1、北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试：导数及其应用本试卷分第卷(选择题 )和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 曲线 y 在点 M( ，0)处的切线的斜率为( )sinxsinx cosx 12 4A B12 12C D 来源:Z#xx#k.Com22 22【答案】B2已知 ()3(1)fxf，则 ()f为 ( ）A-2 B-1 C0 D1【答案】B3 若函数 3()fx在区间 2(,)a上有最小值，则实数
2、a的取值范围是( ) A(1,B (1,4) C (1,2 D (1,2) 【答案】C4 已知函数 1)(23xaxf 在 ),(上是单调函数,则实数的取值范围是（ ）A ),(B 3, C 3()D )(【答案】B5设函数 ，其中 ，则导数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D6对正整数 n,设曲线 )1(xyn在 2处的切线与 y轴交点的纵坐标为 na,则数列1a的前 项和的公式是 ( )A 2nB 2nC 12nD 12n答案：D 7设函数 ,fxabcR，若 x为函数 fxe的一个 极值点，则下列图象不可能为 yfx的图象是（ ）【答案】D8 若对任意 xR, 3()4fx,f
3、(1)=- 1，则 f(x)是 ( ）A 4()f B 4()2fxC 35xD 【答案】B9函数 )0()(3abf 的极大值为 6,极小值为 2,则 )(xf的减区间是（ ）A (-1，1） B (0，1） C (-1，0） D (-2，-1）【答案】A10 函数 )(xfy在一点的导数值为 是函数 )(xfy在这点取极值的（ ）A充分 条件 B必要条件 C充要条件 D必要非充分条件【答案】D11已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为y x381 x234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )13A13 万件 B11 万件C9 万件 D7
4、 万件【答 案】C12已知二次函数 ()fx的图象如下图所示，则其导函数 f ()x的图象的大致形状是（ ）【答案】C第卷(非选择题 共 90 分)来源:学+科+网二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13某日中午 12时整，甲船自 A处以 16/kmh的速度向正东行驶，乙船自 A的正北 km18处以 6/kmh的速度向正南行驶，则当日 2时 30分时两船之间距离对时间的变化率是_.来源:Z|xx|k.Com【答案】-1.614设 P 为曲线 C： y x2 x1 上一点，曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是1,3，则点 P 纵坐标的取
5、值范围是_【答案】 34， 315已知函数 qxpxfy23)(的图象与 轴切于非原点的一点，且 4极 小y，那么 p ， q 【答案】6，916若函数 axf)( (a0 且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 .【答案】 ,1三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17已知函数 fx247， 0,1x.(1）求函数 f的单调区间和值域 .(2）设 1a，函数 gx23ax， 0,1，若对于任意 10,x 总存在0,x使 01f成立，求实数 的取值范围.【答案】（1） 24670xf72x且 20,x f的增区间 1,2 减区间 1,.
6、72f, 3f, 4f fx的值域 4,3(2） gxa 1 0g ,1在 0,1上是减函数 . 值域为 23,a由题意使 fx需 4,18已知函数 是定义在实数集 R 上的奇函数，当 x 0 时，.,lnaxaf其 中(1）已知函数 f的解析式； 来源:学科网(2）若函数 x在区间 1,上是单调减函数，求 a 的取值范围；(3）试证明对 1,/effeRa使存 在 .【答案】（1） 0)(f0x时， )ln(xx所以 0),l(,)(xaf(2）函数 f是奇函数，则 (f在区间 )1,(上单调递减，当且仅当 )(xf在区间 ),1(上单调递减，当 0x时， xafxaf 1)(,ln)(由
7、af10 得 1在区间（1，+ ）的取值范围为 0,1所以 a 的取值范围为 ,(3） 11eaeqfe解 af得（ 11 分），因为 1e1 e，所以 1为所求.19已知函数 2()().xxfgee,(） 求函数 的极值；(） 求证：当 1x时， ();fx(） 如果 2，且 2，求证： 12().fx【答案】 ()fx= e， ()fx=1e令 ()f=0，解得 x(,1)1 (,)()f 0 极大值 e当 1x时， ()fx取得极大值 (1)f= e 证明： 2)xxFfg令,则()x=221()1()xxee 当 时， 0， 2，从而 2x0， ()Fx0， ()在 1,)是增函数
8、().xfgxe 故 当 时 ,证明： ()fx在 ,)内是增函数，在 1内是减函数 当 12x，且 12()fxf时， 1x、 2不可能在同一单调区间内 ，由的结论知 x时， ()()Fxfgx0， 22()fxg 12()ff， 12f又 2)gx， ().xf 20已知函数(ln,afR(1）若函数 )fx在 2,)上是增函数，求实数 a的取值范围；来源:Zxxk.Com(2）若函数 (在 1e上的最小值为 3，求实数 的值【答案】（1）)lnafx， 21()fx ()fx在 2,上是增函数， 2af0 在 ,)上恒成立，即 a 2x在 ,)上恒成立来源:学科网令()xg，则 min(
9、),2)gx()2在 ,)上是增函数， min()(2)1gx a1所以实数 a的取值范围为 (,1(2）由（1）得 2)xaf， ,e来源:学|科|网来源:学。科。网来源:学#科#网若 2a，则 0x，即 ()0fx在 1,上恒成立，此时 ()fx在 1,e上是增函数所以 min(1)23fxfa，解得 2（舍 去）若 12ae ，令 0x，得 a当 12xa时， ()0fx，所以 ()fx在 1,2)a上是减函数，当 e时， ，所以 在 e上是增函数所以 min2l()13fxfa，解得2a（舍去）若 2ae，则 0，即 0fx在 ,e上恒成立，此时 ()fx在 1,e上是减函数所以min
10、213afxfe，所以 e综上所述， ae21已知函数 f(x)x 3ax，g(x)2x 2b，它们的图象在 x1 处有相同的切线(1)求函数 f(x)和 g(x)的解析式；(2)如果 F(x)f(x)mg(x)在区间 1，3上是单调增函数，求实数 m 的取值范围【答案】(1)f(x)3x 2a，g(x)4x，由条件知f1g， a2b34 ， a0 ,f(x)x 3x，g(x)2x 2.(2) F(x)f(x)mg(x)x 3x2mx 2，F(x)3x 24mx1，若 F(x)在区间 ，3上为增函数，则需 F(x)0，即 3x24mx10 在 12，3上恒成立，m2x14在 ,3 上恒成立.令
11、 h(x)23，x ，3 ，则 h(x)= 23x14= x,由基本不等式可得，当且仅当 1x4,即 x= 时 h(x)取得最小值,则 h(x)在区间 2，3上的最小值是 h( 3)32，因此，实数 m 的取值范围是 m 32.22某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为 (0)k，且知当利率为 0.012 时，存款量为 1.44 亿；又贷款的利率为 4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为 x， (0,.48)，则当 x为多少时，银行可获得最大收益？（提示：银行收益=贷 款获得利润银行支付的利息）【答案】由题意知：存款量 2()fxk，当利率为 0.012 时，存款量为 1.44 亿，即 0.12x时， .4y；由 21.(0.1)，得 10k，故 ()fx，银行应支付的利息 3()()10gfxx，设银行可获收益为 y，则 248，由于 29603yx，则 0y，即 ，得 x或 .32因为 (0.32)x，时， 0y，此时，函数 234801yxx是增函数；.48时， ，此时，函数 0是减函数；故当 0.32x时， y有最大值，其值约为 0.164 亿
