1、1北师大版九年级(上) 第二章：一元二次方程1. 认识一元二次方程：概念：只含有一个未知数，并且可以化为 ( 为常数， )的整式20axbc,ab0a方程叫一元二次方程。构成一元二次方程的三个重要条件：、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。如： 是分式方程，所以 不是一元二次方程。230x230x、只含有一个未知数。、未知数的最高次数是 2 次。2. 一元二次方程的一般形式：一般形式： ( )，系数 中， 一定不能为 0， 、 则可以为20axbca,abcbc0，所以以下几种情形都是一元二次方程：、如果 ，则得 ，例如： ；,20xc23x、如果 ，则得 ，例如： ；0bcab40、
2、如果 ，则得 ，例如： ；,22、如果 ，则得 ，例如： 。0xc23x其中， 叫做二次项， 叫做二次项系数； 叫做一次项， 叫做一次项系数； 叫做常2axabbc数项。任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项)都可以化为一般形式。例题：将方程 化成一元二次方程的一般形式.2(3)1xx解： 2()3x去括号，得： 28移项、合并同类项，得： (一般形式的等号右边一定等于 0)0x3. 一元二次方程的解法：(1)、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式：2()xab举例：解方程： 29(1)5x解：方程两边除以 9，得：2()212538,13xx(2
3、)、配方法：（理论依据：根据完全平方公式： ，将原方程配成222()aba的形式，再用直接开方法求解.）2()xab举例：解方程： 配方法解一元二次方程 ( )的步4830 20xbca骤：解： 、二次项系数化为 1. (两边都除以二次项系数.)2x、移项.(把常数项移到=号右边.)34、配方.( 两边都加上一次项系数绝对值一半的2221x平方，把原方程化成 的形式)() 2(xab、求解.(用直接开方法求出方程的解.)2x131,(3)、公式法：（求根公式： ） 24bacx举例：解方程： 公式法解一元二次方程的步骤：273解： 、把一元二次方程化为一般形式： ( )20x 20axbca、
4、确定 的值.,7,3abc,abc、求出 的值.224()4()bc24、若 ，则把 及 的值代入求x 0,abc24a根公式，求出 和 ，若 ，则方程无73731,244x 1x20解。(4)、分解因式法：（理论依据： ，则 或 ；利用提公因式、运用公式、十字相0ab0b乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于 0 的形式。3）【1】提公因式分解因式法：举例：、解方程： 、解方程：250x 2(3)()0xx解：原方程可变形为： 解：原方程可变形为：() ()或 或0x530x20x21, 21,【2】运用公式分解因式法：举例：、解方程： 、解方程：22()(3)xx 2x-6+9=(5
5、-x)解：原方程可变形为： 解：原方程可变形为：22(1)()022(-3)(233xx 0x5或 102(-+)(-)或214,3x32=032x218,【3】十字相乘分解因式法(简单、常用、重要的一元二次方程解法) ：举例：解方程： 2560x解：原方程可变形为： ()1或60x21,【4】其它常见类型举例：、解方程： 、解方程： （换元法）(1)38x22x+-1=解：原方程可变形为： 解：令 ，原方程可化为： ，即：y21y十字相乘法：2xabxab25601 -6 交叉相乘：， ()1 +1 即等于一次项系数。所以可以分解成256x(6)1x420y或2450x(2)10y20y1(
6、)11,或 ，即x2x，21,x()21,x或 ，即2201,abc4130bac方程 无解。2x原方程的解为： 21,x4. 一元二次方程的应用：、数字问题.、面积问题.(牢记有关面积的公式，熟练计算组合图形的面积、面积的转化.)、平均增长率(或降低率)问题.其基本关系式： ，其中 是增长(或降(1)naxba低)的基础量， 是平均增长 (或降低)率， 是增长(或降低) 的次数（常考的是两年期，xn即 ， ） ， 是增长(或降低) 后的数量( 总量)，增长为“+” ，降低为“-2n2(1)ab”.、商品利润问题(重点).基本公式： 1、单件利润=单件 进价2、总利润=单件利润 销售量、运动问
7、题、动点问题。例题：将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出时，能卖出 500 个，已知这种商品每个涨价 1 元，其销售量就减少 10 个。问：为了赚得 8000 元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？解法一：设售价定为 元，依题意可得：x405108xx整理得： 21408解得： 6,售价应定为 60 元或 80 元.当定为 60 元时，应进货 个；5016504当定为 80 元时，应进货 个；82解法二：设上涨 元，依题意可得：xxx整理得： 2403解得： 1,售价应定为 10+50=60 元或 30+50=80 元.当定为 60 元时，应进货 个；50165045当定为 80
8、 元时，应进货 个；50185025. 常考题型及其相应的知识点：(1)、利用一元二次方程的一个已知根求系数及求另一个根问题：例 1：关于 的一元二次方程 有一根为 0，则 的值为_.x22(1)1mxm思路分析：有一根为 0，说明有 ，可代入原方程求出 .0注意：一元二次方程时刻不要忘记对二次项系数 的讨论：a0解：将 代入原方程得：x22()即： 211又因为 即 0m的值为 .例 2：一元二次方程 的一个根为 ，则另一个根为_.23x思路分析：先将已知的一个根代入原方程，解出未知系数 ，再解出此时一元二次方m程的两根.解：将 代入原方程得： 1x2(1)()3040,4m原方程即为： 2
9、30x()x21,x(2)、判别式： ，方程根的情况：24bac判别式 与一元二次方程根的情况：方程有两个不相等的实数根.20方程有两个相等的实数根(或说方程有一个实数根).c方程没有实数根.24ba例 1：关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是x22(1)0xkxk_.思路分析：方程有实数根，但具体不知道有多少个根，所以有 .240bac解： 2,(),abkc2 2414(1)8k因为方程有实数根， 20ba即： 80kk例 2：方程 的根的情况是( ).2xA、只有一个实数根. B、有两个相等的实数根. C、有两个不相等的实数根. D、没有实数根6思路分析：判别方程根的情况，之
10、需要计算判别式 的值与 0 比较.24bac解： 1,2abc244170方程没有实数根，选择 D.(2)、一元二次方程根与系数关系，韦达定理：如果 是一元二次方程 ( )的两根，根据韦达定理，则有：12,x20axbca1,b例 1：已知 一元二次方程 的两根，则 _， _.12251412x12x解：根据韦达定理得： 1212, 4bcxxaa另外：利用韦达定理求一些重要代数式( 、 、 )的值：1212x12x、 221112xxx、 21112、 22 12xxx124x12x例 2：若方程 的两根为 ，则 的值为_.2310x,12x解：根据韦达定理得： 1231,bcxaa1212x例 3：已知关于 的一元二次方程 的两实数根是 ，且 610xk12,x，则 的值是_.214xk解：根据韦达定理得： 1212,1bckxxaa2 21 634x k75k
