1、英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念，优质课程资源学习方法报社 第 1 页 共 4 页1.1.2 导数的概念【学习目标】1掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义2理解导数的定义【学习重点】知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度导数的定义【学习难点】理解物体的瞬时速度的意义导数的定义【课堂过程】一、复习引入： 平均变化率函数 平均变化率 )(xf 12)(xffx二、讲解新课：1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置) 的速度，叫做瞬时速度2. 确定物体在某一点 A 处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点 A 处的瞬时速度，从 A
2、点起取一小段位移 AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过 A 点的瞬时速度当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过 A 点的瞬时速度了我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为 s=s(t)，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t0，t 0+t，现在问从 t0 到 t0+t 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为 s=s(t0+ t)s(t 0)( t 称时间增量)平均速度 tstv(0根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间 t 来表
3、示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度现在是从 t0 到 t0+ t，这段时间是 t时间 t 足够短，就是 t 无限趋近于 0当 t0 时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度瞬时速度 tssvtt )(limli 000所以当 t0 时，平均速度的极限就是瞬时速度 奎 屯王 新 敞新 疆3导数的概念：导数的定义：设函数 在 处附近有定义，当自变量在 处有增量 时，则函数)(xfy0 0xx相应地有增量 ，如果 时， 与 的比()f )(0xfxfyy英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念，优质课程资源学习方法报社 第 2 页 共 4 页（也叫函数
4、的平均变化率）有极限即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫xyxy做函数 在 处的导数，记作 ，即 )(f0x0/fxf)(lim(0/注意：(1)函数应在点 的附近有定义，否则导数不存在0x(2)在定义导数的极限式中， 趋近于 0 可正、可负、但不为 0，而 可能为 0x y(3) 是函数 对自变量 在 范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲xy)(f线 上点（ ）及点 ）的割线斜率)(f,0x)(,(00xf(4)导数 是函数 在点 的处瞬时变化率，ffx)lim0/ (fy0x它反映的函数 在点 处变化的快慢程度)(fy(5)导数是一个局部概念，它只与函数 在 及其附近的函数值有关，
5、与)(xfy0无关x(6)在定义式中，设 ，则 ，当 趋近于 0 时， 趋近于 ，x00x0因此，导数的定义式可写成 奎 屯王 新 敞新 疆0000/ )(lim)(lim)( 0xffxffxf xox(7)若极限 不存在，则称函数 在点 处不可导ffx)(li00 )(fy0x4例题分析：例 1 物体自由落体的运动方程 s=s(t)= gt2，其中位移单位 m，时间单位 s，g=9.8 m/s 2. 1求 t=3 这一时段的速度解：取一小段时间3，3+ t ，位置改变量 s= g(3+ t)2 g32= (6+ t)1 t，平均速度 g(6+ t)瞬时速度21tsv英格教育文化有限公司 h
6、ttp:/www.e-l- 全新课标理念，优质课程资源学习方法报社 第 3 页 共 4 页m/s 4.293)(21limli00 gtvtt说明：由匀变速直线运动的速度公式得 v=v0+at=gt=g3=3g=29.4 m/s，与我们求得的结果是一致的例 2 已知质点 M 按规律 s=2t2+3 做直线运动( 位移单位：cm，时间单位：s)，(1) 当t=2， t=0.01 时，求 t(2)当 t=2， t=0.001 时，求 ts(3)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度分析： s 即位移的改变量， t 即时间的改变量， 即平均速度，当 t 越小，求ts出的 越接近某时刻的速度t解： =4
7、t+2 ttttsst )32()(2)(2(1)当 t=2， t=0.01 时， =42+20.01=8.02 cm/st(2)当 t=2， t=0.001 时， =42+20.001=8.002 cm/sts(3)v= (4t+2 t)=4t=42=8 cm/s00limlitts例 3 求 y=x2 在点 x=1 处的导数分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求 y，再求 ，最后求x0limxy解： y=(1+ x)21 2=2 x+( x)2， =2+ xxy2)( = (2+ x)=2 y| x=1=20lix0lix英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全
8、新课标理念，优质课程资源学习方法报社 第 4 页 共 4 页注意：( x)2 括号别忘了写三、课堂练习：1.一直线运动的物体，从时间 到 时，物体的位移为 ，那么 为（ tts0limts）从时间 到 时，物体的平均速度； 在 时刻时该物体的瞬时速度； ttt当时间为 时物体的速度； 从时间 到 时物体的平均速度 奎 屯王 新 敞新 疆t2一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是 s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在 t=5 时的瞬时速度解：瞬时速度 v=200(5)(5)limlit tstt(10+ t)=10 m/s0lit瞬时速度 v=2t=25=10 m/s3.质点
9、M 按规律 s=2t2+3 做直线运动( 位移单位：cm，时间单位：s)，求质点 M 在 t=2时的瞬时速度解：瞬时速度 v= ttstt )32()2(lim)li00= (8+2 t)=8 cm/s0limt点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景2求 y=2x2+4x 在点 x=3 处的导数解： y=2(3+ x)2+4(3+ x)(23 2+43)=2( x)2+16 x， =2 x+16y = (2 x+16)=16，即 y| x=3=160limx0lix四、小结 ：这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式瞬时速度 v= tsst)(li0f(x 0)=y| = =0xlimyxffx)(li00五、课后作业：略
