1、 学习帮助热线：4006-3456-9917.1.2 三角形的高、中线与角平分线典型例题【例 1】 如图 711 所示，在ABC 中， 1=2，点 G 为 AD 的中点，延长 BG 交AC 于点 E，F 为 AB 上一点，且 CFAD 于点 H，下列判断中正确的是( )图 711(1)AD 是ABE 的角平分线；(2 )BE 是ABD 边 AD 上的中线；(3)CH 是ACD 边AD 上的高.A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个【解析】 本题考查三角形的角平分线、中线和高这三个概念.由1= 2 知 AD 平分BAE，但 AD 不是ABE 内的线段 .所以(1) 不正确；同样 BE 虽
2、然经过ABD 边 AD 的中点 G，但 BF 也不是 ABD 内的线段，因此(2)也不正确；由于 CHAD 于点 H，由三角形高的定义知 CH 是ACD 边 AD 边上的高，故(3)正确.【答案】 B【例 2】如图 712，BM 是ABC 的中线，若 AB=5 cm，BC=13cm ，那么BCM 的周长与ABM 的周长差是多少?图 712【解析】 本题要准确利用中线的性质，将周长之差转化为线段之差.BCM 的周长为BC+CM+MB，而ABM 的周长为 AB+BM+AM，由 BM 是中线可得 AM=CM，两周长相减即为 BC 与 AB 的差.【答案】 因为 BM 是ABC 的中线，所以 A1=C
3、M.又因为BCM 的周长为 BC+CM+MB，ABM 的周长为 AB+BM+AM，学习帮助热线：4006-3456-992所以BCM 的周长ABM 的周长=(BC+CM+MB)(AB+BM+AM)=BCAB=13 5=8(cm)【例 3】 如图 713，ABC 的边 BC 上的高为 AF，AC 边上的高为 BG，中线为AC，已知 AF=6，BC=10,BG=5.图 713(1)求ABC 的面积；(2) 求 AC 的长；(3)说明ABC 和ACD 的面积的关系.【解析】 (1)由于ABC 的底边 BC 上的高 AF 的长度已知，根据三角形面积公式可求出面积；(2) 用面积法.由于ABC 的面积有
4、两种计算方法，用面积法列式 BCAF=21ACBC，可求出 AC 的长，21(3)由“等(同) 底等(同)高的两个角形面积相等”可知三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形( ABC、ACD 等底同高，因而面积相等 ).【答案】 (1)因为 BC=10， AFBC，AF=6，所以 SABC = BCAF=30.21(2)因为 BG 为 ABC 的高，所以 SABC = ACBG= ACBG= BCAF，因为21BG=5，BC=10，AF=6，所以 AC=12；(3)因为 AFBC，所以 SABC = BDAF，S ACD = CDAF，因为 AD 为ABC 的2121中线，所以 BD
5、=CD.所以 S ABC=SACD ，即ABC 和ACD 的面积相等.同步作业一、填空题(每题 5 分，共 50 分).1.如图 714，ADBC ，垂足为 D，则 AD 是_的高，_= _=90.学习帮助热线：4006-3456-993图 714 图 715 图 7162.在上题图中，AE 平分 BAC，交 BC 于 E 点，则 AE 叫做 ABC 的_，_=_ _= _.213.三角形的高、中线、角平分线都是_.4.如图 715，若 BD=DE=EC，则 AD 是_的中线，AE 是_的中线.5.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形是_6.如图 716，E、F 分
6、别是ABC 的边 AC、AB 的中点，FDAC，则 BE、CF 分别是ABC 的边 AC、 AB 上的_；EF 既是_的中线，又是_的中线；FD 是_的高.7.如图 717，BD 是ABC 的中线，若 AB=8 cm，AC=6 cm，BC=6cm 则ABD 与BCD 的周 长之差为 _.图 717 图 718 图 7198.如图 718，ABC 中， ACB=90，把ABC 沿直线 AC 翻折 180，使 B 点落在B点的位置，则线段 AC 是 _.9.已知 BD、CE 是ABC 的高，直线 BD、CE 相交所成的角中有一个角是 50，则 BAC等于_.10.如图 719，在ABC 中，已知点
7、 D、E、F 分别为 B C、AD、CE 的中点，且 SABC=4c m2，则 S 阴影 =_.二、选择题(每题 5 分，共 10 分)11.如图 720，在锐角ABC 中，CD、BE 分别是 AB、 AC 边上的高，且 CD、BE 交于一点 P，若A=50，则BPC 的度数是( ) A.150 B.130 C.12 0 D.100学习帮助热线：4006-3456-994图 720 图 72112.图 721 是某广告公司为某种商品设计的商标图案，若图中每个小长方形的面积都是1，则阴 影部分的面积是( )A.6 B.6.5 C.7 D.7.5三、解答题(每题 20 分，共 40 分)13.如图
8、 722，若 AD 是ABC 的角平分线，DE AB(1)若 DFAC，EF 交 AD 于点 O.试问：DO 是否为EDF 的角平分线?并说明理由；(2)若 DO 是EDF 的角平分线，试探索 DF 与 AC 的位置关系，并说明理由.图 72214.探索：在如图 723 至图 725 中，ABC 的面积为 a.(1)如图 723，延长ABC 的边 BC 到点 D，使 CD=BC，连接 DA.若ACD 的面积为 S1，则 S1=_(用含 a 的代数式表示) ；学习帮助热线：4006-3456-995图 723 图 724 图 725(2)如图 724，延长ABC 的边 BC 到点 D，延长边 C
9、A 到点 E，使CD=BC，AE=CA ，连接 DE.若DEC 的面积为 S2，则 S2=_(用含 a 的代数式表示)，并写出理由；(3)在图 725 的基础上延长 AB 到点 F，使 BF=AB，连接 FD，FE ，得到DEF(如图725).若阴影部分的面积为 S3,则 S3=_(用含 a 的代数式表示).发现像上面那样，将ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF(如图725)，此时，我们称ABC 向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的DEF 的面积是原来ABC 面积的_倍.应用去年在面积为 10 m2 的ABC 空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模 ，把ABC 向外进
10、行两次扩展，第一次由ABC 扩展成DEF，第二次由DEF 扩展成MGH(如图 726).求这两次扩展的区域( 即阴影部分)面积共为多少平方米 ?图 726学习帮助热线：4006-3456-996参考答案同步作业一、填空题(每题 5 分，共 50 分).1.如图 714，ADBC ，垂足为 D，则 AD 是_的高，_= _=90.图 714答案：ABC(或ABD 或ACD)；ADB ；ADC2.在上题图中，AE 平分 BAC，交 BC 于 E 点，则 AE 叫做 ABC 的_，_=_ _= _.21答案：角平分线；BAE；CAE；BAC3.三角形的高、中线、角平分线都是_.答案：线段4.如图 7
11、15，若 BD=DE=EC，则 AD 是_的中线，AE 是_的中线.学习帮助热线：4006-3456-997图 715 图 716答案：ABE；ADC5.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形是_答案：直三角形6.如图 716，E、F 分别是ABC 的边 AC、AB 的中点，FDAC，则 BE、CF 分别是ABC 的边 AC、 AB 上的_；EF 既是_的中线，又是_的中线；FD 是_的高.答案：中线；ABE；ACF；ACF( 答案不唯一)7.如图 717，BD 是ABC 的中线，若 AB=8 cm，AC=6 cm，BC=6cm 则ABD 与BCD 的周 长之差为 _
12、.图 717答案：2 cm.8.如图 718，ABC 中， ACB=90，把ABC 沿直线 AC 翻折 180，使 B 点落在B点的位置，则线段 AC 是 _.答案：ABB的中线、角平分线和高9.已知 BD、CE 是ABC 的高，直线 BD、CE 相交所成的角中有一个角是 50，则 BAC等于_.答案：50或 13010.如图 719，在ABC 中，已知点 D、E、F 分别为 B C、AD、CE 的中点，且 SABC=4c m2，则 S 阴影 =_.学习帮助热线：4006-3456-998图 718 图 719答案：1 cm 2二、选择题(每题 5 分，共 10 分)11.如图 720，在锐角
13、ABC 中，CD、BE 分别是 AB、 AC 边上的高，且 CD、BE 交于一点 P，若A=50，则BPC 的度数是( ) A.150 B.130 C.12 0 D.100图 720 图 721答案：B12.图 721 是某广告公司为某种商品设计的商标图案，若图中每个小长方形的面积都是1，则阴 影部分的面积是( )A.6 B.6.5 C.7 D.7.5答案：B(点拨：阴影部分 面积 =大长方形面积空白部分面积和)三、解答题(每题 20 分，共 40 分)13.如图 722，若 AD 是ABC 的角平分线，DE AB(1)若 DFAC，EF 交 AD 于点 O.试问：DO 是否为EDF 的角平分
14、线?并说明理由；(2)若 DO 是EDF 的角平分线，试探索 DF 与 AC 的位置关系，并说明理由.图 722答案：(1)DO 是DEF 的角平分线，理由如下：由 DEAB，得EDA=DAF.由DF AC，得EAD=ADF.学习帮助热线：4006-3456-999又 AD 是ABC 的角平分线，有EAD= DAF所以BDA=ADF.(2)DF AC. 理由略14.探索在如图 723 至图 725 中，ABC 的面积为 a.(1)如图 723，延长ABC 的边 BC 到点 D，使 CD=BC，连接 DA.若ACD 的面积为 S1，则 S1=_(用含 a 的代数式表示) ；图 723 图 724
15、(2)如图 724，延长ABC 的边 BC 到点 D，延长边 CA 到点 E，使CD=BC，AE=CA ，连接 DE.若DEC 的面积为 S2，则 S2=_(用含 a 的代数式表示)，并写出理由；(3)在图 725 的基础上延长 AB 到点 F，使 BF=AB，连接 FD，FE ，得到DEF(如图725).若阴影部分的面积为 S3,则 S3=_(用含 a 的代数式表示).图 725发现像上面那样，将ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF(如图725)，此时，我们称ABC 向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的DEF 的面积是原来ABC 面积的_倍.应用去年在面积为 10 m2 的ABC 空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模 ，把ABC 向外进行两次扩展，第一次由ABC 扩展成DEF，第二次由DEF 扩展成学习帮助热线：4006-3456-9910MGH(如图 726).求这两次扩展的区域( 即阴影部分)面积共为多少平方米?图 726答案：(1)a；(2)2a理由：连接 AD，CD=BC，AE=CA，S DAC =SDAE =SABC =a，S 2=2a.(3)6a 7 拓展区域的面积： (721)10=480(m 2).
