1、 1 “几类不同增长的函数模型”的教学设计与反思 台州市第一中学 蒋 茵 一、教学内容与内容解析 几类 不同 增长的 函数模型 是必修 1 第三章“函数的应用”的重要内容 .它 比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异 ,并 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 . 对于函数增长的比较分为三个层次：（ 1）以实例为载体让学生切实感受不同函数模型的增长差异；（ 2）采用图、表两种方法比较三个函数（ 2 2, 2 , lo gxy x y y x ）的增长差异；（ 3）将结论推广到一般的 指数函数、对数 函数以及幂函数 间的增长差异 . 其中（ 1）为第一课时的内容
2、 ,（ 2）、（ 3）为第二课时的内容 . 学生在本节内容学习之前 ,已经有了 指数函数、对数函数以及幂函数 的相关知识 ,在这里进一步研究几类 不同 增长的 函数模型 的增长差异有着承上启下的作用 .让学生在应用函数模型的过程中 ,体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点 与差异 ,同时将感受到的这种差异应用在后续的函数模型实例中 . 二、教学目标与目标解析 1 教学目标： （ 1）借助信息技术 ,利用函数图像及数据表格 ,比较指数函数、对数函数以及幂函 数间的增长差异 . （ 2） 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 . （
3、 3）恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格） ,并借助信息技术解决一些实际问题 . （ 4）在实际问题解决过程中 ,体会数学的作用与价值 ,形成分析问题、解决问题的能力 . 2. 教学目标解析： 目标（ 1）、（ 2）是教学的重点 ,落实好目标（ 1）、（ 2）是实现教学目标（ 3）、（ 4）的前提与保证 . 落实目标（ 1）、（ 2）的过程中可以 创设问题情景 ,并通过层层递进的问题串 ,让学生在不断观察、思考和探究的过程中 ,弄清几个函数间的增 长差异 ,并培养分析问题 、 解决问题的能力 ,实现目标（ 4） . 目标（ 3）要求“恰当运用”对于学生初学时是不易达到的目标 ,教学时
4、通过学生自主探究 ,相互交流 ,教师适时提问引导 ,合作完成 .另外 利用信息技术工具 ,就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 还 使学生接触到 更多 的数学知识和思想方法 . 三、教学问题诊断分析 2 诊断 :本课中 ,学生对指数爆炸的认识缺乏一定的基础 ,本课先让学生利用表格读表 ,并在分析表格的过程中发现要分析增加量 ,通过数据对指数爆炸有了一种感性认识 ,再结合图像分析 ,从感性认识上升到理 性认识 ,实现自我完善 . 诊断： 在公司奖励模型问题的解决过程中 ,教材中对判断模型二 1log7 xy 是否满足约束条件 7log 1 0.25xx 是采用了“构造函数
5、的思想方法” ,我认为就高一年级学生而言 ,这种处理方法在理解上会有困难 ,所以宜采用两种方法进行求解：方法一 ,利用数形结合 ,学生能很直观地感受xy 25.0 在图像 1log7 xy 的上方；有此基础后 ,再讲解方法二 ,即“构造函数的思想方法” ,通过板书 详细分析这一过程 ,帮助学生对“构造函数的思想方法”留下一个美好又深刻的第一印象 . 诊断 :本节课教学的内容为教材中的例、例 ,为了激发学生的学习兴趣 ,并保障课堂的连续性 ,设计了“大学生自主创业情境”、“公司奖励情境 ” ,可将例题的题意较好地表达出来 ,并符合学生的认知规律 . 诊断 :学生在学习时 ,可能会因更多地关注解决
6、数学计算问题而忽略数学思想的提炼 ,这个教学问题的解决 ,需要教师有目的地进行引导 . 四、教学支持条件 .在进行几类 不同 增长的 函数模型 的教学时 ,学生已经学习了函数概念、表示法及性质 ,指数函数、对数 函数以及幂函数 的相关知识 ,这些内容是学生分析不同函数增长差异的重要条件 ,因此教学时应予以充分注意 ,引导学生多进行归纳与概括 . 为了能很好地帮助学生理解、反思学习内容 ,体会新学知识的要点 ,教学中需要用函数表格、图象来帮助学生理解分析问题 ,所以 ppt 和几何画板是重要的支持条件 .教学时充分注意这一条件 ,不仅可以加强几何直观 ,节省大量时间用于学生思考 ,而且可以对实际
7、问题中的数据不加“修饰”地进行分析 五、教学设计过程： 1.创设情景 引入课题 问题 1 在日常生活中 ,增长的话题 比比皆是 ,而我们学过的函数中有没有呈增长态势发展的呢？如果都是增长型函数 ,那么它们增长的态势是否都一样呢？ 设计意图：通过提问 比较自然地引导学生给出一次函数、指数函数、对数函数、幂函数 ,同时开门见山 ,直击主题“增长” ,自然引出课题 . 师生活动：教师提问 ,学生回答 ,相互补充 ,教师点评并板书课题：几类不同增长的函数模型 . 2.组织引导 合作探究 同学们 ,现在越来越多的大学生毕业以后选择了自主创业 ,将来你们中的一些也可能会办公司 ,做老板 .现在给大家一个模
8、拟的投资情境 . 案例 假设你有一笔资金用于投资 ,现有三种投 资方案供你选择 ,这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报 40 元； 3 方案二：第一天回报 10 元 ,以后每天比前一天多回报 10 元； 方案三：第一天回报 0 .4 元 ,以后每天的回报比前一天翻一番 请问 ,你会选择哪种投资方案？ 问题 2 你会选择哪种投资方案？选择投资方案的依据是什么？请用数学语言呈现你的理由 . 设计意图：提此问题让学生先选择好解题的依据 ,是每天回报量还是累计回报量？还让学生找出问题中的数量关系 ,也就是函数关系 . 师生活动： (1) 教师提问 ,通过学生讨论 ,具体计算后让学生说说自己会选择哪
9、种投资方案？ 选择投资方案的依据是什么？用怎样的方式表达数量关系 ? 学生 1：选择累计回报量 ,用函数解析式表达数量关系； 学生 2：选择累计回报量 ,直接用函数图像表达数量关系； 学生 3：选择每天回报量 ,先写出函数解析式再用列表的方式表达 . (2) 教师针对学生的回答 ,点评指出：选择投资方案的依据是累计回报量 ,但为了看累计回报量 ,可以先看每天回报量；另外 ,用解析式、表格及图像三种方式表达数量关系均可 ,但表达的同时有所区别：解析式较抽象 ,图表较直观 . (3) 教师引导 ,学生参与并利用计算器得出： 1.函数解析式； 2.每天回报表； 3.结论 表 问题 每天回报表（表）中
10、“ ”部分仍是方案三最大吗？ 设计意图：开始切入主题 ,通过引导使学生体会到表格中每一列数据增长的速度是不同的 ,从而使学生关注增加量 ,列出增加量 ,引出表 ,同时也为累计回报量与每天回报量之间的关系埋下伏笔 ,进而培养学生分析解决数学问题的能力 . 师生活动： 4 (1)学生思考并回答 :我发现到第天的时候 ,方案三最多 ,那么只要方案三数据的增长最快或者说增加量最多 ,即可解决这一问题 . (2)教师适时给出表 ,师生共同补充完整表 格 ,让学生初步体会各种函数增长的差异 . 表 问题 你能根据表中增加量的数据 ,概括出这几种常见函数的增长特点吗 ? 设计意图：进一步引导学生关注增加量
11、,感受增长差异 ,尤其是对“指数爆炸”含义的理解；在与学生交流和解决问题的过程中 ,使学生体会函数列表法的优点 . 师生活动：学生回答 ,教师加以完善 . 几种常见函数的增长特点：常数函数没有增长 ,一次函数匀速增长 ,指数函数爆炸增长 . 问题 通过表格比较了每天回报量的大小 ,得出相应结论 ,但这一案例解决完整了吗 ? 设计意图：虽然本节 课的主题是研究“增长” ,但必须要回归问题本身 ,选择一个最佳的投资方案 . 师生活动：教师利用幻灯片快 速给出累计回报表 (表 ),学生根据表 3 得出相应结论 . 表 问题 通过列表法己经得出案例的结论及对常见函数增长特点的初步体会 ,能否通过图像法
12、来进一步认识？请大家画出这三个函数的图像？并根据图像说明结论与增长特点？ 设计意图：本节课的主要教学任务就是要体会几类不同函数的增长差异 .让学生自己去概括总结出从图像上直观体会到的增长特点是本节课的一个重要环节 ,也作为一种完整的小结 .与此同时 ,培养5 学生良好的画图习惯 ,遵循列表、描点、连线画图三步骤 ,以及对函数定义域的关注 ,从中还能体会到数形结合思想是数学解题的一个重要的思想方法 . 师生活动 : (1)学生画图 ,教师纠错得出（图 1） : 1.函数图像为什么是孤立点？ （定义域为 N*） 2.为什么用光滑的虚线连接？（方便看增长趋势） (2)教师用多媒体动画演示连接孤立的点
13、 . 学生通过图像得出案例结论 : 学生通过图像用不同的语言概括增长特点 : 常数函数保持不变 ,一次函数直线上升 ,指数函数指数爆炸 . 过渡语 :现在你已经建好了公司 ,公司寻求回 报 ,你的员工也要寻求回报 .为了激励员工 ,你需要对他们实行奖励 ,你制定了这样一个公司奖励模型 . 公司奖励模型问题 : 图 1 你的公司为了实现 1000 万元利润的目标 ,准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时 ,按销售利润进行奖励 ,且奖金 y （单位：万元）随销售利润 x （单位：万元）的增加而增加 ,但奖金不超过 5 万元 ,同时奖金不超过利 润的 25%现有三个奖励模型
14、： xy 25.0 1log7 xy xy 002.1 其中哪个模型能符合公司的要求？ 问题 大家认真审题 ,能否用数学符号语言将公司的要求（或条件）描述出来 ? 设计意图：解决实际问题的第一步就是审题 ,并将之数学化 .在此更进一步培养学生解决实际问题的能力 . 师生活动：个别学生回答 ,教师在黑板上列出：条件 1： 10,1000x ；条件 2： 5y ；条件3： 0.25yx ；条件：增函数 . 问题 我们可以如何验证 5y ? 设计意图：引导学生如何利用题目条件 ,从数和形两方面解决数学问题 ,既巩固应用前面学到的数学方法 ,又为下面问题的解决提供方向 . 师生活动：学生思考并个别回答
15、： 学生：根据条件：增函数 ,只需验证当 1000x 时 , 5y 即可 ,通过计算发现：xy 25.0 、 xy 002.1 都不符 , 1log7 xy 符合 . 学生：通过图像直观观察得出 . 问题 如何验证 7log 1 0.25xx ? 设计意图：在 7log 1 0.25xx 的验证过程中 ,始终不脱离本课主题 ,回归到函数的“增长特征”上去 ,并充分体现数形结合、构造函数的思想方法 . 6 师生活动 : 学生思考并个别回答 ,教师适时提问： (1)学生 :将图像放大 后观察函数 1log7 xy 与 xy 25.0 的图像 ,发现在 10,1000x 都满足 . (2)在教师的引
16、导下 ,学生加以补充 学生：只需将 10x 代入计算 ,是符合条件的；再结合图像发现直线的增长比对数函数快 ,对数函数增长较为平缓所以 10,1000x 都满足 . (3) 教师根据以上学生回答板书方法一：数形结合法 令 1 0.25yx , 27log 1yx 当 10x 时 1 0.25 10 2.5,y 27log 10 10y , 1 2 7 7 71 . 5 l o g 1 0 l o g 3 4 3 l o g 1 0 0 0yy 12yy 给合图 (2) 得 7log 1 0.25xx 对10,1000x 恒成立 图 2 并通过几何画板动画演示 BC= 12yy 的变化情况 ,
17、引导学生构造函数 . (4) 学生三回答 ,教师继续板书方法二：构造函数法 令 7( ) 0 . 2 5 l o g 1 , 1 0 , 1 0 0 0 F x x x x 由图 (3)得 7( ) 0 .2 5 lo g 1F x x x 在 10,1000x 上单调递增 . 所以 ( ) (1 0 ) 0F x F, 即 7log 1 0.25xx 对10,1000x 恒成立 图 3 3总结反思 归纳提升 问题 通过本节课的学习 ,你有哪些收获？请你对本节课作一总结 . 设计意图：归纳总结本节内容 . 师生活动：学生思考交流 ,教师帮助总结以下内容： （ 1）知识：对函数的性质有了解：我们
18、体会到同是增长型函数 ,但其增长差异却很大 :：常数函数没有增长 ,一次函数直线上升 ,指数函数爆炸增长 ,对数函数平缓增长 . （ 2）方法：建模的思想 ,数 形结合思想 ,构造函数思想等等 . 六、目标检测设计 1. 教科书 P98,练习、 . 7 设计意图：让学生巩固函数增长特征这一知识点 . 2.探究题：请利用计算器或计算机从图、表两方面对函数 2 22 , , lo gxy y x y x 的增长差异进行比较 . 设计意图 :：引出下一课时内容 ,为下面研究一般指数、对数、幂函数的增长差异奠定了探究的方向 . 七、教学体会与反思 (1)数学问题解决教学应 该从创设问题情景开始，本设计
19、的情境创设比较成功 .“日常生活中，增长的话题比比皆是，而我们学过的函数中有没有呈增长态势发展的呢？如果都是增长型函数，那么它们增长的态势是否都一样呢？”短短几句话，不但交代了本课的研究主题，而且比较自然地引导学生引出一次函数、指数函数、对数函数、幂函数，开门见山，直击“增长” .实际教学中大多以真实的或虚拟的“生活化”材料为载体创设教学情境，如用教材章头图中的兔子问题或其它情景作为素材 ,以迎合“能让学生体会到数学源于生活，增长学生的应用意识”，注重“数学教育应该与现实生活密切联系” 这一现代教学理念 .本课的教学内容是通过两个实际问题解决，让学生体会几类不同类型的函数增长的差异，执教教师就
20、地取材，将书本中的例 1 为素材得到了一个虚拟的“生活化”材料，教学过程中不但自然地出示了例 1，而且激发学生的学习和解决问题的兴趣，为学生的观察、归纳、猜想和证明提供了基础 . (2)问题的解决围绕着“弄清问题 拟定计划 实现计划 回顾”进行教学，教学中充分发挥了学生的主体作用 .在例题教学中既有动手操作的实践活动，又有动脑思考和数学思维活动 .例 1 的教学过程中，抓隹关键词“回报”，从不同的角度看待回报，让学生辨 别“每天回报量”、“累计回报量”；从函数表达的三种不同形式入手，建立函数模型，让学生经历从解析式到表格、图象的全过程 .在这个过程中，让学生感受到图表的直观，解析式的抽象 .在
21、求累计回报量时，由于学生不会求等比数列的和，选取对函数模型列表计算作出判断和选择，处理有详有略，让学生体会到了常数函数、一次函数与指数型函数的增长差异 .例 2 中在判断是否满足“约束条件 7log 1 0.25xx ”时，考虑到教课书上介绍的构造函数法学生理解比较困难，教师先用利用数形结合，学生能很直观地感受xy 25.0 在图像 1log7 xy 的上方，有此基础后，再讲解方法二，即“构造函数法”，通过板书详细分析求解过程，帮助学生对“构造函数法”的理解，给学生留下一个深刻的印象 .整个例 2 教学让学生经历了观察、归纳、猜想、证明的完整过程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过
22、程 . 商讨之处： (1)教学内容不能只局限于课本中两个例题 ,要适当进行拓展延伸 ,不仅巩固新知 ,而且让学生感觉数学是有用的 ,数学就在我们身边 .如果对例 2 进行拓展延伸，效果更佳 . 如 :为了实现 1000 万元利润的目标，在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元 )随着销售利润 x (单位：万元 )的增加而增加 ,要求如下： 10 万 50 万，奖金不超过 2 万； 50 万 200 万 ,奖金不超过 4 万； 200 万 1000 万 , 奖金不超过 20 万 .请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案 .（四人团队合作完成） (2)更加重视与学生合作交流 ,让学生自己动手操作 .例如 ,原设计中 案例 的列表画图过程 ,教师可事前设计好两张表格 (日回报表和累计回报表 )及坐标系 ,在课堂上由学生两人小组合作完成 ,再8 让学生分 析表格和图像有哪些区别 ,既培养学生分析问题、解决问题的能力 ,又提高了整个课堂的教学效率 . (3)更加重视信息技术对课堂教学的作用 .例如 ,原设计中 案例 的图像分析过程 ,可利用几何画板动点演示三条曲线的增长快慢和 y 的变化情况，使教学过程更加生动，从而调动学生的学习积极性 ,更直观地体会到三个函数模型的增长差异 .
