1、中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询电话：010-82330666 / 4006 500 666(全天 24 小时服务) 面授中心咨询电话：010-82501115（面向北京地区招生） 三角函数图像和性质知识讲解及例题分析了解三角函数的周期
2、性，知道三角函数 y Asin（ x ） ， y Acos（ x ）的周期为 。能画出 ysin x， ycos x， ytan x 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（ ， ）上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点等） 。了解三角函数 y Asin（ x + ）的实际意义及其参数 A， ， 对函数图象变化的影响；会画出 y Asin（ x + ）的简图，能由正弦曲线 ysin x 通过平移、伸缩变换得到y Asin（ x + ）的图象。会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。三. 教学重点：三角函数的性质
3、与运用教学难点：三角函数的性质与运用。中小学教育网课程推荐网络课程小学：剑桥少儿英语 小学数学思维训练初中：初一、初二、初三强化提高班 人大附中同步课程 高中：高一、高二强化提高班 全国高中数学联赛 人大附中同步课程 高考：高考全程辅导 高考专业介绍与报考指导 高考考前冲 刺辅导特色： 网络 1 对 1 答疑 Q 版英语 人大附中校本选修课竞赛：初中数学联赛 高中数学联赛 高中物理奥 林匹克竞赛 高中化学奥 林匹克竞赛面授课程：中小学教育网学习中心面授班中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115中小学教育网（）
4、汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询电话：010-82330666 / 4006 500 666(全天 24 小时服务) 面授中心咨询电话：010-82501115（面向北京地区招生） 四. 知识归纳1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2. 三角函数的单调区间：的递增区间是 ，递减区间是 ；的递增区间是 ，递减区间是 ，的递增区间是 ，3. 函数最大值是 ，最小值是 ，周期是
5、 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ；其图象的对称轴是直线 ，凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心。中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询电话：010-82330666 / 4006 500 666(全天 24 小时服务) 面授中心咨询电
6、话：010-82501115（面向北京地区招生） 4. 由 ysinx 的图象变换出 ysin(x )的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 ysinx 的图象向左( 0)或向右( 0平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(0)，便得 ysin(x )的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将 ysinx 的图象上各点的横坐标变
7、为原来的 倍(0),再沿 x 轴向左( 0)或向右( 0平移 个单位，便得 ysin(x )的图象。5. 由 yAsin(x )的图象求其函数式：给出图象确定解析式 y=Asin（x+ ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（， 0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.6. 对称轴与对称中心：的对称轴为 ，对称中心为 ；的对称轴为 ，对称中心为 ；对于 和 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。7. 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意 A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8. 求三角函数周期
8、的常用方法：经过恒等变形化成“ 、 ”的形式，再利用周期公式，另外中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询电话：010-82330666 / 4006 500 666(全天 24 小时服务) 面授中心咨询电话：010-82501115（面向北京
9、地区招生） 还有图像法和定义法。9. 五点法作 y=Asin（x+ ）的简图：五点取法是设 x=x+ ，由 x 取 0、 、 、 2 来求相应的 x 值及对应的 y 值，再描点作图。【典型例题】例 1. 把函数 y=cos（x+ ）的图象向左平移 个单位，所得的函数为偶函数，则 的最小值是A. B. C. D.解：先写出向左平移 4 个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解.向左平移 个单位后的解析式为 y=cos（x+ + ） ，则 cos（x+ + ）=cos（x+ + ） ，cosxcos（ + ）+sinxsin（ + ）=cosxcos（ + ）sinxsin（ + ）.sinxsi
10、n（ + ）=0，xR. + =k. =k 0.k .k=2. = .答案：B例 2. 试述如何由 y= sin（2x+ ）的图象得到 y=sinx 的图象.中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询电话：010-82330666 / 4006
11、500 666(全天 24 小时服务) 面授中心咨询电话：010-82501115（面向北京地区招生） 解：y= sin（2x+ ）另法答案：（1）先将 y= sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位，得 y= sin2x 的图象；（2）再将 y= sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得 y= sinx 的图象；（3）再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍（横坐标不变） ，即可得到y=sinx 的图象.例 3. 求函数 y=sin4x+2 sinxcosxcos4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在0，上的单调递增区间.解：y=sin4x+
12、2 sinxcosxcos4x=（sin2x+cos2x） （sin2xcos2x）+ sin2x= sin2xcos2x=2sin（2x ）.故该函数的最小正周期是 ；最小值是2；单调递增区间是0， ， ，.点评：把三角函数式化简为 y=Asin（x+ ）+k（0）是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法.中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部地址：北京市海
13、淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询电话：010-82330666 / 4006 500 666(全天 24 小时服务) 面授中心咨询电话：010-82501115（面向北京地区招生） 例 4. 已知电流 I 与时间 t 的关系式为 。（1）下图是 （0， ）在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式；（2）如果 t 在任意一段 秒的时间内，电流 都能取得最大值和最小值，那么 的最小正整数值是多少？解：本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力（1）由图可知 A300设 t1 ，t2 ， 则周期
14、 T2（t2t1）2（ ） 150 又当 t 时，I0，即 sin（150 ）0，而 ， 故所求的解析式为 中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询电话：010-82330666 / 4006 500 666(全天 24 小时服务) 面授中心咨
15、询电话：010-82501115（面向北京地区招生） （2）依题意，周期 T ，即 ， （ 0） 300942，又 N*，故最小正整数 943 点评：本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言。其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。 例 5. （1） y=cosx+cos（ x+ ）的最大值是_；（2） y=2sin（3 x ）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_.解：（1） y=cosx+ cosx sinx= cosx sinx= （ cosx sinx）= sin（ x）.所以 ymax= .（2） T= ，相邻对称轴间的距离为 .答案： 例 6. （1）已知 f（ x）的定义域为
16、0，1 ，求 f（cos x）的定义域；（2）求函数 y=lgsin（cos x）的定义域.分析：求函数的定义域：（1）要使 0cos x1， （2）要使 sin（cos x）0，这里的cosx 以它的值充当角.中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200
17、米 咨询电话：010-82330666 / 4006 500 666(全天 24 小时服务) 面授中心咨询电话：010-82501115（面向北京地区招生） 解：（1）0cos x1 2k x2 k+ ，且 x2 k（ kZ）.所求函数的定义域为 x x2 k ，2 k+ 且 x2 k， kZ.（2）由 sin（cos x）0 2kcos x2 k+ （ kZ）.又1cos x1，0cos x1.故所求定义域为 x x（2 k ，2 k+ ） ， kZ.点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.例 7. 求函数 y=sin6x+cos6x 的最小正周期
18、，并求 x 为何值时， y 有最大值.分析：将原函数化成 y=Asin（ x + ）+ B 的形式，即可求解.解： y=sin6x+cos6x=（sin 2x+cos2x） （sin 4xsin 2xcos2x+cos4x）=13sin 2xcos2x=1 sin22x= cos4x+ . T= .当 cos4x=1，即 x= （ kZ）时， ymax=1.例 8. 判断下面函数的奇偶性：f（ x）=lg（sin x+ ）.分析：判 断 奇 偶 性 首 先 应 看 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称 ， 然 后 再 看 f（ x） 与 f（ x） 的 关 系 .解：定义域为 R，又 f
19、（ x）+ f（ x）=lg1=0，即 f（ x）= f（ x） ， f（ x）为奇函数.中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询电话：010-82330666 / 4006 500 666(全天 24 小时服务) 面授中心咨询电话：010-8
20、2501115（面向北京地区招生） 评述： 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件.例 9. 求下列函数的单调区间：（1） y= sin（ ） ；（2） y=sin（ x+ ）.分析：（ 1） 要 将 原 函 数 化 为 y= sin（ x ） 再 求 之 .（ 2） 可 画 出 y= |sin（ x+ ） |的图象.解：（1） y= sin（ ）= sin（ ）.故由 2k 2 k+3k x3 k+ （ kZ） ，为单调减区间；由 2k+ 2 k+3k+ x3 k+ （ kZ） ，为单调增区间.递减区间为3 k ，3 k+ ，递增区间为3 k+ ，3 k+ （ kZ）.（2
21、） y=|sin（ x+ ）| 的图象的增区间为 k+ ， k+ ，减区间为 k ， k+ .中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询电话：010-82330666 / 4006 500 666(全天 24 小时服务) 面授中心咨询电话：010
22、-82501115（面向北京地区招生） 例 10. 已知函数 f（ x）= ，求 f（ x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.剖析：此 题 便 于 入 手 ， 求 定 义 域 、 判 断 奇 偶 性 靠 定 义 便 可 解 决 ， 求 值 域 要 对 函 数 化 简 整理 .解：由 cos2x0 得 2x k+ ，解得 x + （ kZ）.所以 f（ x）的定义域为 x|xR 且 x + ， kZ.因为 f（ x）的定义域关于原点对称，且f（ x）= =f（ x） ，所以 f（ x）是偶函数.又当 x + （ kZ）时，f（ x）= = =3cos2x1，所以 f（ x）的值域为 y|1 y 或 y2.例 11. 已知 为 的最小正周期，且 。求 的值。
