1、聚焦空间几何中的非坐标向量方法随着新课程标准的不断推进，空间想象能力和几何直观能力越来越受到人们的关注，空 间向量作为研究空间几何的强有力工具， 给空间几何 问题的研究注入了新的生机和活力，开辟了很多解题的新途径、新方法、新思路，拓宽了高考 对空间几何问题 的命题的新空间.因此，将空 间 向量和空间几何问题综合在一起考查是顺理成章的事情，使得对空间向量的考 查不再拘泥于定义和简单运算上，而是以空间向量为工具，通过向量演义证明、推理运算等理性思维来研究空 间的平行、垂直等位置关系和求空间的角及空间距离等问题.在近几年的高考中有一种偏颇的现象，空间几何题的标准答案都是一题两法，即坐 标向量法和综合
2、法，而非坐标形式的向量法不仅被边缘化，而且几乎有被 遗弃的感觉.而在新课程标准中要求学生：掌握空间向量的线性运算和坐标运算；掌握空间向量的数量积和坐标运算.这里的“线性运算”和“数量积”都是指非坐标形式的向量运算.而空间几何的主要任务就是发展学生的空间想象能力和几何直观能力，然而非坐标形式的向量更有利于发展学生的空间想象能力和几何直观能力.为了与新课程标准接轨，应当特别注重非坐标形式的向量方法与教学中的渗透，因而在今后高考试卷的参考答案中应提倡一题三法， 让考生充分注意非坐标向量法在解(证) 题中的作用.充分体现几何“搭台”向量“唱戏”的说法 .利用非坐标形式向量法主要是根据空间向量基本定理找
3、到空间的一组基向量，而基向量的选取是不唯一的，一般选取三个不共面的向量作为基向量.但是由于基向量选取的不同，会有不同的运算效果.下面笔者就非坐标形式向量方法举几个例子，以飨读者.一、 选 取三个共点且不共面的向量作为基向量当从一点出发的三条不共面的线段长度已知，它们的夹角也是已知或从一点出发的三条不共面的线段长度可以求出，它 们夹角也可以求出 时，可 选择这三条线段所代表的向量作 为基向量，用这三个基向量将其它向量线性表示， 尔后求解.例 1 (2008 年安徽理 18 题)如图 1 所示，在四棱 锥 O-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1的菱形，ABC= ，OA底面 ABCD，OA=
4、2，M 为 OA 的中点，N 为 BC 的中点.(1)证明：直线 MN平面 OCD； (2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；(3)求点 B 到平面 OCD 的距离 .分析 要证明直线 MN平面 OCD，只要 证平面 OCD 的法向量与向量 垂直即可；要求异面直线 AB与 MD 所成角，只要求出向量 ， 的夹角，再根据异面直 线所成角求出即可；求点 B 到平面 OCD 的距离，只要首先求出平面 OCD 的法向量，再利用公式求出距离即可 .解析 选取 为空间的一组基向量.(1) ，设为平面 OCD 的法向量，则由题易知 ， ，取 x=1， ， .MN平面 OCD.(2)设异面直线 AB
5、与 MD 所成角 为 . ，.， .(3)设 为平面 OCD 的法向量，则由题易知 ，取 x=1.则 ，因而 .而 ， ，.所以点 B 到平面 OCD 的距离 为 .评注 本题主要考查空间位置关系和空间角与距离问题求法，注意基向量的选取，以及空 间向量的线性运算和数量积运算等，注重培养学生 逻辑思维和空间想象及向量运算等能力.例 2 (2008 年湖南 18 题)如图 2 所示，四棱 锥 P-ABCD 的底面是 边长为 1 的菱形，BCD=60 ，E 是 CD的中点，PA 底面 ABCD，PA= .(1)证明：平面 PBE平面 PAB；(2)求二面角 A-BE-P 的大小.分析 本题是证明两个
6、平面垂直和求二面角的大小问题，要证明两个平面垂直只要证明两个平面的两法向量互相垂直，只要证它们的数量 积为零就可以了.要证数量积为零，只要将这两法向量用三个基向量线性表示即可.要求二面角 A-BE-P 的大小，只要求出平面 ABE 和平面 BEP 的法向量夹角，再根据 图形确定二面角的大小即可.解析 取 为空间的一组基向量.(1)设 为平面 PBE 的法向量，则取 x=1， .再设 为平面 PAB 的法向量，则取 z=-2， ， .平面 PBE平面 PAB.(2)设 为平面 ABE 的法向量，则取 x=1， .再设 为平面 BEP 的法向量，则则取 x=1， ， ，故由图可知：平面 ABE 和
7、平面 PBE 所成二面角( 锐角)的大小是 .评注 本题考查两平面位置关系和二面角的求法，这是空间几何中最复杂的一部分内容，例 题通过对非坐标向量法的应用，使考生体会 这 种方法并不简单，在高考中 应根据 问题的需要，选择适当的方法.本题是证明两个平面垂直和求二面角的大小问题，用三种方法都可以求解，但其思路是不完全一样的.二、 选 取三个不共面的向量作 为 基向量前面选取的是三个共点且不共面的向量作为基向量，然后求解 .由于我们研究的向量是自由向量，基向量的选取可以是不共点的，从理论上 讲只要三个向量不共面，根据空 间 向量基本定理就够了.这样，为我们用非坐标向量法解题带来了无限的生机.例 3
8、 (2008 年全国卷 I)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等， A1 在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.分析 本题若用综合法和坐标向量法都不易解决，需要添加 许多辅助线，下面我们用非坐标向量法就比较简单.解析 如图 3，设 O 是 A1 在底面 ABC 内的射影， 选取 为一组基向量， AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于 AB1 与 OA1 所成角的余弦，而，取 AB=1，可得 .又 ，易得 ，故选(B).点评 利用非坐标向量法，一方面不需要作 辅助线，极大地降低了对空间想象能力的要求；另一方面由于基向量可以自由选取，降低了 难 度，从而使求解 过程简洁明了.从上面的几个例子我们可以清楚的看出，基向量法才是真正意义上的通性通法，而坐 标形式的向量法实际上是基向量法简化形式.然而向量法避免了复杂的找证的过程，虽然有时运算量比较大，但很容易想到 .因而在今后高考标准答案中应提倡一题三法，教师在教学中要充分使用“先行组织者”策略，在思想方法上多做引导，注重 对学生的非坐 标向量法的 训练，特 别在新课标高考中更要先行一步，走在时代的前列，真正做到几何“搭台”向量“唱歌”.
