1、1图 形 的 相 似信 阳 市 七 中 黄 玲【教学目标】1、了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件。2、掌握相似三角形的性质，能利用图形的相似解决一些实际问题。【教学重点】相似三角形的判定与性质的应用。【教学难点】利用图形的相似解决实际问题。【教学过程】一、谈话引入新课 “相似”是图形的一种变换，中考会涉及到图形相似的判定和性质的简单应用。 “图形的相似”包括判定和性质两大块。今天我们来复习最基本的图形 “三角形相似的判定和性质。 ”二、三解形相似的判定1、基础知识回顾（1）若 ，CB，A010100 5345。1_CB则（2）若 BC= ，AC=1， ，且 ，22211A.10
2、5C则 。1（3）若 则bAa,11 cB1。_BA（4）Rt 中， ，则 Rt1CRt和 若,90111CA.1C2、三角形相似的判定方法是：（1） 两角对应相等的两个三角形相似；（2） 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；2（3） 三边对应成比例的两个三角形相似；（4） 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，则这两个直角三角形相似。3、如何根据已知条件 ， 灵 活选用适当的方法判定三角形相似呢 ？ 请 看例1。例 1：（1）如图，在正方形网格上，若使 应在（ PBD，AC则 点）AP 1 处 B.P2 处 C.P3 处 D.P4 处分小组讨
3、论，探究 P 点所在的位置；归纳解题方法：在正方形网格中，的三边及 BD 的长均可表示出来，BC故可选择三边对应成比例，两三角形相似判定 P 点的位置。另外，仔细观察图形 恰为 1350，故可构造A，也可以选择两边对应成0135D比例且夹角相等两三角形相似判定 P点的位置。（2）如图，请你补充一个你认为正确的条件，使 。_。ACB小结：补充条件，是在充分利用隐含条件基础上补充（此题是：公共角 ）因此可补充ABADCB，221或或使 。D练习：在 BCAC，D 是 AC 上一点，过点 D 作直线 ，使AC中 l截得三角形与原三角形相似，若直线 过点 D 且与边 AB 相交，则这样的l直线 有_条
4、。若直线 只过点 D，则这样的直线 有_条。若l l l等腰三角形，且 AB=AC，其它条件不变，则这样的直线 有_为AB l条；若 ABC 为直角三角形，且 ，其它条件不变，则这样的09ABC直线 有_条。l小结，在公共角 的基础上，再做一对角对应相等，从而构造“A 字型图”或“非 A 字型图” 。cBAD DBAcP1P2P3P4DACB. DACB. 3变式拓展训练：如图，已知矩形 ABCD 的边长AB=3cm，BC=6cm,某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1 cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以2cm/s 的速度向 A
5、点匀速运动。问：是否存在时刻 t，使以 A、M、N 为顶点的三角形与 ACD 相似？若存在，求 t 的值，若不存在，请说明原因。分析：借助多媒体演示，引导学生观察，当点 M、 N 分别在 AB 和DA 上运动时， AMN 的形状会随之改变，从而引起以点 M、A、N 为顶点的三角形与 ACD 的对应关系也发生改变。故需分类讨论。之后，由小组合作完善此题的解答过程。解：假设存在时刻 t，使以 A、M、N为顶点的三角形与 ACD 相似由矩形 ABCD 及 09CD当 时， ，即AN632t解之：t= 32当 即AC，MND时 3t解之：t= 51经检验：t= 均 符 合 题 意或 23t存在时刻 t
6、 的值为 A、M、N 为顶点的三角形与以秒 时秒 或 51ACD 相似。小结：当相似三角形对应关系不确定时，一定注意分类讨论其对应关系，切不可漏解。三、相似三角形的性质前面我们应用三角形相似的判定解决一些数学问题。而相似三角形的性质对解决一些实际问题有很大帮助。下面来复习相似三角形的性质。CD N N AMMB4基础知识回顾：（1）相似三角形的对应角_，对应边_。（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 _；（3）相似三角形周长的比等于_；（4）相似三角形面积的比等于_。例 2：如是图是一张简易活动餐桌，现测得 OA=OB=30cm，OC=OD=50cm，现要求离地面
7、的高度为 40cm，则两条桌腿的张角 COD 的大小应为_。分析：师问：在三角形中，已知边求角，往往易联想到什么？生答：直角三角形的边角关系。师问：如何构造直角三角形？生答：连 CD，过点 O 作 ON CD 于 N，OM OB 于 M，设ON= 则 OM=40-师问：刚才这位同学所作的辅助线一定有 MO+ON=40 吗？生答：不一定，需证点 M、O、N 三点共线。师问：可以避开证三点共线吗？那么辅助线应如何描述较好？生答：过点 O 作 ON CD 于 N，延长 NO 交 AB 于 M，则MN AB师问：如何求 ON 的长？生答：利用相似三解形对应高的比等于相似比。由学生完成解答过程。小结：由
8、边求角或由角求边，通常构造直角三角形，利用边角关系求解。练习：已知 ABC 的三边长分别为 20cm、50cm、 60cm，现要利用长度分别为 30cm 和 60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与 ABC 相似，要求以其中一根为边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另两边的长度分别为（ ）A10cm;25cm B.10cm,36cm 或 12cmm,36cmC12 cm;36cm D.10cm,25cm 或 12cm,36cm学生活动：将全班学生分成两大阵营，一部分将 30cm 木条不动，60cm 的木条截成两段，另一部分将 60cm 木条不动，30cm 的木条截成两段，两
9、组分别讨论、交流，并派出代表阐述结果及其理由。变式拓展练习：某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质可以拓展到扇形的相似中去，例如：可以定义A BC D5“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形” ；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方。请你协助他们探索这个问题：（1）写出判定扇形相似的一种方法：_。（2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为 a,弧长为 m，另一个半径为 2a，则它的弧长为_。（3）如图是一个完全打开的纸扇、外侧两竹条AB 与 AC 的夹角为 120 ，AB 为 30cm，现要做一个0和它形状相同、面积是它一半
10、的纸扇（如图） ，求新做纸扇的圆心角和半径。小结：第（1）个问题中探究扇形相似的判定方法，是在相似扇形定义的基础上给出的一种合理的方法因此你所给的判定方法，一定能转化为定义法判定。故有两种方法：圆心角相等的两个扇形相似或半径和弧长成比例的两个扇形相似。四、小结：知识清单1、三角形相似的判定2、相似三角形的性质五、思考题如图，在 Rt 分别为把 边 长中 ，ACBC，AB2190, 的 个正方形依次放入 ABC 中，请回答下列问题。321，n （1）按要求填表1 2 3n（2）第 个正方形的边长 =nB A C B A C ACB x1 X2 x36（3）若 是正整数，且 = ，试判断 的qpn
11、m,mnpqqpnm,关系。分析 正方形截三角形 ABC 所得的小三角形的相似，且与 ACB 相似，由于可得 ， 理得三角121BCA即 同321形相似可求 32，【教案设计说明】一、教材内容的地位与作用相似图形是现实生活中广泛存在的现象（全等图形其实就是它的一个特例） ，探索相似图形的一些重要性质的过程，不仅可以使学生更好的认识、描述物体的形状，体会图形相似在刻画现实世界中的重要作用，而且也可以从通过解决现实世界的具体问题，提高学生应用数学意识和合作交流的能力。二、教案设计的整体构思本节课是一节复习课，教学设计依据新课标的要求，重点训练三角形相似的判定和性质的应用，并通过典型实例观察和认识现
12、实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题。课堂结构以“基础知识回顾” 、 “典例剖析” 、 “跟踪训练”7为主线索；课堂活动以小组活动贯穿始终，充分以教师为主导、学生为主体的原则，整个教堂过程力求激发学生合作交流的意识，发扬其团队精神，进行创造性学习，教学内容的设计渗透了分类讨论、类比探究、寻找规律、动点以及探索条件等，多种数学题型，以此培养学生类比联想、观察、分析的能力，培养学生数学思维的深刻性、灵活性和创造性。数学来源于实践，又反过来指导实践。本节课设计“活动餐桌”一例，引导学生将所学知识应用到实践中，解决简单的生活中存在的数学问题。另外“相似扇形的定义、判定及性质”一例的设计，重在培养学生类比迁移的能力，举一反三的能力和自主探索的能力，使“用数学的意识”潜移默化在课堂的每时每刻。
