1、- 1 -高 中 数 学 常 用 公 式 及 常 用 结 论1.德摩根公式 ();()UUUUCABCABC.2. UCABR3. ()cardcardcard()r()()cad.4、集合 12,n 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n1 个；非空子集有 2n 1 个；非空的真子集有 2 个.5.二次函数的解析式的三种形式 一般式 ()(0)fxabc; 顶点式 2hka;零点式 1)fx.6.函数 ()y的图象的对称性:函数 fx的图象关于直线 对称 ()()faxf(2)(faxf.函数 ()yf的图象关于直线 2bx对称 ()()fmfb(fabmx.7.两个函数图象的对称性:函数
2、 ()yf与函数 ()yfx的图象关于直线 0x(即 y轴)对称.函数 xa与函数 bm的图象关于直线 2abm对称.函数 )(f和 )(1f的图象关于直线 y=x 对称.8奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数9.分数指数幂 nma1（ 0,nN，且 1）.1mna（ 0,，且 1）.10、根式的性质（1） ()na.（2）当 n为奇数时， na；当 n为偶数时，,0|n- 2 -11、指数式与对数式的互化式 logbaN(0,1)aN.
3、12、对数的换底公式 llma( 0,且 ,m,且 , 0).推论 loglmnaab( 0,且 1, n,且 1,n, N).13、对数的四则运算法则： 若 a0，a1，M0，N0，则(1)l()llaaaMNN;(2) logllogaaa;(3)llog()naaR.14、数列的同项公式与前 n 项的和的关系1,2nns15、等差数列的通项公式*11()()adaN；其前 n 项和公式为12nns 21 1()()dndn16、等比数列的通项公式1*()nnaqN；其前 n 项的和公式为1(),nnsaq或1,nnaqs.17、等差、等比数列公式对比等差数列 等比数列定义式 1 1nda
4、n 11nqa通项公式及推广公式 mmn中项公式 2AbaabG运算性质 qp- 3 -qpmnaaqpmna前 n项和公式dnaSn211 .1 1, 1qqaSnnn，一个性质 mS32,成等差数列 mS32,成等比数列18、直线的五种方程 ：（1）点斜式 11()ykx (直线 l过点 1(,)Pxy，且斜率为 k)（2）斜截式 ykxb(b 为直线 l在 y 轴上的截距).（3）两点式 1122( 2)( 1(,)Px、 2(,)xy ( 12x).(4)截距式 xyab( 、 分别为直线的横、纵截距， 0ab、 )（5）一般式 0ABC(其中 A、B 不同时为 0).19、两条直线的
5、平行和垂直 (1)若 11:lykxb， 22:lykxb 1212|,lkb; 121lk.(2)若 0, 0yC,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,11122|ABCl； 212lAB；(3)平行直线系方程：直线 ykxb中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线 0AxBy平行的直线系方程是 0y( )， 是参变量(4)垂直直线系方程：与直线 AxBC (A0，B0)垂直的直线系方程是xy, 是参变量20、点到直线的距离 02|xydAB(点 0,)Pxy,直线 l： 0AxByC).21、 AxByC或 所表示的平面区域：（设直线 :）- 4 -若 0B，当 与 A
6、xByC同号时，表示直线 l的上方的区域；当 B与 AxyC异号时，表示直线 l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下 .若 ，当 与 同号时，表示直线 l的右方的区域；当 与 异号时，表示直线 l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.22、 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 22()()xaybr.（2）圆的一般方程 20xyDEF( 4EF0).23、点与圆的位置关系点 0(,)Pxy与圆22)()(rba的位置关系有三种：若2200()()daxby，则 dr点 在圆外; d点 P在圆上; r点 P在圆内.24、直线与圆的位置关系直线 0CByAx与圆22)()(byax的位置关
7、系有三种:交rd; 交rd; 0交rd.其中 2BACbad.25、两圆位置关系的判定方法： 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， dO2112r外 离; 12r外 切 ; 1212rr相 交 ; 12dr内 切 ; 120dr内 含 .26、圆的切线方程(1)已知圆20xyDEF若已知切点 0(,)在圆上，则切线只有一条，利用垂直关系求斜率过圆外一点的切线方程可设为 00()ykx，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为 b，再利用相切条件求 b，必有两条切线(2)已知圆22xr过圆上的 0(,)Pxy点的切线方
8、程为20xyr27、线线平行常用方法总结：（1）定义：在同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线。（2）公理：在空间中平行于同一条直线的两只直线互相平行。（3）初中所学平面几何中判断直线平行的方法（4）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面的相交，- 5 -那么这条直线就和两平面的交线平行。（5）线面垂直的性质：如果两直线同时垂直于同一平面，那么两直线平行。(6)面面平行的性质：若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。28、线面平行的判定方法: 定义：直线和平面没有公共点.( 2）判定定理：若不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直
9、线和这个平面平行(3)面面平行的性质:两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面（4）线面垂直的性质：平面外与已知平面的垂线垂直的直线平行于已知平面29、判定两平面平行的方法:（1）依定义采用反证法（2）利用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（3）利用判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面内的两条直线，则这两平面平行。（4）垂直于同一条直线的两个平面平行。（5）平行于同一个平面的两个平面平行。30、证明线与线垂直的方法：（1）利用定义（2）线面垂直的性质：如果一条直线垂直于这个平面，那么这条直线垂直于这个平面的任
10、何一条直线。31、证明线面垂直的方法： （1）线面垂直的定义（2）线面垂直的判定定理 1：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。（3）线面垂直的判定定理 2：如果在两条平行直线中有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面。（4）面面垂直的性质：如果两个平面互相垂直那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（5）若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则这条直线必垂直于另一个平面32、判定两个平面垂直的方法： （1）利用定义（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。33、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。经过平面外一点
11、有且仅有一个平面与已知平面平行两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。34、空间几何体的面积、体积正棱锥的侧面积为 S=21ch圆锥侧面积 S=12clrl锥体的体积 V= 3s台体侧面积 S=)(h台体的体积 V=(1sh柱体侧面积 S=cl 体积 V=sh球的半径是 R，则其体积是34VR,其表面积是 24SR- 6 -40 两直线的.夹角公式 21tan|k.( 1:lykxb， 22:lykxb, 1)121tanAB( 1:0lxByC, 2:0lABC, 0AB).直线 12l时，直线 l1 与 l2 的夹角是.41.椭圆()xyab的参数方程是cosinxayb.42.
12、椭圆20焦半径公式 )(21ePF，)(22xcaePF.43.双曲线 21(,)xyab的焦半径公式1|()|PFec，22|PFexc.44.抛物线 pxy2上的动点可设为 P),(2yp或 交)2,(pt P(,)xy，其中 2px.45.二次函数224bacabcx0的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)bc；（2）焦点的坐标为(,)b；（3）准线方程是1ya.46.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 2211()()ABxy或22212()|tan|tABkxxco（弦端点 A ),(,21yB，由方程 0),(Fbky消去 y 得到 02cbxa， ,为直线 的倾斜角， 为直线的斜率
13、）. 47.（1）分类计数原理（加法原理） 12nNm .（2）分步计数原理（乘法原理） .（3）排列数公式 mnA= )()1n = ！ )(.( ， mN*，且 n)（4）排列恒等式 1mA; 1nnA;1mn; 1nn; 1n.（5）组合数公式 mnC= = 2)()= ！ )( ， N*，且 n).- 7 -（6）组合数的两个性质 mnC=;mn+1C= n组合恒等式1mn;1mn; nrC0=2;121rnrr.（7）排列数与组合数的关系是：mnAC！.（8）二项式定理 nrnrnn bCabaab 210)(;二项展开式的通项公式：rrnrbT1 )0(， .48.（1）互斥事件
14、A，B 分别发生的概率的和 P(AB)=P(A)P(B)（2） n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)（3）独立事件 A，B 同时发生的概率 P(AB)= P(A)P(B).（4）n 个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An)（5）n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 ()(1).knknnPCP49.（1）离散型随机变量的分布列的两个性质：（1） 0,2i ;（2） 12 .（2）数学期望 12nExPx （3）数学期望的性质： ()(abE；若 (,)Bp，则 Ep.（4）方差 2211 nnD
15、ppx （5）标准差 = .（6）方差的性质22();2Dab；若 (,)Bn，则 n.50.（1）正态分布密度函数21,xfxe式中的实数 ， （ 0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.（2）标准正态分布密度函数2,xf.（3）对于2(,)N，取值小于 x 的概率F.1201 PxP21x21.51.（1）回归直线方程 yabx，其中1122nniiiii iixyxyaybx.- 8 -（2）相关系数 1221()()niiiniiiixyr1221()()niiini ixy.|r|1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小.52. 空间两个向量的夹角公
16、式 cosa，b=123221abb（a 123(,)，b123(,)b）.53.直线 AB与平面所成角sin|ABmarc( 为平面 的法向量).54.二面角 l的平面角o|或cos|mnar（ ，为平面 ，的法向量）.55.设 AC 是 内的任一条直线，且 BCAC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成的角为 1，AB 与 AC 所成的角为 2，AO 与 AC 所成的角为 则 12coscos.56.若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 1, 2,与二面角的棱所成的角是 ，则有222112sininiincs;121|80()(当且仅当 90时等号成立).57.
17、空间两点间的距离公式 若 A 1,)xyz，B 2(,)xyz，则,ABd=|B2211.58.点 Q到直线 l距离2(|)(|hab(点 P在直线 l上，直线 l的方向向量 a=PA，向量 b=P).59.异面直线间的距离 |CDnd( 12,l是两异面直线，其公垂向量为 n， CD、 分别是 12,l上任一点， 为 12,l间的距离).60.点 B到平面 的距离 |ABn（ 为平面 的法向量， AB是经过面 的一条斜线，A）.61.异面直线上两点距离公式 22cosdmn(两条异面直线 a、b 所成的角为 ，其公垂线段 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点E、F， m, AFn,E)
18、.62. 2213ll22213coscs1- 9 -（长度为 l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 123l、 、 ，夹角分别为123、 、） （立几中长方体对角线长的公式是其特例）.63. 面积射影定理 cosS(平面多边形及其射影的面积分别是 、 S，它们所在平面所成锐二面角的为 ).64、算法的概念：指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.65、程序框图及结构程序框 名称 功能起止框 表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置
19、。处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y” ；不成立时标明“否”或“N”。66、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。67、基本语句：输入语句：Input “提示内容” ；变量输出语句：print “提示内容” ；表达式赋值语句：变量=表达式条件语句： 循环语句：68、几个常用的函数：绝对值 abs( )；算术平方根 sqrt ( )；取商 ab；取余 a mod b69、算法案例：辗转相除、更相减损术、秦九韶算法、秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，
20、对于一个 n 次多项式，只要作n 次乘法和 n 次加法即可。if 条件语句 1else 语句 2endif 条件语句 1endwhile 条件循环体end- 10 -表达式如下： 122111 . axxaxaxannnn 70、随机抽样：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样两种抽样方法的区别与联系：类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围简单随机抽样 从总体中逐个抽取 总体中个体数较少分层抽样将总体分成几层进行抽取各层抽样可采用简单随机抽样或系统抽样总体有差异明显的几部分组成系统抽样抽取过程中每个个体被抽取的概率相等 将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分抽取在起始部分抽样时采用简
21、单随机抽样总体中的个体较多71、样本估计总体：频率分布直方图、数字特征 组 距极 差组 数， 样 本 容 量频 数频 率 ，频 率组 距频 率组 距小 矩 形 面 积 。众数、中位数、平均数、方差、标准差平均数：nxxn21方差: 12iis=222213()()()()nxxx标准差：niix12（2221 xxxns n）72、基本概念：（1）必然事件：必然事件是每次试验都一定出现的事件。不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。（2）随机事件：随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件，简称为事件（3）基本事件：一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，称作基本事件。73、在 n 次重复实验中，事件 A 发生的频率 m/n，当 n 很大时，总是在某个常数值附近摆动，随着 n 的增加出现摆动幅度较大的情形越少，此时就把这个常数叫做事件 A 的概率。（ 1P0）
