1、英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念，优质课程资源学习方法报社 第 1 页 共 6 页2.3.1 离散型随机变量的均值与方差（一）学习目标：1 奎 屯王 新 敞新 疆 了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望理解公式“E（a+b）=aE+b” ，以及“若 B（n,p） ，则 E=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望 奎 屯王 新 敞新 疆学习重点：离散型随机变量的期望的概念 奎 屯王 新 敞新 疆学习难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望 奎 屯王 新 敞新 疆课堂过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以
2、用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 奎 屯王 新 敞新 疆 随机变量常用希腊字母 、 等表示 奎 屯王 新 敞新 疆2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 奎 屯王 新 敞新 疆3连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 奎 屯王 新 敞新 疆4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离 散 型 随 机 变 量 与 连 续 型 随 机 变量 都 是 用 变 量 表 示 随 机 试 验 的 结 果 ； 但 是 离 散 型 随 机 变 量 的 结 果 可 以
3、按 一 定 次 序 一 一列 出 ， 而 连 续 性 随 机 变 量 的 结 果 不 可 以 一 一 列 出 奎 屯王 新 敞新 疆若 是随机变量， 是常数，则 也是随机变量 奎 屯王 新 敞新 疆 并 且 不 改 变 其 属 性ba,（ 离 散 型 、 连 续 型 ） 奎 屯王 新 敞新 疆5. 分布列:设离散型随机变量 可能取得值为 x1， x2， x3， 取每一个值 xi（ i=1，2，）的概率为 ，则称表()iiPp x1 x2 xi P P1 P2 Pi 为随机变量 的概率分布，简称 的分布列 奎 屯王 新 敞新 疆6. 分布列的两个性质： Pi0， i1，2，； P1+P2+=1二
4、、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数 的分布列如下 4 5 6 7 8 9 10P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22在 n 次射击之前，可以根据这个分布列估计 n 次射击的平均环数这就是我们今天要学习的离散型随机变量的期望 奎 屯王 新 敞新 疆根据射手射击所得环数 的分布列，我们可以估计，在 n 次射击中，预计大约有 次得 4 环；P02.)4(次得 5 环；5英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念，优质课程资源学习方法报社 第 2
5、 页 共 6 页次得 10 环nP2.0)1(故在 n 次射击的总环数大约为 .44.5n2.01，( )从而，预计 n 次射击的平均环数约为02. 3.8.这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平对于任一射手，若已知其射击所得环数 的分布列，即已知各个（i=0 ，1，2， 10） ，我们可以同样预计他任意 n 次射击的平均环数:)(P )0()1(P)10(P1.数 学 期 望 : 一 般 地 ， 若 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 为 x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称 为 的 均 值 或
6、 数 学 期 望 ， 简 称 期 望 E1px2n2. 数 学 期 望 是 离 散 型 随 机 变 量 的 一 个 特 征 数 ， 它 反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水平 奎 屯王 新 敞新 疆3. 平 均 数 、 均 值 :一 般 地 ， 在 有 限 取 值 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 中 ，令 ，则有 ， ，所1p2np12pn1E1(x2nx1)以 的 数 学 期 望 又 称 为 平 均 数 、 均 值 奎 屯王 新 敞新 疆4. 期望的一个性质:若 (a、 b 是 常 数 )， 是 随 机 变 量 ， 则 也 是 随 机 变 量 ，它
7、们 的 分 布 列 为 x1 x2 xn ba baP p1 p2 pn 于是 E1)(bax2)(xnx)( ) )n1b2n ，由此，我们得到了期望的一个性质: aE)(5.若 B（n,p） ，则 E=np 英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念，优质课程资源学习方法报社 第 3 页 共 6 页证明如下：因为 ，knknknqpCpP)1()(所以 0 1 2 k nEqC01n2nknqpC0qpn又因为 ，1)!(1)!()!( knkn knk所以 Ep10nqC2p)1(1kknqpC)01qpCnnn1)(故若 B(n， p)， 则 np三、讲解范例：例
8、 1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，罚不中得 0 分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分 的期望 奎 屯王 新 敞新 疆解：因为 ，3.0)(,7.0)(P所以 .1E例 2 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数 的期望.解：因为 ，6,21,/)(iiP=3.5./6/1E例 3. 有一批数量很大的产品，其次品率是 15%，对这批产品进行抽查，每次抽取 1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数比超过10 次 奎 屯王 新 敞新 疆 求抽查次数 的期望（结果保留三个有效数字） 奎 屯王 新 敞新 疆解：抽查次数 取 010 的整数，从这批数量很
9、大的产品中抽出 1 件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是 0.15，取出正品的概率是 0.85，前 次取出正品而k第 次（ =1， 2，9）取出正品的概率：k（ =1，2，9）15.08.)(kPk需要抽查 10 次即前 9 次取出的都是正品的概率： 奎 屯王 新 敞新 疆 由此可得 的概985.0)1(P率分布如下：英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念，优质课程资源学习方法报社 第 4 页 共 6 页1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P0.15 0.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.
10、0409 0.2316根据以上的概率分布，可得 的期望 奎 屯王 新 敞新 疆35.216.01275.0.1E例 4 一次英语单元测验由 20 个选择题构成，每个选择题有 4 个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得 5 分，不作出选择或选错不得分，满分 100分 奎 屯王 新 敞新 疆 学生甲选对任一题的概率为 0.9，学生乙则在测验中对每题都从 4 个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 奎 屯王 新 敞新 疆解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是 ，则 ,B（20,0.9 ）, , 奎 屯王 新 敞新 疆)25.0(B
11、 52.0,189.0EE由于答对每题得 5 分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是 5 和 5 奎 屯王 新 敞新 疆 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：奎 屯王 新 敞新 疆25)(5(,9018)( E例 5 随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数 的数学期望解：抛掷骰子所得点数 的 概 率 分 布 为 1 2 3 4 5 6P 661所以 1 2 3 4 5 6E(123456) 3.561抛掷骰子所得点数 的 数 学 期 望 ， 就 是 的 所 有 可 能 取 值 的 平 均 值 例 6 某 城 市 出 租 汽 车 的 起 步 价 为 10 元 ， 行 驶 路 程 不 超 出
12、4km 时 租 车 费 为 10 元 ，若 行 驶 路 程 超 出 4km， 则 按 每 超 出 lkm 加 收 2 元 计 费 (超 出 不 足 lkm 的 部 分 按 lkm 计 ) 从 这 个 城 市 的 民 航 机 场 到 某 宾 馆 的 路 程 为 15km 某 司 机 经 常 驾 车 在 机 场 与 此 宾 馆之 间 接 送 旅 客 ， 由 于 行 车 路 线 的 不 同 以 及 途 中 停 车 时 间 要 转 换 成 行 车 路 程 (这 个 城 市规 定 ， 每 停 车 5 分 钟 按 lkm 路 程 计 费 )， 这 个 司 机 一 次 接 送 旅 客 的 行 车 路 程 是
13、 一 个随 机 变 量 设 他 所 收 租 车 费 为 奎 屯王 新 敞新 疆( )求 租 车 费 关 于 行 车 路 程 的 关 系 式 ；( )若 随 机 变 量 的 分 布 列 为 15 16 17 18P 0.1 0.5 0.3 0.1求所收租车费 的数学期望( )已 知 某 旅 客 实 付 租 车 费 38 元 ， 而 出 租 汽 车 实 际 行 驶 了 15km， 问 出 租 车 在 途 中 因英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念，优质课程资源学习方法报社 第 5 页 共 6 页故 停 车 累 计 最 多 几 分 钟 ?解 ： ( )依 题 意 得 =2
14、(-4)十 10， 即 =2+2；( ) E4.16083.75.6.015因为 =2+2所以 2E+2=34.8 （ 元 ）故 所收租车费 的数学期望为 34.8 元( )由 38=2+2， 得 =18， 5 (18-15)=15所 以 出 租 车 在 途 中 因 故 停 车 累 计 最 多 15 分 钟 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆四、课堂练习：1. 口袋中有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，从中任取 3 球，以 表示取出球的最大号码，则 （ E）A4； B5； C4.5 ； D4.75 奎 屯王 新 敞新 疆答案：C 奎 屯王 新 敞新 疆2. 篮球运动员在比赛中
15、每次罚球命中的 1 分，罚不中得 0 分已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，求他罚球 1 次的得分 的数学期望；他罚球 2 次的得分 的数学期望；他罚球 3 次的得分 的数学期望解：因为 ， ，所以7.0)(P3.0)(P1 0E1 的 概 率 分 布 为 0 1 2P 23.3.07C所以 0 1 2 1.4E9.0498. 的概率分布为 2 3P 3.0213.07C.07.3C7.所以 0 1 2 2.1.E2893设 有 m 升 水 ， 其 中 含 有 大 肠 杆 菌 n 个 今 取 水 1 升 进 行 化 验 ， 设 其 中 含 有 大 肠 杆 菌的 个 数 为 ， 求 的 数 学
16、 期 望 分析：任取 1 升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是 ，事件“ =k”发生，即 nm英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念，优质课程资源学习方法报社 第 6 页 共 6 页个大肠杆菌中恰有 k 个在此升水中，由 n 次独立重复实验中事件 A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生 k 次的概率计算方法可求出 P( =k),进 而 可 求 E .解：记事件 A：“在所取的 1 升水中含一个大肠杆菌” ，则 P(A)= m1所以 P( =k)=Pn(k)=C )k(1 )n k（ k=0,1,2,.,n） m所以 B(n, )，故 E =n = 奎 屯王 新 敞新 疆五、小结 ：( 1)离 散 型 随 机 变 量 的 期 望 ， 反 映 了 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水 平 ；(2)求离散型随机变量 的期望的基本步骤：理解 的 意 义 ， 写 出 可 能 取 的 全 部 值 ；求 取 各 个 值 的 概 率 ， 写 出 分 布 列 ； 根据分布列，由期望的定义求出 E 奎 屯王 新 敞新 疆 公式E（a+b）= aE+b，以及服从二项分布的随机变量的期望 E=np 奎 屯王 新 敞新 疆六、课后作业：P64 练习.
