1、初中数学竟赛辅导资料 (1)数的整除（一）内容提要：如果整数 A 除以整数 B(B0)所得的商 A/B 是整数,那么叫做 A 被 B 整除. 0 能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征除 数 能被整除的数的特征2 或 5 末位数能被 2 或 5 整除 4 或 25 末两位数能被 4 或 25 整除8 或 125 末三位数能被 8 或 125 整除3 或 9 各位上的数字和被 3 或 9 整除(如 771，54324)11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被 11 整除(如 143,1859,1287,908270 等)7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各
2、数和相减,其差能被 7 或 11 或 13 整除.(如 1001，22743，17567，21281 等)能被 7 整除的数的特征：抹去个位数 减去原个位数的 2 倍 其差能被 7 整除。如 1001 100298（能被 7 整除） 又如 7007 70014686， 681256（能被 7 整除）能被 11 整除的数的特征：抹去个位数 减去原个位数 其差能被 11 整除如 1001 100199（能 11 整除） 又如 10285 102851023 102399（能 11 整除）例题例 1 已知两个三位数 和 的和仍是三位数 且能被 9 整除。求 x,y3289x75y解：x,y 都是 0
3、 到 9 的整数， 能被 9 整除，y=6. 328 567，x=375y2x例 2 己知五位数 能被 12 整除， 求 X4解：五位数能被 12 整除，必然同时能被 3 和 4 整除，当 1234X 能被 3 整除时，x=2 ，5，8 当末两位 能被 4 整除时，X0，4，8 X 8例 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是 10234，但（124）（03）4，不能被 11 整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为 30，41，52，63，均可， 五位数字都不相同的最小五位数是 10263。练习分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）593 18
4、59 1287 3276 10101 102962若四位数 能被 3 整除，那么 a=_a9873若五位数 能被 11 整除，那么 X _-4124当 m=_ 时， 能被 25 整除5m5当 n=_时， 能被 7 整除n6106能被 11 整除的最小五位数是_,最大五位数是_7能被 4 整除的最大四位数是_，能被 8 整除的最小四位数是_88 个数：125，756，1011，2457，7855，8104，9152，70972 中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6_,8_,9_,11_9 从 1 到 100 这 100 个自然数中，能同时被 2 和 3 整除的共_个，能被 3 整除但不是 5
5、 的倍数的共_个。10 由 1，2，3，4，5 这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被 3 整除的数共有几个？为什么？11 己知五位数 能被 15 整除，试求 A 的值。A12 求能被 9 整除且各位数字都不相同的最小五位数。13在十进制中，各位数码是 0 或 1，并能被 225 整除的最小正整数是（1989 年全国初中联赛题）初中数学竞赛辅导资料（ 2）倍数 约数内容提要1两个整数 A 和 B（B0） ，如果 B 能整除 A（记作 B A） ，那么 A 叫做 B 的倍数，B 叫做 A 的约数。例如 315，15 是 3 的倍数，3 是 15 的约数。2因为 0 除以非 0 的任何
6、数都得 0，所以 0 被非 0 整数整除。0 是任何非 0 整数的倍数，非 0 整数都是 0 的约数。如 0 是 7 的倍数，7 是 0 的约数。3整数 A（A0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现， 0，A，2A，都是 A 的倍数，例如 5 的倍数有5，10，。4整数 A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括 1 和A。例如 6 的约数是1，2，3，6。5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6公约数只有 1 的两个正整数叫做互质数（例如 15 与 28 互质） 。7在有余数的除法中，被除数除数商数余数若用字母表
7、示可记作：ABQR ，当 A，B ，Q，R 都是整数且 B0 时，AR 能被 B 整除例如 23372 则 232 能被 3 整除。例题 例 1 写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，2 2，2 3，2 4，3，3 2，3 3，3 4，23，2 23，2 232 。解：列表如下正整数 正约数 个数计 正整数 正约数 个数计 正整数 正约数 个数计2 1，2 2 3 1，3 2 23 1，2，3，6422 1，2，4 3 32 1，3，3 2 3 223 1，2，3，4，6，12623 1，2，4，84 33 1，3，32，3 34 2232 1，2，3，4，6，9
8、，12，18，36924 1，2，4，8，165 34 1，3，3 2，33，3 45其规律是：设 Aa mbn (a，b 是质数,m，n 是正整数)那么合数 A 的正约数的个是（ m+1）(n+1)例如 求 360 的正约数的个数解：分解质因数：3602 3325，360 的正约数的个数是（31）（21）（11）24（个）例 2 用分解质因数的方法求 24，90 最大公约数和最小公倍数解：242 33，9023 25最大公约数是 23， 记作（24，90）6 最小公倍数是 23325360， 记作24,90=360例 3 己知 32，44 除以正整数 N 有相同的余数 2，求 N解：322，
9、442 都能被 N 整除，N 是 30，42 的公约数（30，42）6，而 6 的正约数有 1，2，3，6 经检验 1 和 2 不合题意，N6，3例 4 一个数被 10 余 9，被 9 除余 8，被 8 除余 7，求适合条件的最小正整数 分析：依题意如果所求的数加上 1，则能同时被 10，9，8 整除,所以所求的数是 10，9，8 的最小公倍数减去 1。解： 10,9,8=360, 所以所求的数是 359练习 2112 的正约数有_,16 的所有约数是_2分解质因数 300_,300 的正约数的个数是_3 用分解质因数的方法求 20 和 250 的最大公约数与最小公倍数。4 一个三位数能被 7
10、，9，11 整除，这个三位数是_5 能同时被 3，5，11 整除的最小四位数是_最大三位数是_6 己知 14 和 23 各除以正整数 A 有相同的余数 2，则 A_7 写出能被 2 整除，且有约数 5，又是 3 的倍数的所有两位数。答_8 一个长方形的房间长 1.35 丈，宽 1.05 丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9 一条长阶梯，如果每步跨 2 阶，那么最后剩 1 阶，如果每步跨 3 阶，那么最后剩 2 阶，如果每步跨 4 阶，那么最后剩 3 阶，如果每步跨 5 阶，那么最后剩 4 阶，如果每步跨 6 阶，那么最
11、后剩 5 阶，只有每步跨 7 阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？初中数学竞赛辅导资料（ 3）质数 合数内容提要1正整数的一种分类：1质 数合 数质数的定义：如果一个大于 1 的正整数，只能被 1 和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数） 。合数的定义：一个正整数除了能被 1 和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。2 根椐质数定义可知1) 质数只有 1 和本身两个正约数， 2) 质数中只有一个偶数 2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是 2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是 2，3 任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积
12、的正整数就是合数。例题例 1 两个质数的和等于奇数 a (a5)。求这两个数解：两个质数的和等于奇数，必有一个是 2所求的两个质数是 2 和 a2。例 2 己知两个整数的积等于质数 m, 求这两个数解：质数 m 只含两个正约数 1 和 m, 又（1） （ m）=m，所求的两个整数是 1 和 m 或者1 和m.例 3 己知三个质数 a,b,c 它们的积等于 30，求适合条件的 a,b,c 的值解：分解质因数：30235适合条件的值共有： 532cba523cba325cba应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为 4 个质数 a,b,c,d 它们的积等于 210,即 abcd=2357 那么
13、适合条件的 a，b ，c，d 值共有 24 组，试把它写出来。例 4 试写出 4 个連续正整数，使它们个个都是合数。解：（本题答案不是唯一的）设 N 是不大于 5 的所有质数的积，即 N235，那么 N2，N3，N4，N5 就是适合条件的四个合数 即 32，33，34，35 就是所求的一组数。本题可推广到 n 个。令 N 等于不大于 n+1 的所有质数的积，那么 N2，N 3，N4，N(n+1)就是所求的合数。练习 31小于 100 的质数共_个，它们是_2己知质数 P 与奇数 Q 的和是 11，则 P，Q 3己知两个素数的差是 41，那么它们分别是4 如果两个自然数的积等于 19，那么这两个
14、数是如果两个整数的积等于 73，那么它们是如果两个质数的积等于 15，则它们是5两个质数 x 和 y，己知 xy=91,那么 x=_,y=_,或 x=_,y=_.6三个质数 a,b,c 它们的积等于 1990. 那么 cba7 能整除 3115 13 的最小质数是8己知两个质数 A 和 B 适合等式 AB 99，ABM。求 M 及 的值BA9试写出 6 个連续正整数，使它们个个都是合数。10具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11求适合下列三个条件的最小整数：1)大于 1 2) 没有小于 10 的质因数 3)不是质数12某质数加上 6 或减去 6 都仍是质数，且这三个质数均在 30 到 5
15、0 之间，那么这个质数是13，一个质数加上 10 或减去 14 都仍是质数，这个质数是。初中数学竞赛辅导资料（ 4）零的特性内容提要一 零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。1零是表示具有相反意义的量的基准数。例如：海拔 0 米的地方表示它与基准的海平面一样高；收支衡可记作结存 0 元。2 零是判定正、负数的界限。若 a 0 则 a 是正数，反过来也成立，若 a 是正数，则 a0记作 a0 a 是正数 读作 a0 等价于 a 是正数bb 时,a-b0 ；当 aa, a 2 a 2, aa, a+1a3x 表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？
16、答：_句。1） （x2） 2 有最小值 0，2）x+3|有最大值 0，3）2x 2 有最大值 2， 4）3x1有最小 3。4绝对值小于 5 的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？6 要使下列等式成立，字母 X、Y 应取什么值？ 0， X（X3）0， X1（Y 3） 207 下列说法正确吗？为什么？1）a 的倒数是 ； 2）方程（a1）X 3 的解是 X a3）n 表示一切自然数，2n1 表示所有的正奇数；4）如果 ab, 那么 m2am2b (a 、b 、m 都是有理数 )8 X 取什么值时，下列代数式的值是正数？ X （ X1） X（X1） （X 2）初中数学竞赛辅导资料（ 5）an 的
17、个位数内容提要1整数 a 的正整数次幂 an,它的个位数字与 a 的末位数的 n 次幂的个位数字相同。例如 20023 与 23 的个位数字都是 8。20，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如 57 的个位数是 5，6 20 的个位数是 6。32，3，7 的正整数次幂的个位数字的规律见下表：指 数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 3 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 底数 7 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 其规律是：2 的正整数次幂的个位数是按 2、4、8、6 四个数字循环出现，即 24k+1 与 21，2
18、 4K2 与 22，2 4K3 与 23，2 4K4 与 24 的个位数是相同的（K 是正整数） 。3 和 7 也有类似的性质。44，8，9 的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用 42 2，82 3，93 2 转化为以 2、3 为底的幂。5综上所述，整数 a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a 4Km 与 am 的个位数相同(k,m 都是正整数。例题例 1 20032003 的个位数是多少？解：2003 2003 与 32003 的个位数是相同的，200345003，3 2003 与 33 的个位数是相同的，都是 7，2003 的个位数是 7。例 2 试说明 632000147
19、 2002 的和能被 10 整除的理由解：20004500，20024500263 2000 与 34 的个位数相同都是 1，147 2002 与 72 的个位数相同都是 9，63 2000147 2002 的和个位数是 0，63 2000147 2002 的和能被 10 整除。例 3 K 取什么正整数值时，3 k2 k 是 5 的倍数？解：列表观察个位数的规律K 1 2 3 4 3 的个位数 3 9 7 1 2 的个位数 2 4 8 6 3k2 k 的个位数 5 5 从表中可知，当 K1，3 时， 3k2 k 的个位数是 5，a m 与 a4n+m 的个位数相同（m,n 都是正整数，a 是整
20、数） ， 当 K 为任何奇数时，3 k2 k 是 5 的倍数。练习 51 在括号里填写各幂的个位数（K 是正整数）220 的个位数是（ ） 4 5 的个位数是（ ） 330 的个位数是（ ） 87 的个位数是（ ） 74K+1 的个位数是（ ）3117 9 的个位数是（ ） 216314 的个位数是（ ） 3 2k-17 2k-1 的个位数是（ ）72k3 2k 的个位数是（ ） 7 4k-16 4k-3 的个位数是（ ） 7710331522205525 的个位数是（ ）2 目前知道的最大素数是 22160911，它的个位数是。3 说明如下两个数都能被 10 整除的理由。 53 5333 3
21、3 1987 19891993 19914 正整数 m 取什么值时，3 m1 是 10 的倍数？5 设 n 是正整数，试说明 2 n 7 n+2 能被 5 整除的理由。6 若 a4 的个位数是 5，那么整数 a 的个位数是若 a4 的个位数是 1，那么整数 a 的个位数是若 a4 的个位数是 6，那么整数 a 的个位数是若 a2k-1 的个位数是 7，那么整数 a 的个位数是71 2+22+32+92 的个位数是，1 2+22+32+192 的个位数是，1 2+22+32+292 的个位数是。8. a,b,c 是三个连续正整数，a 2=14884,c2=15376,那么 b2 是（ ）（A）1
22、5116 （B）15129 （C）15144 （D）15321初中数学竞赛辅导资料（ 6）数学符号内容提要数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。数学符号一般可分为：1元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用和表示园和三角形等。2关系符号：如等号，不等号，相似，全等，平行，垂直等。3运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。4逻辑符号：略5约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数 a 和 b 中，如果 a 除以 b 的商的整数部份记作 Z（ ） ，而它的ba余数记作 R（ ） ， 那么 Z（ ）3，R （
23、）1；又如设 表示不大于 x 的最大整数，那么 5，ba100x2.6， 0， 3。2.3正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。例题例 1 设 表示不大于 Z 的最大整数，n为正整数 n 除以 3 的余数 计算：4.07 13; 2004 14.7 。732 24解：原式4（3）100 原式14 2021例 2 求 19871988 的个位数 说明 198719891993 1991 能被 10 整
24、除的理由解：设 N（x）表示整数 x 的个位数， N（1987 1988）N（7 4497）N（7 4）1 N（1987 1989）N（1993 1991）N（7 44971 ）N（3 44973 ）N（7 1）N （3 3）7701987 19891993 1991 能被 10 整除由于引入辅助符号，解答问题显得简要明瞭。例 3 定义一种符号的运算规则为：ab=2a+b试计算：53 （17）4解：5325313 （217）49429422例 4 设 ab=a(ab+7), 求等式 3x=2(-8)中的 x解：由题设可知：等式 3x=2(-8)就是 3（3x7）22（8）79x+21=18 x
25、=4 1练习 61设 Qx 表示有理数 x 的整数部分，那么 Q2.15_ Q 12.3=_Q0，b0， 那么 a+b0，不可逆绝对值性质 如果 a0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a 则 a0)7 有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。例题例 1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的 n 位数呢？解：不同的五位数可从最大 五位数 99999 减去最小五位数 10000 前的所有正整数，即 99999-9999=90000.推广到 n 位正整数，则要观察其规律一位正整数,从 1 到 9 共 9 个， 记作 91二位正整数从 10 到 99 共 90 个， 记作 910三位正整
26、数从 100 到 999 共 900 个， 记作 9102四位正整数从 1000 到 9999 共 9000 个， 记作 9103 (指数 3=4-1) n 位正整数共 910 n-1 个例 2 _A C D E B在线段 AB 上加了 3 个点 C、 D、E 后，图中共有几条线段？ 加 n 点呢？解：以 A 为一端的线段有： AC、AD、AE、AB 共 4 条以 C 为一端的线段有：(除 CA 外) CD、CE、CB 共 3 条以 D 为一端的线段有：(除 DC、DA 外) DE、DB 共 2 条以 E 为一端的线段有：(除 ED、EC 、EA 外) EB 共 1 条共有线段 1+2+3+4=10 (条) 注意：3 个点时，是从 1 加到 4， 因此如果是 n 个点，则共有线段 1+2+3+n+1= = 条n)(
