1、线 性 代 数 练 习 一学号 姓名 一、填空1、按定义写出一个四阶行列式的 的表达式 ，ijDa其中一项 前面应带的符号为 ，此行列式展开式中共有 项。23413a2、写出四阶行列式 按第三列展开的展开式 410325D，写出 按第二、三两行展开的 Laplace 展开式 ，计算4 。4D3、若 阶行列式 ，则 。nnijanija4、已知 ，则 中 的系数为 。432105xfxfx45、设 ， ， ，当 时， 线1420131tt123,性相关，此时 ，一个极大无关组为 。13,r6、设 ， ， ，当 时12t324t2，一个极大无关组为 。3,r7、若 ，则 ， 的任一个部分组都线性
2、关。若12,s 12 s ，则 ， 中任 个向量必线性 关。,sr r s1r8、设 为四阶矩阵，当 4 时， ，而且 的行（列）向量组一AAA定线性 关。当 4 时， 的行（列）向量组一定线性 关。r9、设 为 6 5 矩阵，当 5 时， 的行向量组一定线性 关，列向量组线性 关；当 4 时， 的行（列）向量组一定线性 关。rA10、设非齐次线性方程组的增广矩阵 经行初等变换化为A,则 时，方程组无解； 时，方程组有121002 唯一解； 时，方程组有无穷多解，此时其导出组的一个基础解系中含 个解向量。二、计算题1、已知 ，12133a求：1） ，2）31231a1213122312332a
3、a2、计算四阶行列式：123441234xxD及的第一列元素的代数余子式之和，即 。12314A3、已知向量 ，12， ， 。24354证明：向量 可由 线性表出且表达式唯一，并写出表达式。123,4、设线性方程组4123415xxab讨论 、 取何值时，方程组无解、有解；在有解时求出方程组的通解。ab5、设齐次线性方程组的系数矩阵 ，讨论当 满足什么条123A件时仅有全零解或有非零解；在有非零解时求出方程组的通解。6、已知 ， ， 为非齐次线性方程组的三个互不相等的解，该方程组系数123矩阵的秩为 2，若 ， 。1T2310T求：方程组（1）的通解。线 性 代 数 练 习 二学号 姓名 一、
4、填空1、设 ，则 ， 。A0123TA1T2、设 ， ，则 ， ， 2T10ArA。3、 为四阶矩阵， 2，则 可逆且 ， 1* ，AA12 ， 。 （ 为矩阵 的伴随矩阵）*1*A4、 、 、 均为 阶矩阵，若 ，则 ， BCnBCI1 1TC， ；又若 ，则 。A25、 、 为 阶矩阵， 2， 1，则 ， 的列向量组线rArAB性 关。6、 为 5 3 矩阵， 为 3 5 矩阵，则 为 阶矩阵，且 B rAB， 。AB二、判断题（在括号内填“”或“” ）1、设 为 阶方阵，若 0，则 0， （ ）nAII若 0，则 。 （ ）AI2、若 、 均为 阶方阵，则 （ ） ，BBA2B （ ）
5、， （ ） ，kk （ ） ， （ ） 。A3、 、 、 均为 阶方阵且 ，则 （ ） ，BCnABCI1AB1 （ ） ， （ ） ， （ ） 。111 C4、若 且 0，则 （ ） ；A若 且 0，则 （ ） 。CBAB5、若 0 则 0 或 0 （ ） ；若 0 且 为可逆矩阵，则 0。 （ ）6、若 0 则 的列向量均为齐次线性方程组 0 的解。 （ ）AAX的行向量的转置均为齐次线性方程组 0 的解。 （ ）ATBX三、计算题1、求下列矩阵的逆矩阵：1） ；2） 。3014A1230A其中 2）要求用初等变换法求 。12、 、 均为三阶矩阵， ， ，且ABA123B1231， 1；
6、求：1） 2）A3、三阶矩阵 、 满足 ，其中*TX1T ， = 。A2B3求：矩阵 。 （ 为矩阵 的伴随矩阵）X*A4、1）计算 10210532）设 ， = ，12133aB12131236aa写出初等矩阵 ， 使 ，并求 ， 。1P212A10P25、设三阶矩阵 0，且 每个列向量均为齐次线性方程组 0 的 123X解。 求：1） 的值 2）B6、三阶矩阵 ，A1求： 的特征值，线性无关特征向量及全部特征向量。四、 阶矩阵 满足 。nA2380I求证： 可逆，并求 。I1线 性 代 数 练 习 三学号 姓名 一、填空1、已知矩阵 ，矩阵 与 相似，则 ， 的特征A014BAB2BI值为
7、 ， 的特征值为 ， 。12BI21I2、设矩阵 有特征值 0，则 ，其中 。A1aA01a3、三阶矩阵 特征值为 1，2，3，则 相似于对角形矩阵， 的对角标准形为 ， 的分别属于特征值 1、2 的特征向量 ， 必线性 关；12又若实对称矩阵 与 相似，那么 属于 1 和 2 的特征向量 ， 必 BAB。4、已知三阶方阵 、 、 都不可逆，则 的特征值为 ，I2IA且 的特征多项式为 ， （填能或不能）与对角形矩阵A相似。5、三阶实对称矩阵 特征值为 2，则 属于特征值 2 的线性无关A13的特征向量必有 个，与 相似的对角形矩阵为 ，且 A。6、设 为三阶实对称矩阵，特征值为 2， 1，若
8、 属于特征值 113的一个特征向量为 ，则 属于特征值 2 的线性无关的特征向量为140TA 和 。127、设 为四阶矩阵且 2，则 的伴随矩阵 的秩 。Ar*rA8、二次型 的矩阵 的特征值为 ， ， 则此二次型在正123fxTXA123交变换下化为标准形 ，当 （ 1，2，3）满足条件时 f i，此二次型正定；又若 的特征值为2，0，3，则此二次型的规范形为 ，此时二次型的秩为 。二、计算题1、设二次型 2212313121323484fxxxx1）用正交变换法将二次型化为标准形，写出所做正交变换及标准形。2）用配方法将二次型化为标准形，写出所做可逆线性变换及标准形。3）此二次型是否正定？说明理由。2、矩阵 的一个特征向量为 。A2153ab11）确定 中参数 、 ，并求出特征向量 对应的特征值 。112）问矩阵 能否与对角形矩阵相似，说明理由。3、已知三阶矩阵 能够与对角形矩阵相似。102Ak1） 、求出矩阵 中 的值。2） 、求可逆矩阵 使 为对角形矩阵，并写出 的对角标准形。U1 A4*、三阶实对称矩阵 特征值为 1， 1， 属于特征值 1 的线性A23无关的特征向量为 ， 。1021）求矩阵 属于特征值 1 的特征向量 。332）求正交矩阵 ，使 为对角形矩阵，并写出此对角形矩阵。TAT3）求矩阵 。10
