函数 的图象与直线x4y的交点为 A，B ，过点 A 作 y 轴的平行线与过点x3yB 作 x 轴的平行线相交于点 C，则 的面积为（ ）A. 8 B. 6 C. 4 D. 2课堂练习20(2011 重庆綦江，23，10 分)如图，已知 A（
9、4， a） ，B（2，4）是一次函数 y kx b 的图象 和反比例函数xmy的图象的交点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求 AOB 的面积.2）一次函数与反比例函数综合解析例 1. （6 分）如图，已知反比例函数 的图象和一次函数 y=kx7 的图象都经过点xy12P（m，2）（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形 ABCD 的顶点 A、B 在这个一次函数的图象上，顶点 C、D 在这个反比例函数的图象上，两底 AD、BC 与 y 轴平行，且点 A 和点 B 的横坐标分别为a、b（ba0） ，求代数式 ab 的值。例 2 如图，反比例函数 xky在第一象限内的图象上有两
10、点 A、B，已知点 A（3m,m） 、点B（n，n+1） （其中 0n,m） ， 102OA。（1）求 A、B 点的坐标及反比例函数解析式；（2）如果 M 为 x 轴上一点，N 为坐标平面内一点，以 A、B、M、N 为顶点的四边形是矩形，请直接写出符合条件的 M、N 点的坐标，并画出相应的矩形。例 3反比例函数 y= ( 0)与函数 y= ( 0)的3x图象如图所示，它们的交点为 A，(1)点 A 的坐标为_；(2)若反比例函数 的图象上的3yx另一点 B 的横坐标为 1，BC x 轴于点 C，则四边形ABOC 的面积等于_2. （ 2011 山东威海，18，3 分）如图，直线 1lx轴于点
11、(,0)，直线 2lx轴于点(2,0)，直线 lx轴于点 (,0)，直线 nl轴于点 ,.函数 y的图象与直线 1l，l， 3， n分别交于点 1A， 2， 3， A；函数 2yx的图象与直线 1l， 2， 3，n分别交于点 1B， 2， 3， nB.如果 1O的面积记作 1S,四边形 AB的面积记作 2S,四边形 的面积记作 3S,四边形 nnB的面积记作 nS,那么01. 11. 如图，直线 y=mx 与双曲线 交于 A、B 两点，过点 A 作 AMx 轴，垂足为xkyM，连结 BM，若 SABM =2，则 k 的值是A. 2 B. m2 C. m D. 425已知：双曲线 (t 为常数，
12、t0)经过点 M(一 2，2)；它关于 y 轴对称的双1:tCyx曲线为 ，直线 (k、b 为常数，k0)与双曲线 的交点分别为2lk2CA(1，m)，B(n，一 1) (1)求双曲线 的解析式；2C(2)求 A、B 两点的坐标及直线 的解析式；1l(3)若将直线 平移后得到的直线 与双曲线 的1l22C交点分别记为 C、D(A 和 D，B 和 C 分别在双曲线的同一支上)，四边形 ABCD 恰好为矩形，请直2接写出直线 CD 的解析式12如图，在函数 （x0）的图象上，有点 ，12y1P， ， ， ，若 的横坐标为 a，且以后2P3n1P点的横坐标与它前面一个点的横坐标的差都为 2，过点，
13、， ， ， 分别作 x 轴、y 轴的垂线123n1段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为 ， ， ， ，则 = 1S23nS1， + + + = （用 n 的代数式1S23n表示）8如图，矩形 中， ， ， 是 的中点，点 在矩形的边上沿ABCD12AMCDP运动，则 的面积 与点 经过的路程 之间的函数关系用图MP yPx象表示大致是下图中的yx8642OS3S2S1P1P2 P3 P4y = 12xC D11 2 3 3.5 xy0A11 2 3 3.5 xy0B11 2 3 3.5 xy011 2 3 3.5 xy0CBAM作业1（泰安市）函数 的图象如图所示，
14、下列对该函数性质的论断不可能正确的是（ 1yx）yxO12A该函数的图象是中心对称图形 B当 时，该函数在 时取得最小值 20x1xC在每个象限内， 的值随 值的增大而减小 D 的值不可能为 1yxy3（2011 延庆二模）12在平面直角坐标系中，正方形 的位置如图所示，ABCD点 的坐标为 ，点 的坐标为 A)0,1(D)2,0(延长 交 轴于点 ，作正方形 ；CBxA1延长 交 轴于点 ，作正方形 122按这样的规律进行下去，第 个正方形的面积为_；3第 个正方形的面积为_（用含 的代数式表示）nn4.（2010 年山东省济南市）如图,已知直线 与双曲线 交于 A，B 两点，12yx(0)kyx且点 A 的横坐标为 4. （1）求 k 的值；（2）若双曲线 上一点 C 的纵坐标为 8，求 AOC 的面积；(0)ykx（3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 于 P，Q 两(0)kyx点（P 点在第一象限） ，若由点 A，B，P，Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标yo xA A1A2B1B B2C2C1CD第 12 题图
