1、初中奥数不等式题型解法初探（摘要）：本文对初中奥数中出现的不等式题型解题中常见方法和技巧进行了归纳和总结，针对具体题目分四种方法进行讲解。（关键词）：不等式不等式涉及数量之间大小的比较，揭示变量之间的制约关系，其内容非常丰富，应用相当广泛，在数学的所有领域中都起着重要作用。初中数学竞赛中不等式的题目多种多样，解题方法和技巧也是多种多样，通过对不等式的解法的学习，可以开阔学生的解题思路，活跃学生思维，从而达到提高学生智力的目的。本文将联系不等式的一些知识，集中介绍不等式证明和求解的一些方法和技巧。一、比较法比较法是实数比较大小中最常用的方法，常用的比较方法有：作差、作商、平方、倒数等方法。（一）
2、 、作差比较例 1、比较： 与 的大小2019解： 2 0)()20( 0 219（二） 、作商比较例 2、设 P ,Q ,R ,则1234651234612345P、Q、R 的大小关系？解： 1123465 PPQ同理 QR（三） 、平方比较例 3、比较： 与 的大小。192010解：( )24000+2294000+2 120(2 )242000040002 2(2 )2( )2019 0，2 0192 （四） 、倒数比较例 4、比较 与 的大小。15413解： +134413 5 0， 01413 二、放缩法放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地
3、进行放缩，可以化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不到结论，或得出相反的结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。例 5、已知 x、y 是实数，且 x2xyy 21求证： x 2xyy 2331分析：因为 x2xyy 21，欲证 x 2xyy 23即证： 2xy由完全平方可知，x 2y 22xy，或 x2y 22xy证明：当 x，y 同号时，x 2y 22xy则 x2xyy 22xyxy3xy3xy1，0xy 31x 2xyy 2xyx 2xyy 2当 x，y 异号时，x2y 22xy则 x2xyy 22xyxyxyxy10xy1x
4、2xyy 23xyx2xyy 23 x 2xyy 23当 x，y 中有一个为 0，则另一个为 1，则 x2xyy 21，显然满足。证毕总之，如何确定放缩的尺度是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。而基本不等式，在放缩法的应用有着重要作用。三、构造法在不等式的解题过程中，构造技巧常被采用，作为促进转化、简化、证明的手段，无疑它是最能体现创造思维和转化能力的重要一环。（一）构造二次函数例 6、已知当 0x1 时，二次三项式 x22axa 21 的值恒为正数，求实数 a 的范围。解：令 yx 22axa 21(xa) 21 (x a 1) (x a1)则这个函数的图象与 x 轴交总为（a1，0）
5、 ， （a1，0） y二次项系数为 1，图象开口向上当 0x1 时，二次三项式的恒为正数函数图象，如图所示可分两种情况：由 a11 时，得 a2 由 a10 时，得 a1 0 a-1 a+1 xa 的取值范围是 a2 或 a1（二）构造图形例 7、已知 0ac ，0bc ，求证： 2b2)(bca 2 c22)()(c)(分析：根据题意，可联系勾股定理，此题可作长为 c 的正方形，a、b 为其边上的线段长。由图可知： AE 2baCE 2)()(ccAC2根据三角形两边之和大于第三边，可得： A D c B 2ba22)()(ba同理可得： cc2a当 ab 时，取等号2上两式相加即得所需证明
6、的不等式成立。 B C四、反证法例 8、设正数 x、y、z 满足不等式 1zxyyzxxyz222求证：xyz0证明：由题设不等式变形得：z(x 2y 2z 2)x(y 2z 2x 2)y(z 2x 2y 2)2xyz0z(xy) 2z 2x(yz) 2x 2y(z x) 2y 20分解因式得：(x yz)(yzx)(zxy) 0 （*）不妨设 0xyzyzx，z xy假设 xyz0，则(xyz)(yz x)(zxy)0这与（*）式矛盾xyz0以上都是从问题的结构特征着手，多角度、多方面、多层次地思考问题，仔细分析数量关系，揭示条件与结论的联系，联想概念、性质、定理、公式，依次确定科学合理的解题方法，从而使问题得到简捷、巧妙地解决。这种灵活的证题方法，可以达到提高学生智力，培养解题技巧和创造力的目的。参考文献1、岑申、王而治 数学竞赛阶梯训练 浙江教育出版社 199912、刘汉文 初中数学竞赛同步辅导 华中师大出版社 199913、单 、熊斌 奥数教程 华东师大出版社 2000114、丰宪、愚石 初中数学竞赛题解精选 华中师大出版社 199925、方运加、董凤举 数学奥林匹克教材 首都师大出版社 19948初中奥数不等式题型解法初探作者： 傅永华所在学校：诸暨市店口一中写作日期：2001 年 12 月
