1、1千年沉浮话鸡兔广州 杜厚生2010 年 5 月一、算术方法千年沉浮多年来，面对每一届初中学生， “鸡兔同笼”都是我必讲的一节课。有一个学生毕业后，在教师节寄给我的贺卡中写道：“我永远忘不了鸡兔同笼的那一节课，我第一次感到数学课也可以这么生动、这么有趣。 ”这是一个数学很烂的学生，当然，在那一节课后，也没有让他“从此过上了幸福的生活” ，成为一个热爱数学的学生。一个老师曾经让自己的学生有“永远忘不了”的一节课，也足可以自豪了，那一刻我的感动恐怕还超过了他的感动。我曾经问过许多同行的中学数学教师是否用过鸡兔题教学，几乎所有老师都说用过。再问怎么用，也几乎一致地回答，就是一道普通的列方程应用题，知
2、道算术解法吗？回答是没听过、不知道。这的确代表了中国目前中学数学课堂教学的现状。至于选用这道一千五百年前的中国古代数学名题，只不过是告诉学生，虽然我们和我们的千年祖先做着同一道题，对祖先是名题、难题，对我们这一代人，只是最基础的简单题，是不值一提，因为我们有代数方程这个先进武器，代数方法与算术解法之间的差别，就像古代弓箭火药对现代冲锋枪手榴弹的的差别。远离算术解法，摈弃算术解法，强化代数方法，这就是绝大多数中学教师的所认可的教学方向。于是，绝大多数中学数学老师不会用算术方法解小学应用题，面对自己读小学的孩子求助的眼神，只好先列出方程，然后通过变形倒推出一个勉强的算术解释。2与中学截然相反，对“
3、鸡兔同笼”的算术解法的算法原理、推广应用、课堂教学效果、智力开发拓展，在小学教师教研实践中却热热闹闹、不绝如缕。中学数学完全无视传统体系和传统方法，将中国和西方、古代和现代割裂开来，漠视传承，拒绝衔接，在中国古代数学特有的算术体系与现代代数方法的较量中，算术彻底败下阵来。一个孩子在小学被开启的智力活动也被强力扭曲，“长大后，你就成了我” ，也就成了一个不会解小学算术题的优秀数学教师！名题“鸡兔同笼”出自公元四世纪南北朝时期我国古代数学著作孙子算经 ，至今已有一千五百余年了。千年已降，这道名题和中国古代数学一样，几经沉浮，历经沧桑。从汉朝到南北朝，是大师辈出、盛世华章的时代，直到十六世纪，中国数
4、学是领先于全世界的。从汉至唐宋，读书人没有不读算术、不懂计算的，算术是唐宋科考的必考内容。但从元朝起，直到明清，科考只考八股文，算术被无情摈弃，于是读书人也就不学算术、不会计算了，这一弃，就是六百多年！但清代学者研究百鸡问题的很多，其中较突出的是骆腾凤、丁取忠和时曰醇。特别是时曰醇，对百钱百鸡问题有深入的研究，著有百鸡术衍上、下两卷，共 28 道题，都是不定方程问题，分别用方程术和大衍求一术两种方法求解，将鸡兔同笼和百鸡问题集大成地推到了顶峰，这是又一次先沉后浮。民初至今，西方科学进入中国，中国的科学发展在努力与世界同步，数学也在随之同步发展，但可悲的是，中国古代数学却被打入冷宫，罪名是落后陈
5、旧、不科学、不系统，没有逻辑推理体系，只能龟缩在数学史和趣味数学的一角苟延残喘，落花流水春去也。不料到了二十世纪八十年代，中国出了个吴文俊，别具慧眼，用令人不能不服的研究成果，为中国古代数学正本清源，让世界认识到：“我国传统数学在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中建立了以构3造性与机械化为其特色的算法体系，这与西方数学以欧几里得几何原本为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对。 九章与刘注是这一机械化体系的代表作，与公理化的代表作欧几里得几何原本可谓东西辉映，在数学发展的历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长，交替成为数学发展中的主流。肇始于我国的这种机械化体系
6、，在经过明代以来近几百年的相对消沉后，势必重新登上历史舞台。 九章与刘注所贯穿的机械化思想，不仅曾深刻影响了数学的历史进程，而且对数学的现状也正在发扬它日益显著的影响。它在进入 21 世纪后在数学中的地位，几乎可以预卜。 ”吴文俊院士预言：“将来的数学，应该是走中国古代数学道路，而不是国际道路，这是一条总的趋势。 ”与上述结论相对应的，就是用肇始于我国古代的数学机械化体系，在吴文俊、张景中等中国数学家具有开创性的、独具中国特色的开发研究下，结合电脑的数学机械化开创了现代数学里程碑式的新时代，近百来的世界数学难点在吴文俊提出数学机械化原理的构想之后，20 年左右的时间就被中国数学家成功突破，中国
7、传统数学历经千年沉浮，再一次站在了世界的前沿，实现了最新一次的升华。 （2001 年 2 月 19 日吴文俊院士荣获首届国家最高科学技术奖。获得奖金 500 万元人民币。 ）中学数学教学还有什么理由轻视算术呢？中国算术与西方数学是东西辉映并立的两大数学体系，是数学发展中相互交替的主流啊。不一定要等到教育部重新制定课程标准和新教材，中学老师也应该主动将算术请回课堂，让算术获得应有的教学空间，仅凭教师个人的努力，目前至少可以在以下四个方面做一点贡献：41.重新认识算术，是“从问题出发，以解决问题为主旨，以构造性与机械化为其特色的算法体系” ，不再是“未知数不参与运算的列式方法” 。从算法体系的角度
8、看算术，在课堂上给算术解的探讨留出足够的时间；2.代数方程与算术解并重，各有长处，各擅胜场。强调算术解的快捷性，认识构造性对开拓思维的重要性。 “鸡兔同笼”的算术解法相对于列方程，算术解的巧妙与快捷是公认的。毕竟数学学习的真谛是最快最准的解决实际问题，而不是单纯的数学推导证明，而思维的创造性、开拓性、敏捷性应该是数学学习留给大部分学生唯一的东西，公式、定理、方法都会逐渐忘却，而能力不会忘。3.向小学老师学习算术，老师先走一步，熟悉与掌握算术方法，不能以其昏昏，使人昭昭。4.了解并参与数学机械化，将数学机械化的成果引进课堂。过去千年中国传统数学的机械化体系的代表是算法体系、数图、数诀、算筹、算盘
9、，今天的数学机械化是电脑软件，电化教学。可以进入课堂的创新体系有张景中教授的以面积方法为核心的新概念几何，教学软件有几何画板、函数画板、各数学分支的解题软件等。下文中，以“鸡兔问题”及与其有关联的“百鸡问题”为例，了解一下中国古代数学，以及算术解法中完全不同于代数体系的构造性、机械化的算法体系。二、中国古算中的“鸡兔同笼”今有雉兔同笼，上有三十五头下有九十四足，问雉兔各几何？5这是出自公元四世纪南北朝时期我国古代数学著作孙子算经中著名的“雉兔同笼”问题书中给出的解法是：“上置头，下置足，半其足，以头除（此处除之意为除去即减去）足，以足除头，即得 ”宋钱易南部新书卷三中，亦有算法曰：“鸡兔算，
10、国史谱纪之尚不明。上下头，下下脚(即“上置头、下置脚 ”)，脚即折半，下见头除脚，见脚除头，上是鸡、下是兔。 ”古书中用的计算工具是算筹，按照口诀在上下两行中放置若干算筹，最后剩下的算筹即是答案。用现在口算的方法来算，就是先设“金鸡独立”同时玉兔人立，大家同时减少一半足数（即“半其足” ） ，这时共有足数为 942 = 47；在这 47 条足中，每数一条足应该有一只鸡，而每数两条足才有一只兔，所以兔数为 4735 = 12，即“以头除足” 鸡数为 3512 =23即“以足除头” 在元代朱世杰算学启蒙(1299 年)卷中， 永乐大典卷中的丁巨算法，严恭通原算法中，也有鸡兔同笼问题的记载朱世杰的解
11、法与孙子算经不同，而与现在算术解法则几乎完全一样三、 “鸡兔同笼”算术解许多应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法“假设法”来求解。因此很有必要学会它的解法和思路。有若干只鸡和兔子，它们共有 88 个头，244 只脚，鸡和兔各有多少只？解 1：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立” ，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是62442=122（只）在 122 这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从 122 减去总头数 88，剩下的就是兔子头数12288=34，有 34 只兔子。当然鸡就有 54 只。答：有兔子 3
12、4 只，鸡 54 只。上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数2总头数=兔子数上面的解法是孙子算经中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是 4 和 2，4又是 2 的 2 倍。可是，当其他问题转化成这类问题时， “脚数”就不一定是 4和 2，上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法。解 2：假设所有的鸡伸出两只翅膀化成脚，于是每只动物都有四只脚，那么就有 488 只脚，比 244 只脚多了884244=108（只） ，这多出来的 108 只其实是鸡翅膀，每两只翅膀对应一只鸡，所以有1082=54 只鸡可以列出公式鸡数=
13、（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数） 。解 3：当然，我们也可以假设所有的兔子抬起两条前腿，于是每只动物都有两只脚，那么共有脚 288=176（只） ，比 244 只脚少了7244176=68（只） 。这少了的 68 只其实是兔前腿，每两只前腿对应一只兔，所以有682=34 只兔也可以列出公式兔数=（总脚数鸡脚数总头数）（兔脚数鸡脚数） 。上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法” 。算术体系中的构造性就体现在上题的“假设”中，这种假设并不来自于原题给出的数量关系，是构造出一个新的情景，构造
14、出一个新的数量关系，从而得到一个几乎心算就可以得到的答案。这种构造没有一定的定式，在不同类的题目中，构造也不同，即一题一构。中国古算题的题型结构几乎全是“题曰，答曰，术曰”的形式，其中的“术”就是本题的解题构造。这种一题一构的特殊性，就给学习过程带来了极大的趣味性和挑战性，因此算术解法远比代数方程更有趣味，也更能活跃课堂，起到开拓思维的效果。但也正是这种一题一构的特殊性，给批评者提供了攻击的口实，斥之为奇思怪想，缺乏科学性、系统性和普遍性。这真是贾府的焦大看林妹妹一无是处。角度不同、立场不同使之耳。 四、 “鸡兔同笼”算术解的应用用上面的“假设法”甚至直接套用解题公式：兔数=（总脚数鸡脚数总头
15、数）（兔脚数鸡脚数）或鸡数=（兔脚数总头数总脚数）（兔8脚数鸡脚数） ，能够解决同类的大批应用题。所谓“同类的习题”是指在两个事件中，知道各自的一个分量（例如鸡 2 足和兔 4 足）和两种总量关系（例如总头数和总足数） ，求各自的另一个分量（例如鸡头数和兔头数） 。以下给出4 道例题和 10 道练习题。现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。例 1 红铅笔每支 0.19 元，蓝铅笔每支 0.11 元，两种铅笔共买了 16 支，花了 2.80 元。问红、蓝铅笔各买几支？解 1（套公式计算）：以“分”作为钱的单位。我们设想，一种“鸡” （蓝笔）有 11 只脚，一种“兔子” （红笔）有 19 只脚，它
16、们共有 16 个头，280 只脚。现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了。直接套用上面算鸡数公式，就有鸡数=（鸡脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）蓝笔数=（1916280）（1911）=248=3（支） 。红笔数=163=13（支） 。答：买了 13 支红铅笔和 3 支蓝铅笔。解 2（假设法计算）：假设蓝铅笔每支升价 8 分，和红铅笔同为 19 分，那么升多了的钱数是191628030428024 分，这是由于蓝铅笔每支升价 8 分得到的，故蓝铅笔有 2483 支。对于这类问题的计算，常常可以利用已知数的特殊性简化计算， 。例中的 199与 11 之和是 30，我们也可以设想 8 支红
17、铅笔，8 支蓝铅笔，根据这一设想，脚数是8（11+19）=240。比 280 少 40。40（1911）=5。就知道设想中的 8 支蓝铅笔应少 5 支，也就是蓝铅笔是 3 支。308 比 1916 或 1116 要容易计算些。实际上，可以任意设想一个方便的计算的数。例如，设想 16 支中，设想10 支红铅笔，6 支蓝铅笔，就有钱数是1910+116=256。比 280 少 24。24（1911）3，就知道设想 6 支蓝铅笔，要少 3 支。下面再举三个稍有难度的例子。例 2 一份稿件，甲单独打字需 6 小时完成。乙单独打字需 10 小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，两人共用了
18、 7 小时。甲打字用了多少小时？解：中学老师注意了，这道题的算术解法和中学列方程的思路是迥异其趣的。设甲打字用了 x 小时，列方程得：x/6 (7x)/101,用到的等量关系是部分工作量之和等于全部工作量。相当一部分中学生是怵这种题目的，因为等式中没有了时间单位，是无量纲的等式，在理解上有一定困难。大部分中学老师完全不知道怎么用算术方法来解这类问题。我们把这份稿件平均分成 30 份（30 是 6 和 10 的最小公倍数） ，306=5 份，103010=3 份。现在有了两个总量：总时间是 7 小时，总分量是 30 份。各自的分量是甲每小时打 5 份，乙每小时打 3 份，就把问题转化成“鸡兔同笼
19、”类型问题了。假设全部由甲打了 7 个小时，完成了 7535 份，多出了 5 份，因为甲每小时比乙多打 532 份，所以 522.5 小时，即甲多打了 2.5 小时，所以甲实际打了 72.54.5 小时例 3 蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在这三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀。每种小虫各几只？解：本题有三种动物，所以相当于两次解鸡兔问题。因为蜻蜓和蝉都有 6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8 条腿”与“6 条腿”两种。假设将 8 条腿的蜘蛛都变成 6 条腿，18 只小虫共有 618108 条腿，比已知 118 条腿少了 10 条腿，所以蜘蛛有 102=5 只；因此就知道 6 条腿的小虫共 185=13 （只） 。也就是蜻蜓和蝉共有 13 只，它们共有 20 对翅膀，再用一次假设法易知有蜻蜓 7 只。答：有 5 只蜘蛛，7 只蜻蜓，6 只蝉。例 4 某次数学考试考五道题，全班 52 人参加，共做对 181 道题，已知每人至少做对 1 道题，做对 1 道的有 7 人，5 道全对的有 6 人，做对 2 道和 3 道的人数一样多，那么做对 4 道的人数有多少人？解：本题应该首先去掉已知的人数和题数，剩下三种情况，再合并成两种然后求解。对 2 道、3 道、4 道题的人共有
